Что такое основание логарифма

Умножим обе части уравнения на \(\frac<2><5>\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_<3><8>\).

\(4^<5x-4>\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
\(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_=b\)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Пример: Найдите значение выражения \(36^<\log_<6><5>>\)

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_<2><4>\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_<2><4>\).

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_<2><8>\), или как \(\log_<3><27>\), или как \(\log_<4><64>\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

Источник

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

6)

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник