Что такое однородный многочлен примеры

Однородный многочлен

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом.

Примеры

Вариации и обобщения

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Однородный многочлен» в других словарях:

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен, у всех членов которого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Напр.: x5+4x3y2 3xy4 … Большой Энциклопедический словарь

однородный многочлен — многочлен, у всех членов которого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Например: х5+4х3у2 3ху4. * * * ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН, многочлен, у всех членов которого сумма показателей… … Энциклопедический словарь

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен, у всех членов к рого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Напр.: х5+ 4х3у2 3ху4 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Общий метод решета числового поля — (англ. general number field sieve, GNFS) метод факторизации натуральных чисел. Является наиболее эффективным алгоритмом факторизации чисел длиной более 110 десятичных знаков. Сложность алгоритма оценивается эвристической формулой[1] Метод… … Википедия

Двучлен — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Моном — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Источник

Однородные уравнения

Однородные уравнения

Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде

где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.

т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).

Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.

Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .

В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида

Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций

Перейдём к процедуре решения уравнения (2).

Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность

Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.

решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.

2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений

Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.

Пример №185.

Решить уравнение

Решение:

Пример №186.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :

Ответ: где .

Пример №187.

Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

Решение:

Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно x и а.

2) Если , то поделим на , и положим :

Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня

Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;

при два решения

Пример №188.

Найти действительные корни уравнения

Решение:

Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду

Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.

1) Если , то, поделив на и обозначив , получим нет решений.

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Воспользуемся методом группировки

(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х 2 +5ху-7у 2 — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х 2 +5ху-7у 2 =0 — однородное уравнение второй степени.

4) p(x; y)= a_nx n +a_n-1x n-1 y+a_n-2x n-2 y 2 ₊…+a₁xy n-1 +a₀y n — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

Пример 3. Разложить на множители многочлен

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Далее последовательно находим:

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2 )-(x 4 +y 4 )+3(xy) 2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 )(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 )(a+b)=a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

— называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Доказать, что значение выражения 5 n +28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5 n = (4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Из данных многочленов выделите симметрические:

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

(а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5

Источник

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН

Смотреть что такое «ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН» в других словарях:

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен, у всех членов которого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Напр.: x5+4x3y2 3xy4 … Большой Энциклопедический словарь

Однородный многочлен — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Примеры однородный многочлен однородный многочлен однородный многочлен неоднородный многочлен … Википедия

однородный многочлен — многочлен, у всех членов которого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Например: х5+4х3у2 3ху4. * * * ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН, многочлен, у всех членов которого сумма показателей… … Энциклопедический словарь

Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Общий метод решета числового поля — (англ. general number field sieve, GNFS) метод факторизации натуральных чисел. Является наиболее эффективным алгоритмом факторизации чисел длиной более 110 десятичных знаков. Сложность алгоритма оценивается эвристической формулой[1] Метод… … Википедия

Двучлен — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Моном — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Источник

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН

Смотреть что такое «ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН» в других словарях:

Однородный многочлен — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Примеры однородный многочлен однородный многочлен однородный многочлен неоднородный многочлен … Википедия

однородный многочлен — многочлен, у всех членов которого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Например: х5+4х3у2 3ху4. * * * ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН, многочлен, у всех членов которого сумма показателей… … Энциклопедический словарь

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен, у всех членов к рого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Напр.: х5+ 4х3у2 3ху4 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Общий метод решета числового поля — (англ. general number field sieve, GNFS) метод факторизации натуральных чисел. Является наиболее эффективным алгоритмом факторизации чисел длиной более 110 десятичных знаков. Сложность алгоритма оценивается эвристической формулой[1] Метод… … Википедия

Двучлен — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Моном — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Источник