Окружность и круг
Содержание
В древние времена люди смотрели на небо и видели там круглое Солнце, круглую Луну. Они придавали кругу мистическое значение и считали его очень красивым. Изображение круга можно увидеть на наскальных рисунках.
Окружность
Судя по древним изображениям, люди изобрели циркуль, с помощью которого можно было чертить ровные круги, уже три тысячи лет назад. Циркуль даже упоминается в мифах Древней Греции.
Если установить ножку циркуля с иглой в какую-либо точку, а ножку с грифелем или карандашом повернуть вокруг той точки, у нас получится замкнутая линия. Она называется окружность.
Окружность состоит из множества точек, расположенных очень близко друг к другу. И какую бы точку на окружности мы не взяли, расстояние от этой точки до центральной точки (той, в которую мы втыкали иглу циркуля) будет одинаковым.
Окружность — замкнутая кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, одинаково удалённых от заданной точки, лежащей в той же плоскости, что и кривая; эта точка называется центром окружности.
Радиус
Поставим точку О, затем начертим вокруг неё окружность. На окружности поставим точку А. Это можно сделать в любом месте, где захотите. Теперь соединим точки, у нас получится отрезок ОА. Теперь поставим на окружности вторую точку, В, и тоже соединим её с центром. Сравним отрезки ОА и ОВ. Они равны.
Сколько бы мы ни ставили точек на окружности и сколько бы ни соединяли их с центром, у нас будут получаться равные отрезки.
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, называется радиус.
Все радиусы окружности равны между собой.
Латинское слово radius переводится как «спица колеса». Действительно, ведь все спицы у колеса соединены с центром и все равны.
Диаметр
Теперь проведём линию от точки С через центр окружности до её противоположного края. Отрезок СD состоит из двух радиусов: СО и ОD. По размеру он вдвое длиннее радиуса. Такой отрезок называется диаметр.
Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.
Помните, мы говорили, что плоскость бесконечна? Но, прочертив на ней окружность, мы делим плоскость на две части. Одна часть – за пределами окружности – так и остаётся бесконечной. А вторая, маленькая, оказывается ограничена пределами окружности и лежит внутри неё.
Часть плоскости вместе с самой окружностью называют кругом.
Это как если бы мы взяли большой лист бумаги, нарисовали на нём кружок и вырезали его ножницами.
Круг тоже состоит из множества точек, и все они лежат на нашей маленькой плоскости. Расстояние от этих точек до центра круга не превышает радиус.
Части круга и окружности
Рассмотрим рисунок 8.
Диаметр разделяет круг на два равных полукруга, а окружность – на две полуокружности.
Часть окружности называется дугой
Теперь мы можем сформулировать определение полукруга и полуокружности:
Полукруг – часть круга, ограниченная диаметром и дугой, лежащей между концами диаметра
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром
Таким образом, полуокружность – это тоже дуга, но не всякая дуга – полуокружность.
Точки А и В на рисунке 10 разделяют окружность на две части, две дуги. Сами точки называют концами дуг.
А вот с таким делением круга, как на рисунке 11, вы наверняка хорошо знакомы. Такой кусочек называется «сектор». Можете попробовать дать определение сектора?
Показать определение сектора
Сектор – часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами
Давайте проверим, хорошо ли вы запомнили части круга.
А вот ещё один хорошо знакомый вам пример окружности – циферблат. Эта окружность разделена на 60 равных делений, и когда минутная стрелка минует очередное деление, это означает, что прошла минута. А больших делений 12, каждое соответствует часу.
Урок 31 Бесплатно Окружность и круг
Плоской геометрической фигурой называют множество точек на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.
Самыми простыми геометрическими фигурами являются луч, отрезок, ломаная прямая и др.
Объединение нескольких геометрических фигур так же является геометрической фигурой.
Так, например, часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией, называют многоугольником.
Нам уже хорошо известны такие многоугольники, как треугольник, квадрат, прямоугольник и другие.
Существуют геометрические фигуры, отличные от многоугольников, образованные замкнутой кривой линией.
К таким фигурам относятся круг и окружность.
Сегодня на уроке постараемся выяснить, что такое окружность, а что называют кругом.
Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, в чем их сходство и различие, рассмотрим, какими свойствами они обладают.
Разберем правило построения окружности и круга на плоскости.
Окружность и круг
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Многие из вас слышали такие устойчивые выражения и научные понятия:
«Круглый отличник»- учащийся, который имеет только отличные оценки.
«Круглый стол»- собрание заинтересованных сторон, целью которых является обсуждение проблемной ситуации, вопроса.
Все участники такого собрания высказывают свое мнение по рассматриваемому вопросу, выслушивают чужую точку зрения.
Участники круглого стола имеют равные права.
Считают, что выражение «собраться за круглым столом» произошло из мифологии старой Британии.
По легендам король-воин Артур был окружен свитой доблестных и отважных рыцарей.
Все заседания и пиршества рыцарей проходили за большим круглым столом, за которым рыцари были равны между собой и перед своим королем.
Круглый стол был символом равенства и братства.
В раннем средневековье круговая порука заключалась в ответственности всей общины за правонарушение, совершенное одним из его членов или на территории этой общины.
В крестьянской общине круговая порука обязывала крестьян к совместной имущественной ответственности по уплате податей и налогов.
«Ходить по кругу» означает выполнять различные действия и операции, постоянно возвращаясь к исходному результату (в начальную точку), другими словами, это бесполезный поиск выхода из сложившейся ситуации.
«Круглое число»- это число, оканчивающееся на нуль, например, 120, 30, 650 и т.д.
Существует мнение, что такие числа стали называть круглыми, так как нуль, на который оканчивалось число, имеет округлую форму (похож на круг).
«Малый и большой круги кровообращения»- это замкнутая сосудистая система, обеспечивающая непрерывный ток крови в организме, несущий клеткам питание и осуществляющий газообмен в них.
«Круговорот воды в природе»- это непрерывное циклическое перемещение воды в географической оболочке Земли, которое базируется на двух взаимосвязанных процессах: увлажнение земной поверхности и испарение из нее влаги в атмосферу.
Все перечисленные примеры устойчивых выражений и научных понятий имеют нечто общее, их объединяет слово «круг».
Причем можно заметить, что многие из них несут смысл цикличности (повторяемости), равенства, бесконечности.
Давайте выясним, что же такое окружность и круг с математической точки зрения.
Окружность- это замкнутая кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.
Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности.
Обозначается центр окружности обычно заглавной буквой О.
Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Чтобы получить полное представление о том, как выглядит окружность, можно обвести карандашом стакан или блюдце, или намочить водой край стакана и поставить его вверх дном, оставшийся след и будет окружностью.
Известно, что все окружающие нас тела имеют некоторый объем. Сама окружность не имеет объема и даже площади, однако окружность может являться математической моделью реальных объектов, например, обруча, кольца и т.д.
Круг— это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг- плоская геометрическая фигура.
Так как круг- это часть плоскости, то фигура имеет площадь.
Наглядно представить круг можно, закрасив внутреннюю область, ограниченную окружностью, или вырезав его из бумаги по контуру окружности.
Особенность формы круга и окружности заключается в том, что у данных фигур отсутствуют прямые линии, отрезки и углы.
В каждой точке окружность устроена одинаково и представляет собой бесконечную линию без начала и конца, будто движется непрерывно сама по себе.
Благодаря своей форме окружность и круг являются с древних времен символом бесконечности, цикличности, знаком единства и совершенства.
Движение по кругу выражает идею вечности, возвращение к самому себе, к первоначальному состоянию.
Так, например, циферблат часов и круговая шкала на компасе олицетворяют эту идею.
Окружность циферблата разделена на 12 равных больших деления, каждое такое деление равняется одному часу.
Между каждым большим делением находится по 5 маленьких делений. Итого по окружности равномерно распределены 60 делений, соответствующие минутам и секундам.
Стрелки, закрепленные в центре циферблата, вращаясь по кругу, указывают часы, минуты, секунды.
В античном мире время определяли по Солнцу.
Самыми первыми часами, по которым можно было определять примерное время, были солнечные часы.
Устройство представляло собой круг с начертанными по окружности делениями и наклонным стержнем в центре.
Время по таким часам определяли по положению тени на циферблате от наклонного стержня.
Циферблат располагали так, чтобы тень от стержня в полдень была направлена на север.
Тень перемещалась по циферблату вслед за Солнцем и меняла свою длину с каждым часом.
Солнечные часы работали при ясной погоде и днем, указывая время только в часах.
Круговую шкалу можно увидеть на другом измерительном приборе- компасе.
Компас- это устройство, которое позволяет ориентироваться на местности по магнитным полюсам Земного шара и сторонам света.
Шкала компаса представляет собой диск, на который нанесены по кругу метки и цифры.
Круговая шкала компаса называется лимб.
Магнитная стрелка, закрепленная в центре компаса, может свободно вращаться по кругу, поворачиваться в определенном направлении, реагируя на магнитное поле Земли.
Компас показывает неверные данные в том случае, если поблизости есть магниты или месторождения железа и другие подобные материалы, обладающие магнитными свойствами.
Считается, что компас был изобретен в 200 г. до н.э. в Китае.
В Европе компас появился гораздо позже, лишь в XII в. н.э.
Долгое время правила навигации по компасу было таинственно-загадочным для многих, а секрет использования прибора знали только избранные.
Окружность (круг) является моделью еще одного величайшего человеческого изобретения- колеса.
Все полезные свойства колеса основаны на геометрии окружности (круга).
Колесо- это устройство круглой формы, которое может вращаться вокруг своей оси.
До изобретения колеса люди волоком по земле перемещали грузы.
Чтобы облегчить эту работу, груз укладывали на бревна или деревянные полозья и запрягали в них животных.
При этом почву обильно поливали водой, облегчая тем самым скольжение.
Был хорошо известно, что перемещать круглые предметы по земле легче, чем тащить груз волоком или просто толкать его по земле.
Первые изобретенные колеса были сплошными, полностью состояли из глины и мели большой вес.
Использовали эти колеса в гончарном деле.
Позже такое колесо стали использовать для транспортировки груза, прикрепляя колесо к некоторой платформе.
Затем колесо стало деревянным (использовали срез бревна, позже применяли три доски, соединенные деревянной поперечиной).
Деревянные колеса быстро истирались, и их стали обивать металлическим ободом, но такие колеса были громоздкими и тяжелыми.
Чтобы облегчить колесо, в нем делали прорези.
В конечном счете колесо стало выглядеть как обод со спицами, сходящимися к центру колеса, обеспечивая тем самым прочность конструкции.
Вместо металлической оковы стали использовать резину для лучшей амортизации колеса.
Колеса претерпевали различные изменения. Совершенствуются они и по сей день, однако форма этого устройства в виде круга остается неизменной.
Изобретение колеса стало мощным толчком в развитии техники.
Колесо явилось основой для многих изобретений: мельницы, прялки, различных транспортных средств, зубчатого колеса и др.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Описание презентации по отдельным слайдам:
Окружность и круг 5 класс
О Окружность- линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности – точка О
КРУГ ОКРУЖНОСТЬ Круг- это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, лежащей на окружности, называется радиусом окружности или круга. Все радиусы одной и той же окружности(или круга) равны между собой. Радиус Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр, называют диаметром окружности. Диаметр
А В С D E F K L O Перечислите все радиусы и диаметры
А С E F K O Назвать получившиеся дуги
О А В С D E F M N P K L S T Z X Y
Задание Начертите окружность с центром в точке О радиуса 3см 2 мм. а) Отметьте точки Р и В, расстояния от которых до точки О равны 3см 2мм. Принадлежат ли точки Р и В окружности? кругу? б) Отметьте точки А и С, расстояния от которых до точки О равны 2см 3мм. Принадлежат ли точки А и С окружности? кругу?
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-040396
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует выделить «Профессионалитет» в отдельный уровень образования
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Всё про окружность и круг
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Урок по математике в 5-м классе по теме: «Окружность и круг»
Разделы: Математика
| Тема урока: | Окружность и круг. | Цели урока: | Закрепление изученного материала. | Задачи урока: | Практическая: | Формирование навыков решения задач и познавательных способностей учащихся. Формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей. | Образовательная: | Развивающая: | Воспитательная: | Оснащение: | Компьютеры с установленной программой “The Geometer’s Sketchpad”, мультимедийный проектор, экран, программа MS Office 2003, Power Point. |
Этап
Речь учителя
Слайд
Время мин
Доп. матер.
11.
Устная работа.
Выполнить задания, написанные на доске.
Объявление темы и цели урока
Актуализация опорных знаний.
Выполнение теста учащимися.
Работа за компьютером.
Построение окружности по заданному радиусу.
Сделать вывод о том, как связаны радиус и диаметр.
Выполнение задания №1
Математическая зарядка и гимнастика для глаз.
Работа за компьютером.
Выполнение задания №2.
Выполнение задания №3.
Выполнение задания “проверь себя”.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока
Изучено и экспериментально подтверждено соотношение
между радиусом и диаметром окружности.
Все поставленные для данного урока задачи выполнены.
План урока в 5 классе
Тема: Окружность и круг
Цель урока: закрепление изученного материала.
I. Математическая разминка. (Задания написаны на доске.)
II. Повторить определения окружности, круга, радиуса, диаметра.
Окружность – замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Круг – это фигура, все точки которой лежат на расстоянии не больше (меньше или равном) данного.
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности называется радиусом. Все радиусы окружности равны друг другу.
Диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности.
III. Выполнение теста в Excel.
IV. Работа за компьютером.
1. Построение окружности по заданному радиусу.
Построить отрезок, обозначить, измерить (меню Measure); точку вне отрезка. Выделить точку и отрезок. В меню construct выбрать Circle by Center and Radius (Окружность по центру и радиусу). На выделенной окружности строим точку: в меню construct выбираем point on object. Соединив центр окружности и эту точку отрезком, получим радиус.
2. Построение диаметра.
Построить окружность (3 кнопка). Соединить точку на окружности и центр отрезком. Это радиус. Подписать и измерить. Выбрать инструмент прямая (4 кнопка), затем указатель объектов. Выделить центр окружности и точку на ней. В меню construct выбрать line. Через центр окружности будет построена прямая. Сделайте ее пунктирной: в меню Display (вид), Line style (стиль линии), dashed (точечный). Вместе с клавишей Shift выделите окружность и прямую. В меню Construct – Point at Intersection (точка на пересечении). Выберите инструмент Отрезок. В меню construct выбираем segment. Будет построен диаметр. Сделайте его толстым в меню Display (вид), Line style (стиль линии), Thick.
Убедитесь, что диаметр равен 2 радиусам, а радиус – половина диаметра. Для этого измерьте радиус и диаметр инструментом калькулятор в программе “Живая геометрия”.
Дан отрезок AB, его длина |AB| = 4 cm.
Постройте точку X, если известно, что:
1) |AX| = 3cm, |BX| = 5cm; (две)
2) |AX| = 1cm, |BX| = 3cm; (одна)
3) |AX| = 1cm, |BX| = 5cm; (одна)
Сколько таких точек можно построить в каждом из этих случаев? Подсказка: Чтобы построить точку X надо:
1) Построить окружность радиуса |AX| с центром в точке A. Для этого отметьте точку A и один из отрезков m=3 см, n=5 см (нужной длины). После этого выполните команду из меню Construct «Circle by Center + Radius»
2) Построить окружность радиуса |BX| с центром в точке B.
3) Построить точки пересечения двух окружностей, отметив окружности и выполнив команду «Point At Intersection». Выделить точки пересечения и концы отрезка, соединить отрезками, измерить длины.
V. Математическая зарядка.
Правильно – встали, неправильно – сели.
VI. Гимнастика для глаз.
VII. Работа за компьютером.
Радиус окружности равен 2 см. Расположите точки A, B, C так, чтобы расстояние от O до A было меньше 2, расстояние от O до B было равно 2, расстояние от C до O было больше 2.
Выполнить задание № 3, которое находится в программе P01_p5.
Диаметр 2,56 см, следовательно, радиус 1,28 см.
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см. Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К. На каком расстоянии от центра окружности находятся эти точки?
Задание для хорошо успевающих учащихся.
Провести эксперименты, которые находятся в программе:
FILE 
ОРЕNPART_1Point_01 (двойным щелчком) OPEN ALL WORKP01_p1 и P01_p2 (построение окружности) и P01_p4 (построение круга).
1. Начертите отрезок CD, равный 5 см. Проведите окружность с центром С и радиусом 3 см, а также другую окружность с центром D и радиусом 4 см. Обозначьте точки пересечения окружностей буквами А и В. Чему равны длины отрезков АС, СВ, DA и BD?
2. Начертите отрезок МР, равный 6 см. Найдите две точки А и В, которые находились бы на расстоянии 4 см от точки М и 5 см от точки Р.
VII. Итог урока.
Изучено и экспериментально подтверждено соотношение между радиусом и диаметром окружности. Все поставленные для данного урока задачи выполнены.
