Что такое ограниченность функции в алгебре

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемИнесса Чекмарева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Ограниченность. 1. Ограниченность функции. Функция f(x) называется ограниченной на данном отрезке (a,b),если существует некоторые числа m и M такие, что.» — Транскрипт:

1 Ограниченность. 1. Ограниченность функции. Функция f(x) называется ограниченной на данном отрезке (a,b),если существует некоторые числа m и M такие, что m f(x) M при x є (a, b). Число m 0 = inf = max(m) при x є (a, b) называется нижней гранью функции f(x), а число M 0 = =sup = min(M) при x є (a, b) называется верхней гранью функции f(x) на данном промежутке (a, b). Разность M 0 – m 0 называется колебанием функции на промежутке (a, b).

0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется н» title=»Предел функции в точке. Определение. Число b называется пределом функции f при, если для любого >0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется н» > 3 Предел функции в точке. Определение. Число b называется пределом функции f при, если для любого >0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется неравенство (1). Аналогично, рассматривается вопрос о пределах односторонних (при и при ), т.е. и. Пусть функция f(x)определена на множестве X = , имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется н»> 0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется неравенство (1). Аналогично, рассматривается вопрос о пределах односторонних (при и при ), т.е. и. Пусть функция f(x)определена на множестве X = , имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется н» title=»Предел функции в точке. Определение. Число b называется пределом функции f при, если для любого >0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется н»>

6 Примеры, иллюстрирующие понятие предела в точке и на бесконечности.

7 Периодичность. Периоди́ческая фу́нкция функция, овторяющаясвои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).функция В общем случае, говоря о периодичести функции f,полагают, что имеется такое число T0, что область определения D(f) вместе с каждой точкой x содержит и точки, получающиеся из точки x параллельным переносом вдоль оси OX (вправо и влево) на расстояние T. Функцию f называют периодической с периодом T0, если для любого x из области определения значения этой функции в точках x; x-T; x+T равны, то есть f(x-T) = f(x) = f(x+T).

8 График периодической функции

10 Все тригонометрические функции являются периодическими. Графики тригонометрических функций: 1 синуса; 2 косинуса; 3 тангенса; 4 котангенса; 5 секанса; 6 косеканса

Источник

МОНОТОННОСТЬ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Монотонность и ограниченность функции
на множестве

актуализировать и сформулировать определения монотонности и ограниченности функции на множестве;

формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции.

1. Сопоставьте графики функций и задающих их формул.

2. Найдите область определения функции, заданной формулой.

3. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводим согласно пункту учебника. Напоминаем известные из курса алгебры основной школы такие свойства функции, как монотонность (возрастание либо убывание на множестве), ограниченность (снизу или сверху на множестве).

2. При рассмотрении понятия монотонности функции особое внимание следует уделить словесной формулировке, так как она является «рабочей». Прежде чем вводить сами определения, можно предложить учащимся выполнить следующие задания:

1) Укажите промежутки возрастания и убывания функций.

2) Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (–  ; –2) и (5; +  ) и убывающей на промежутке (–2; 5).

3. Разбираем на примере 1 со с. 11 учебника исследование функции на монотонность с использованием неравенств.

4. Напоминая определение ограниченной функции, просим учащихся схематично изобразить графики элементарных функций и выбрать среди них ограниченные.

5. Разбираем пример 2 со с. 12 учебника исследования функции на ограниченность с помощью неравенств.

4. Формирование умений и навыков.

Задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить на 2 группы.

№ 2.1 (а; б), № 2.2 (а; б), № 2.3 (а; б), № 2.4 (а; б), № 2.5 (а; б).

б) Обозначим Если то, по свойствам числовых неравенств, и, далее, то есть значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

б) Обозначим

б) Обозначим

значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

б) Обозначим

значит, данная функция убывает на D ( f ).

б)

Если х > 0, то график функции представляет собой ветвь гиперболы и ограничен снизу, а функция – ограничена сверху прямой у = 0.

График данной функции получен сдвигом графика функции на две единицы вверх, значит, функция ограничена сверху прямой у = 2.

Ответ : ограничена сверху.

б)

С одной стороны, очевидно, что значит, функция ограничена снизу.

Рассмотрим функцию Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина в точке с координатами ( х ₀ ; у ₀ ), где Значит, функция сверху не ограничена.

Ответ : ограничена снизу.

– Дайте определение функции убывающей (возрастающей) на множестве.

– Какая функция называется монотонной?

– Какая функция называется ограниченной снизу (сверху) на множестве?

– Какие способы исследования функции на монотонность и ограниченность?

Домашнее задание : № 2.1 (в) – № 2.7 (в).

Источник

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Возрастание и убывание функций

Посмотрим на график произвольной функции:

Видно, что область определения ф-ции – это промежуток [– 6; 4].

На графике сначала ф-ция как бы «поднимается». При увеличении х растет значение у. Так происходит до точки (1; 5). После этого ситуация меняется, при увеличении аргумента значение ф-ции начинает падать. В математике принято говорить, что ф-ция возрастает на промежутке [– 6; 1] и функция убывает на промежутке [1; 4]. Можно сказать и иначе – ф-ция у является возрастающей функцией на множестве [– 6; 1] и убывающей функцией на множестве [1; 4].

Рассмотрим это определение возрастающей функции подробнее. Построим произвольную возрастающую ф-цию и выберем на ней две точки со значениями аргумента х₁ и х₂. Также отметим значения ф-ции в этих точках, у(х₁) и у(х₂):

По определению, если х₁ меньше х₂, то и у(х₁) »и « у(х₁). По определению получаем, что у = 2х – 3 – возрастающая ф-ция.

Промежутки монотонности основных функций

Мы ранее уже изучили несколько видов ф-ций. Посмотрим, какие у них промежутки монотонности.

Поведение линейной ф-ции у = kх + b зависит исключительно от значение коэффициента k. Если он больше нуля, то функция возрастает на промежутке (– ∞; + ∞), то есть на всей числовой прямой. Если же k n зависит от показателя n. Если он нечетный, то получается ф-ция, возрастающая на всей числовой прямой:

Если же число n четное, то степенная ф-ция будет убывать на промежутке (– ∞:0] и возрастать на промежутке [0; + ∞):

Пример. Найдите значения параметра a, при котором ф-ция

у = (5а – 2)х +16

является возрастающей.

Решение. Данная ф-ция является линейной ф-цией вида у = kx + b, где в роли коэффициента k выступает выражение (5а – 2). Ф-ция будет возрастать, если этот коэффициент будет больше нуля, то есть

Получаем, что ф-ция будет возрастающей при значениях а, больших 0,4, или, другими словами, при а∊(4; + ∞).

Свойства монотонных функций

Монотонные функции имеют ряд примечательных свойств, которые могут помогать при решении задач. Вспомним, что некоторые ф-ции могут при различных значениях аргументов принимать одинаковое значение. Например, таковой является степенная ф-ция у = х 2 :

С точки зрения графиков это означает, что горизонтальная линия может пересекать график ф-ции в нескольких точках:

С другой стороны, это значит, что уравнение х 2 = 4 имеет два корня, 2 и ( – 2).

Если же ф-ция строго монотонна, то такая ситуация невозможна. Любое ее значение может быть получено только при одном значении аргумента.

Действительно, если ф-ция монотонна, то любая горизонтальная прямая сможет пересечь ее график не более чем в одной точке:

Это также означает, что, если у(х) – строго монотонная ф-ция, а b– произвольное число, то уравнение у(х) = b имеет не более одного корня. Так, у уравнения х 3 = 8 есть только один корень (он равен 2), потому что х 3 – монотонная ф-ция.

Рассмотрим следующее свойство монотонных функций.

Действительно, ранее мы уже изучали сжатие и растягивание графиков. умножение ф-ции на постоянное число как раз и ведет к подобным преобразованиям. Ясно, что при этом не происходит изменение монотонности ф-ций:

Например, парабола у = х 2 возрастает на промежутке [0; + ∞), значит, и ф-ция у = 3х 2 также возрастает на этом же промежутке:

Проще говоря, при умножении ф-ции на положительное число ее промежутки монотонности не изменяются.

А что же произойдет при умножении ф-ции на отрицательное число. Она не только сожмется или растянется, но ещё и отобразится симметрично относительно оси Ох. В результате промежутки возрастания ф-ции превратятся в промежутки убывания, и наоборот.

Проиллюстрируем это на примере ф-ций у = х 2 и у = – х 2 :

Видно, что на промежутке (– ∞; 0] ф-ция у = – х 2 возрастает, в то время как обычная парабола убывает. На промежутке [0; + ∞)ситуация противоположная.

Если две ф-ции одновременно возрастают на одном промежутке, то и их сумма также будет возрастать на этом промежутке.

Например, ф-ции у = х 5 и у = 4х возрастают на всей числовой прямой. Следовательно, возрастающей является и ф-ция у = х 5 + 4х.

Пример. Решите уравнение

х 7 + 2х – 3 = 0

Решение. Можно заметить, что число 1 является корнем этого уравнения. Действительно, подставим единицу в уравнение и получим верное равенство:

Докажем, что других корней уравнение не имеет. В его левой части стоит сумма двух возрастающих ф-ций, у = х 7 и у = 2х – 3. Следовательно, и ф-ция у = х 7 + 2х – 3 также является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что исследуемое уравнение имеет не более 1 корня, то есть корень х = 1 – единственный.

Пример. Докажите, что у уравнения

не более одного корня.

Выражение в левой части имеет смысл только при положительных х. Ведь если х 2 :

В общем случае эту особенность можно доказать так:

у(– х) = (– х) 2 = х 2 = у(х)

В математике есть специальный термин для обозначения ф-ций, обладающих таким свойством. Их называют четным функциями.

Определение четной функции можно записать и так, чтобы в нем фигурировали формулы:

Для проверки того, является ли функция четной, достаточно подставить в нее вместо аргумента х величину (– х).

Пример. Докажите, что ф-ция у = х 4 + 3х 2 является четной.

Решение. Подставим в ф-цию значение (– х):

у(– х) = (– х) 4 + 3(– х) 2 = х 4 + 3х 2

Получили исходную ф-цию у(х). Значит, исследуемая функция является четной.

Пример. Четна ли ф-ция

Решение снова подставим в ф-цию значение (– х):

Получили изначальную ф-цию. Следовательно, она – четная.

Почему же четные ф-ции симметричны относительно оси Оу? Из определения следует, что если графику четной ф-ции принадлежит точка (х₀;у₀), то ему же принадлежит точка (– х₀;у₀). Посмотрим, как они располагаются на координатной плоскости:

Они симметричны относительно оси Оу. Если же для каждой точки графика есть симметричная точка, также ему принадлежащая, то и в целом график симметричен относительно вертикальной оси.

Такая симметрия (относительно точки), называется центральной. Геометрически она означает, каждой точке графика в I четверти с двумя положительными координатами соответствует точка графика в III четверти с такими же координатами, но взятыми со знаком «минус»:

Существует множество ф-ций, обладающих подобной симметрией. В математике их все называют нечетными функциями. У них противоположным значениям аргументов соответствуют противоположные значения ф-ции, а график нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Чаще используется определение, содержащее формулу:

Покажем это свойство у ф-ции у = х 3 :

Для того, чтобы доказать нечетность ф-ции, надо поставить в нее (– х) вместо х. Если получилась исходная ф-ция с противоположным знаком, то это значит, что ф-ция нечетная.

Пример. Докажите, что ф-ция у = х 5 + х – нечетная.

Решение: Подставим (– х):

у(– х) = (– х) 5 + (– х) = –х 5 – х = – (х 5 + х) = – у(х)

Получили исходную ф-цию, но со знаком «минус», поэтому ф-ция является нечетной.

Пример. Докажите нечетность ф-ции у = 5/х + 4х.

Решение. Подставляем в ф-цию (– х):

у = 5/(– х) + 4(– х) = – 5/х – 4х = – (5/х + 4х) = – у(х)

Снова получили исходную ф-цию со знаком минус, следовательно, мы исследовали нечетную ф-цию.

Известно, что любое целое число либо четное, либо нечетное. Однако с ф-циями всё по-другому. Существует множество ф-ций, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Чтобы доказать, что ф-ция не является ни четной, ни нечетной, достаточно продемонстрировать, что хотя бы для одного значения х не выполняются условия у(– х) = у(х) и у(– х) = – у(х).

Пример. Докажите, что у = х 3 + х 2 – ни четная, ни нечетная ф-ция.

Решение. Определим значение ф-ции при, например, х = 1 и х = –1

у(– 1) = (– 1) 3 + (– 1) 2 = 0

Получили, что при противоположных х значения у не являются ни одинаковыми, ни противоположными. Значит, рассматриваемая ф-ция не подходит под приведенные определения четности и нечетности.

Свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим важные свойства, помогающие быстро определять четность и нечетность ф-ций.

Так, ф-ции у = х 3 и у = 1/х – нечетны. Значит, нечетна и их сумма у = х 3 + 1/х.

Другими словами, ф-цию можно «перевернуть», и она всё равно сохранит свою четность. Так, ф-ция 5х 4 + х 2 четная, поэтому и ф-ция

останется такой же.

Вообще рассматриваемое свойство ф-ции часто называют ее четностью. Так, про две рассматриваемые ф-ции у = х 3 и у = х 9 можно сказать, что они обладают одинаковой четностью (обе нечетные), а у = х 5 и у = х 7 обладают различной четностью (одна из них четная, а другая нечетная).

Например, ф-ции у = 5х 3 + 6х и у = 9х 5 имеют одинаковую четность (обе нечетные), а потому их произведение у = 9х 5 (5х 3 + 6х) является четным. С другой стороны, у = х 5 и у = х 8 + у 6 имеют различную четность, следовательно, их произведение у = х 5 (х 8 + у 6 ) нечетное.

Докажем справедливость этого правила. Пусть есть две ф-ции, у = у(х) и g = g(х), которые обладают какой-нибудь четностью. Определим четность их произведения у(х)•g(х). Для этого рассмотрим 3 различных случая:

Пример. Определите четность ф-ции у = (8х 4 + 3х 2 )(7х 5 + 2х)

Решение. Ф-ция из условия представляет собой произведение двух других ф-ций: у = 8х 4 + 3х 2 и у = 7х 5 + 2х. Первая из них является суммой двух четных и поэтому сама четная. Вторая ф-ция, наоборот, нечетная. Следовательно, их произведение – это тоже нечетная ф-ция.

Ответ: Нечетная ф-ция.

Пример. Определите четность ф-ции у = (х 6 + х 2 )(х 10 + х 8 )

Решение. Так как ф-ции у = х 6 + х 2 и у = х 10 + х 8 имеют одинаковую четность (обе четные), то их произведение является четным.

Для изучения следующего свойства ф-ций необходимо сначала рассмотреть понятие сложной ф-ции. Так называют ф-цию, которую получают подстановкой одной «простой» ф-ции в другую.Например, пусть есть ф-ции g = х 2 и у = х 3 + 2х. Подставив вторую в первую, получим

Ещё пример сложной ф-ции:

у = 2(9х 2 + 4х + 1) 3 + 3(9х 2 + 4х + 1)

Она получена путем подстановки выражения 9х 2 + 4х + 1 в ф-цию у = х 3 + 3х. В общем случае, если в ф-цию у = f (x) подставляют g(x), то используют запись у = f (g(x)). Иногда вместо термина «сложная функция» используют аналогичное понятие «композиция функций».

Итак, сформулируем ещё одно свойство четных функций:

которая будет четной. При этом природа ф-ции у = 5х + 7 + 1/х не играет никакой роли. Мы могли бы взять любую другую ф-цию, например, у = 958,235х 3 – 12,25х 2 + 19х + 2/3, и подставив в нее х 2 вместо х, получить ф-цию

у = 958,235(х 2 ) 3 – 12,25(х 2 ) 2 + 19х 2 + 2/3

которая будет четной.

Ограниченные и неограниченные функции

В математике говорят, что ф-ция у = х 2 ограничена снизу. То есть для любого допустимого х выполняется неравенство у(х) ⩾ а, где а – это какое-то произвольное число. И действительно, неравенство х 2 ⩾ 0 выполняется при всех значениях х. Также выполняются неравенства

Дадим определение функции, ограниченной снизу

Очевидно, что если неравенство у(х) ⩾ а выполняется хотя бы для одного числа а, то оно выполняется и для всех а, которые ещё меньше. Так, из справедливости неравенства х 2 ⩾ 0 автоматически следует справедливость неравенства х 2 ⩾ – 1,5, так как

Аналогично в математике существует понятие функции, ограниченной сверху.

В качестве примера ограниченной сверху ф-ции можно привести у = 4 – х 2 :

Ясно, что неравенство 4 – х 2 ⩽ 4 выполняется при всех х, то есть ни одна точка графика не лежит выше прямой у = 4.

Иногда бывает так, что функция ограничена одновременно и снизу, и сверху. Их называют ограниченными функциями.

Ф-ция, не попадающее под это определение, называется неограниченной функцией. В качестве примера неограниченной функции можно привести линейную ф-цию у = х + 1.

График ограниченной ф-ции находится в своеобразной «полосе» из горизонтальных линий, которые ограничивают его сверху и снизу. Примером ограниченной ф-ции является

С одной стороны, у этой дроби и числитель, и знаменатель – положительное число, поэтому она ограничена снизу прямой у = 0. С другой стороны, дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель (если они оба положительны). Минимальное значение выражения х 2 + 1 – это единица (при х = 0), а поэтому максимальное значение дроби равно 4/1 = 4. Поэтому график ограничен сверху прямой у = 4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Выделим в ф-ции целую часть:

Так как величина 5х 2 + 5 всегда положительна, то и дробь

а значит, и вообще вся ф-ция положительна, то есть ограничена снизу прямой у = 0

С другой стороны, дробь будет принимать максимальное значение при минимальном значении знаменателя, которое равно 5 (при х = 0) При х = 0 имеем

Получается, что ф-ция ограничена сверху прямой у = 1,4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Величина х 2 всегда положительна, то есть х 2 ⩾ 0. Преобразуем это неравенство, умножив его на (– 1) и добавив к нему 16:

Получили, что подкоренное выражение не превосходит 16, а значит, и корень из него не больше, чем

То есть график будет ограничен прямой у = 4 сверху. С другой стороны, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, а потому его график ограничен снизу прямой у = 0. Для наглядности покажем график исследуемой ф-ции:

Квадратичная функция

В качестве ф-ции можно использовать квадратный трехчлен, например:

у = – 1,5х 2 + 19х + 0,5

у = 0,005х 2 + 654,25х – 124

Все эти ф-ции заданы с помощью выражения, представляющего собой квадратный трехчлен, поэтому в математике их называют квадратичными функциями.

Если коэффициент перед х 2 окажется равным нулю, то ф-ция превратится из квадратичной в линейную:

0х 2 + bx + c = bx + c

Попытаемся понять, как выглядит график квадратичной функции. Для этого начнем рассматривать частные случаи и использовать правило растяжения и сжатия, а также параллельного переноса графиков ф-ций.

Если в выражение для квадратичной ф-ции подставить значения

то получится уже известная нам степенная ф-ция у = х 2 :

Её графиком является парабола.

График ф-ции у = ах 2 – это тоже парабола (где а – некоторое число), которая однако, получена из «обычной» параболы у = х 2 путем сжатия или растяжения графика. Если коэффициент а является отрицательным, то парабола «перевернется» то есть отобразится симметрично относительно оси Ох. Покажем примеры нескольких графиков у = ах 2 :

Напомним, что при добавлении к ф-ции какого-нибудь постоянного числа n ее график переносится на n единиц вверх. Зная это можно легко получить график ф-ции у = ах 2 + с из графика у = ах 2 :

Таким образом, графиком ф-ции у = ах 2 + с является парабола, чья вершина поднята на с единиц вверх.

Как изменится график квадратичной ф-ции у = ах 2 + с, если в вместо х возводить в квадрат выражение (х +m), где m – произвольное число? В этом случае ф-ция примет вид у = а(х +m) 2 + с. Вершина параболы должна будет сместиться на m единиц влево:

Теперь докажем, что любая квадратичная ф-ция может быть представлена как в виде у = а(х + m) + n, где m и n – некоторые числа (в том числе и отрицательные). Похожие преобразования мы производили, когда учились решать квадратные уравнения. Запишем саму квадратичную ф-цию:

Вынесем множитель а за скобки:

Далее попытаемся преобразовать трехчлен в скобках, используя формулу квадрата суммы. Для этого добавим к нему и сразу же вычтем величину (b/2a) 2 :

Теперь раскроем внешние скобки:

Теперь произведем две замены:

Используя их, можно записать:

Получили, что любую квадратичную ф-цию можно свести к виду у = а(х + m) 2 + n. Что это значит и для чего мы это доказывали? Из этого факта следует, что график любой квадратичной ф-ции может быть получен из обычной параболы у = х 2 за счет трех действий.

Итак, как будет выглядеть график квадратичной ф-ции? В общем случае он является параболой, центр которой располагается не в точке (0;0), а в некоторой другой точке (х₀; у₀):

Если мы вернемся к доказательству того, что любую квадратичную ф-цию можно представить в виде у = а(х + m) 2 + n, то увидим, что число m рассчитывается по формуле

Так как график из-за этого числа m перемещается влево, а не вправо, то координата вершины х₀ рассчитывается по формуле:

Нет смысла составлять такую же формулу для определения координаты вершины у₀, ведь можно подставить х₀ в сам ф-цию и так узнать вторую координату вершины.

Пример. Определите вершину параболы, задаваемой ф-цией

у = 2х 2 + 8х + 5

Решение. Выпишем коэффициенты а, b и c квадратичной ф-ции:

Зная их, легко рассчитаем координату х вершины параболы:

Теперь подставим это число в исходную ф-цию и определим координату у вершины параболы:

у₀ = у(х₀) = 2(– 2) 2 + 8(– 2) + 5 = 8 – 16 + 5 = – 3

Напомним, что нули ф-ции – это те точки, в которых ее график пересекает ось Ох. Для их поиска необходимо приравнять ф-цию к нулю и решить уравнение. В случае с квадратичной ф-цией мы получим квадратной уравнение.

Пример. Постройте график ф-ции у = х 2 – 4х + 3, отметьте на нем вершину параболы и нули ф-ции.

Решение. Приравняем ф-цию к нулю:

Решим это уравнение

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•1•3 = 16 – 12 = 4

Итак, нашли нули ф-ции: 1 и 3. Теперь найдем вершину параболы:

у₀ = у(х₀) = 2 2 – 4•2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1

Вершина находится в точке (2; – 1). Теперь отметим ее, а также нули ф-ции на графике, и соединим их линией, похожей на параболу:

При необходимости для точности построения всегда можно вычислить значение ф-ции в нескольких дополнительных точках и провести параболу через них. Здесь мы этого делать не будем

Ответ: вершина параболы – точка (2; – 1), нули ф-ции х₁ = 1 и х₂ = 3

Обратите внимание, что в рассмотренном примере вершина параболы оказалась ниже нулей, поэтому ее ветви смотрят вверх. Вообще, если коэффициент а > 0, то ветви смотрят вверх, а если а 2 – 4х + 6

у = – 3х 2 + 6х – 4

Решение. Начнем с первой ф-ции. Сначала найдем ее нули:

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•(– 2)•6 = 16+48 = 64

Найдем вершину. Сначала используем обычную формулу:

Далее просто проверим себя, найдя среднее арифметическое нулей ф-ции:

Как и ожидалось, получились одинаковые результаты! Вычислим теперь у₀:

у₀ = у(х₀) = – 2(– 1) 2 – 4(– 1) + 6 = – 2 + 4 + 6 = 8

Итак, вершина первой ф-ции – это точка (– 1; 8).

Перейдем ко второй ф-ции. Попробуем найти ее нули:

D = b 2 – 4ас = 6 2 – 4•(– 3)•(– 4) = 36–48 = – 16

Дискриминант отрицательный, значит, корней у уравнения нет. Не будет и нулей и ф-ции. Найдем вершину параболы

Найдем координату у₀ вершины:

у₀ = у(х₀) = – 3•1 2 + 6•1 – 4 = – 3 + 6 – 4 = – 1

Отметим, что у обоих графиков коэффициент а отрицательный, а потому их ветви будут смотреть вниз. Построим их графики:

Иногда приходится решать обратную задачу – по графику квадратичной ф-ции находить выражение, задающее эту ф-цию. Для ее решения необходимо подставлять в общий вид квадратичной ф-ции

значения квадратичной функции, взятые из графика (то есть координаты точек параболы) и получать уравнения, из которых можно найти величины a, b и c.

Пример. Запишите выражение для квадратичной ф-ции, имеющей следующий график:

Решение. Заметим, что графику параболы принадлежит точка с координатами (0; 3). Подставим эти числа, х = 0 и у = 3, в квадратичную ф-цию:

Итак, мы нашли, что коэффициент с = 3. Осталось найти а и b. Возьмем ещё одну точку, скажем, (1; 0), и подставим ее координаты (вообще в большинстве случаев удобно брать точки, одна из координат которой равна 0 или, на худой конец, единице):

Возьмем точку с координатами (– 3; 0):

Получили два уравнения с двумя неизвестными: a + b = – 3 и 9а – 3b = – 3. Решим систему, составленную из них:

Подставим первое уравнение во второе и получим:

Нашли а. Теперь подставим его в уравнение для b:

b = – 3 – а = – 3 – (– 1) = – 2

Получили b = – 2. Мы нашли все коэффициенты, а потому можем записать ф-цию в аналитическом виде:

Источник