Что такое отклик системы

Что подразумевается под «импульсным откликом» системы и «частотным откликом»?

Кто-нибудь может заявить разницу между частотной характеристикой и импульсной характеристикой на простом английском языке?

Импульсная и частотная характеристика два атрибута, которые полезны для характеристики линейных стационарных (LTI) системы. Они предоставляют два разных способа расчета того, каким будет выход системы LTI для данного входного сигнала. Система LTI с непрерывным временем обычно иллюстрируется следующим образом:

H ‘ role=»presentation»> H x ( t ) ‘ role=»presentation»> x ( t ) y ( t ) ‘ role=»presentation»> y ( t )

Системы LTI с дискретным временем имеют одинаковые свойства; обозначения отличаются из-за разницы между дискретным и непрерывным, но они очень похожи. Эти характеристики позволяют легко охарактеризовать работу системы, используя ее импульсные и частотные характеристики. Они предоставляют две точки зрения на систему, которые могут использоваться в разных контекстах.

Импульсивный ответ:

δ ( t ) ‘ role=»presentation»> δ ( t ) δ [ n ] ‘ role=»presentation»> δ [ n ] h ( t ) ‘ role=»presentation»> h ( t ) h [ n ] ‘ role=»presentation»> h [ n ]

Почему это полезно? Это позволяет нам предсказать, как будет выглядеть вывод системы во временной области. Помните свойства линейности и неизменности времени, упомянутые выше? Если мы можем разложить входной сигнал системы на сумму компонентов, то выходной сигнал будет равен сумме выходов системы для каждого из этих компонентов. Что если бы мы могли разложить наш входной сигнал на сумму масштабированных и сдвинутых по времени импульсов? Тогда выходной сигнал будет равен сумме копий импульсного отклика, масштабированных и сдвинутых по времени таким же образом.

x [ n ] ‘ role=»presentation»> x [ n ]

x [ n ] ‘ role=»presentation»> x [ n ] x [ n ] ‘ role=»presentation»> x [ n ] y [ n ] ‘ role=»presentation»> y [ n ]

h [ n ] ‘ role=»presentation»> h [ n ] x [ n ] ‘ role=»presentation»> x [ n ] y [ n ] ‘ role=»presentation»> y [ n ]

Для систем с непрерывным временем приведенная выше прямая декомпозиция невозможна в строгом математическом смысле (дельта Дирака имеет нулевую ширину и бесконечную высоту), но на инженерном уровне это приблизительный, интуитивно понятный способ взглянуть на проблему. Аналогичная теорема о свертке справедлива для этих систем:

h ( t ) ‘ role=»presentation»> h ( t ) L 2 ‘ role=»presentation»> L 2 L 2 ‘ role=»presentation»> L 2

Частотный отклик:

Что еще более важно ради этой иллюстрации, посмотрите на ее обратную сторону:

x ( t ) ‘ role=»presentation»> x ( t ) A ( f ) ‘ role=»presentation»> A ( f ) ϕ ( f ) ‘ role=»presentation»> ϕ ( f ) x ( t ) ‘ role=»presentation»> x ( t )

Вот где это становится лучше: экспоненциальные функции являются собственными функциями линейных инвариантных по времени систем. Идея в том, что, подобно собственным векторам в линейной алгебре, если вы поместите экспоненциальную функцию в систему LTI, вы получите ту же экспоненциальную функцию, масштабированную (обычно сложным) значением. Это приводит к изменению амплитуды и фазы экспоненциальной функции, которую вы вводите.

x ( t ) ‘ role=»presentation»> x ( t ) x ( t ) ‘ role=»presentation»> x ( t ) X ( f ) ‘ role=»presentation»> X ( f ) H ‘ role=»presentation»> H Y ( f ) ‘ role=»presentation»> Y ( f )

H ( f ) ‘ role=»presentation»> H ( f ) X ( f ) ‘ role=»presentation»> X ( f ) X ( f ) ‘ role=»presentation»> X ( f ) A ( f ) ‘ role=»presentation»> A ( f ) ϕ ( f ) ‘ role=»presentation»> ϕ ( f )

Объединяя их:

Таким образом, учитывая либо импульсную реакцию системы, либо ее частотную характеристику, вы можете рассчитать другую. Любого из них достаточно, чтобы полностью охарактеризовать поведение системы; импульсная характеристика полезна при работе во временной области, а частотная характеристика полезна при анализе поведения в частотной области.

Один раз резко постучите по чему-нибудь и нарисуйте, как оно реагирует во временной области (как с помощью осциллографа или ручного плоттера). Это будет близко к импульсной реакции.

Получить генератор тона и вибрировать что-то с разными частотами. Некоторые резонансные частоты будут усиливаться. Другие могут не отвечать вообще. График размера и фазы отклика в зависимости от входной частоты. Это будет близко к частотной характеристике.

Для некоторых общих классов систем (где система не сильно меняется со временем, а любая нелинейность достаточно мала, чтобы ее можно было игнорировать для данной цели), эти два ответа связаны, и может быть применимо преобразование Лапласа или Фурье приблизить отношения.

Ответы с линейными не зависящими от времени задачами

Рекомендации

Статья в Википедии о LTI здесь

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Отклик системы на внешнее механическое или электрическое воздействие во многих случаях определяется механизмом реакции, а также строением исходных реагентов и продуктов реакции. Так, напри-мир, в окрестности термодинамического равновесия акустические методы позволяют наблюдать лишь те реакции, которые сопровождаются изменением энтальпии или объема системы или тем и другим вместе. С помощью диэлектрической радиоспектроскопии обнаруживаются только те реакции, которые приводят к изменению поляризации жидкости во внешнем электрическом поле. Релеевская спектроскопия фиксирует реакции, которые изменяют анизотропию поляризуемости жидкой фазы. [4]

Отклик системы характеризуется линейной и нелинейной проницаемо-стями. Эти величины вводятся следующим образом. [5]

Отклик системы характеризуется линейной и нелинейной прони-цаемостями. Эти величины вводятся следующим образом. [6]

Определим отклик системы на импульсное и ступенчатое возмущения. Из уравнения (3.449) следует, что такой отклик является суммой откликов модели идеального смешения и идеального вытеснения с коэффициентами Vi / v и i 2 / i. [8]

Кривую отклика системы на ступенчатое возмущение часто называют F-кривой. [13]

Общепринято описывать отклик системы в виде нормированных коистаит скорости, определяемых уравнениями ( 3 3) и ( 3 4) для ЛБА и ДВА соответственно. [14]

Возможность получить полный частотный отклик системы сразу, с помощью одного эксперимента-это как раз то, что нам нужно для ускорения измерения спектра ЯМР. Способ осуществления удара молотком в спектроскопии ЯМР, а также способ расшифровки частотной информации в результирующем отклике пока не ясны, но потенциальные преимущества этого подхода легко оценить. В эксперименте с непрерывной разверткой для получения разрешения в 1 Гц на ширине спектра в 1000 Гц нужно затратить 1000 с. Но если мы научимся анализировать отклик образца на импульс, то, очевидно, сможем завершить такой альтернативный эксперимент как раз за 1 с. При этом на измерение каждой частоты по-прежнему будет расходоваться 1 с, поскольку теперь мы измеряем все частоты одновременно, а не одну за Другой. [15]

Источник

Системы управления — анализ времени отклика

Мы можем проанализировать реакцию систем управления как во временной, так и в частотной областях. Мы обсудим анализ частотных характеристик систем управления в следующих главах. Давайте теперь обсудим анализ времени отклика систем управления.

Что такое время отклика?

Если выходной сигнал системы управления для входа изменяется во времени, то он называется временной реакцией системы управления. Время отклика состоит из двух частей.

Реакция системы управления во временной области показана на следующем рисунке.

Здесь как переходные, так и стационарные состояния указаны на рисунке. Ответы, соответствующие этим состояниям, известны как ответы переходного и стационарного состояний.

Математически мы можем записать временную характеристику c (t) как

C ( T ) = C т р ( т ) + C с с ( т )

Переходный ответ

Переходный отклик будет нулевым для больших значений «t». В идеале это значение ‘t’ равно бесконечности и практически в пять раз больше.

Математически мы можем записать это как

l i m t r i g h t a r r o w i n f t y c t r ( t ) = 0

Устойчивый государственный ответ

Найдем нестационарные и установившиеся состояния временной реакции системы управления c ( t ) = 10 + 5 e − t

Стандартные тестовые сигналы

Стандартные тестовые сигналы: импульсный, шаговый, линейный и параболический. Эти сигналы используются для определения производительности систем управления с использованием временной характеристики выхода.

Импульсный сигнал блока

Единичный импульсный сигнал δ (t) определяется как

Источник

Частотный отклик механических систем

В продолжение статьи нашего корпоративного блога о демпфировании механических колебаний мы подробно расскажем про анализ гармонического отклика механических систем при учете демпфирования. Мы также продемонстрируем различные способы определения и анализа частотного отклика в программном пакете COMSOL Multiphysics®.

Что такое частотный отклик?

В общем смысле, частотный отклик системы показывает реакцию системы (в части некоторых свойств) на воздействие как функцию от частоты возбуждения. В контексте моделирования в COMSOL Multiphysics под частотным откликом, как правило, подразумевается линейный (или линеаризованный) отклик на гармоническое возбуждение. Для построения графика кривой частотного отклика необходимо провести частотный анализ для заданного набора частот (исследование в частотной области). В общем случае на такой кривой будут визуализированы различимые пики, положение которых определяется собственными резонансными частотами системы.

Типовая кривая частотного отклика. В построенном диапазоне отлично идентифицируются две собственные резонансные частоты: 13 и 31 Гц.

Еще раз о системе с одной степенью свободы

Различные аспекты динамики системы с одной степенью свободы и вязким демпфированием были рассмотрены в предыдущем блогпосте.

В частности мы определили что значение собственной частоты при учете демпфирования определяется как

\omega_d = \omega_0\sqrt <1-\zeta^2>\approx \omega_0 \left ( 1 – \frac <\zeta^2> <2>\right )

Это частота, при которой система, выведенная из деформированного состояния и не подверженная другому внешнему возбуждению, будет колебаться с затухающей амплитудой.

Возникает логичный вопрос: «При какой частоте возбуждения амплитуда отклика будет максимальной?» Можно предположить, что это значение должно быть равно собственной частоте колебаний демпфированной системы, но как мы покажем далее, это не так.

Система с одной степенью свободы.

Поскольку мы имеем дело с гармоническим движением, удобно использовать комплексную систему обозначений, исключая общий гармонический множитель e^ .

Тогда уравнение движения можно записать как:

\left (-\omega^2m +ic\omega +k \right) u = f

Фазовый угол нагрузки f можно использовать в качестве референсного, чтобы значение f было действительным. Для получения нормализованного вида уравнения разделим его на жесткость k:

\left (1-\left (\frac<\omega> <\omega_0>\right) ^2 +2i\zeta \left (\frac<\omega> <\omega_0>\right) \right) u = \frac

Теперь правая часть в точности выражает статическое смещение. Следовательно, отношение динамического решения к статическому выглядит следующим образом:

\displaystyle H(\omega) = \left (1-\left (\frac<\omega> <\omega_0>\right) ^2 +2i\zeta \left (\frac<\omega> < \omega_0>\right) \right)^ <-1>=\frac <1>

Функцию H иногда называют передаточной функцией.

Здесь β обозначает отношение частоты возбуждения к собственной частоте недемпфированных колебаний. Амплитуда передаточной функции выражается как

Эта функция показана на графике ниже.

Простыми математическими операциями частоту, при которой амплитуда становится максимальной, можно определить, вычислив минимальное значение знаменателя (в квадрате) <(1-\beta ^2)^2 +4\zeta^2 \beta^2>.

В результате получаем

Следовательно, частота возбуждения, обеспечивающая максимальный отклик, составляет

\omega_<\mathrm > = \omega_0\sqrt <1-2\zeta^2>\approx \omega_0 \left ( 1 – \zeta^2 \right )

т.е. меньше, чем собственная частота колебаний демпфированной системы.

Фактически сдвиг по частоте получается в два раза больше. Может показаться парадоксальным то, что частота возбуждения, вызывающая максимальное усиление колебаний, не совпадает с частотой свободных колебаний. Это можно объяснить фазовым сдвигом между силой и смещением, который обусловлен демпфированием. Без демпфирования нагрузка и смещение синфазны ниже собственной частоты и сдвинуты на 180° по фазе выше собственной частоты (с быстрым переходом в её окрестности). Демпфирование обеспечивает более плавный переход фазового сдвига (см. график ниже). Вне зависимости от уровня демпфирования, фазовый сдвиг на собственной частоте колебаний недемпфированной системы всегда составляет 90°.

Зависимость фазового сдвига смещения как функция от частоты.

Несовпадение по фазе силы и смещения при демпфировании, оказывает влияние на процесс передачи энергии этой силой системе.

Описание демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь

Повторим анализ для системы с одной степенью свободы с гистерезисными потерями. В данном случае применяется следующее уравнение движения:

\left (-\omega^2m +k(1+i\eta ) \right) u = f

и собственную частоту колебаний демпфированной системы можно выразить как

\displaystyle \omega_d = \omega_0 \sqrt <\left( \frac<1><2>
\left( 1 + \sqrt <1+\eta^2>\right ) \right ) > \approx \omega_0 \left (1 + \frac <\eta^2> <8>\right )

Это может удивить, но в данном случае при учете демпфирования собственная частота не уменьшается, а возрастает. Это можно объяснить тем, что представление демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь в данной модели также повышает жесткость. Абсолютное значение комплекснозначной жесткости составляет

|\tilde k| = k \sqrt <1 + \eta^2>\approx k \left ( 1+ \frac<\eta^2> <2>\right )

С таким представлением демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь передаточная функция выглядит следующим образом:

а ее амплитуда составляет

Сразу же очевидно, что максимальная амплитуда возникает при β = 1, а именно при собственной частоте колебаний системы без демпфирования. Опять же, максимальное усиление колебаний происходит на меньшей частоте, чем собственная частота колебаний демпфированной системы.

Альтернативное представление демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь, упомянутое в предыдущей статье, примечательно тем, что абсолютная величина комплекснозначной жесткости не зависит от степени демпфирования. Это можно получить, используя определение для нормализации комплекснозначной жесткости, с помощью которой можно описать простое вращение в комплексной плоскости:

Такая формула означает, что собственная частота с демпфированием уменьшается:

\displaystyle \omega_d = \omega_0 \sqrt < \frac <\frac<1> <2>\left( 1 + \sqrt <1+\eta^2>\right )> <1+ \eta^2>> \approx \omega_0 \left (1 – \frac<3\eta^2><8>
\right )

Анализ, в результате которого можно получить соответствующее снижение частоты возбуждения, которое также меньше собственной частоты колебаний демпфированной системы, в данной статье не приведен.

Фазовый сдвиг между возбуждением и откликом при описании демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь особенно интересен, поскольку он наблюдается даже при очень низких частотах возбуждения. Его асимптотическое значение — arctan(η).

Зависимость фазового сдвига смещения от частоты в случае введения демпфирования в систему через коэффициент гистерезисных потерь. Низкочастотные асимптоты обозначены пунктирными линиями.

Замечание о трении

В случае сопряжения эффекта демпфирования с эффектом трения между двумя поверхностями, отклик на гармоническое воздействие уже не будет являться гармоническим, ввиду наличия нелинейности в системе. При этом отклик может быть периодическим, но ангармоническим. Такие задачи уже невозможно решить с помощью методов анализа в частотной области, в которых предполагается линейность отношения внешнего воздействия и результата этого воздействия.

Моделирование частотного отклика в COMSOL Multiphysics®

Настройка исследования

После добавления физического интерфейса из группы Механика Конструкций в Мастере создания моделей становится доступно для выбора несколько типов исследования, четыре из которых можно использовать для вычисления частотного отклика:

Доступные типы исследования для интерфейса Solid Mechanics.

Два исследования из указанных выше реализуют прямое решение, а в двух других используется техника модальной суперпозиции. При использовании исследований группы Prestressed можно учитывать изменение жесткости конструкции, обусловленное стационарной предварительной нагрузкой. Методика суперпозиции мод идеально подходит для расчетов в частотной области, поскольку при этом реализуется простой выбор подходящих мод собственных колебаний на основе заданных частот.

В любом случае частотный анализ выполняется при условии, что в настройках исследования указаны значения частот, для которых требуется вычислить отклик. Зачастую бывает эффективно сгустить частотные точки около собственных частот конструкции (для получения лучшего разрешения).

Ввод частот для проведения частотного анализа.

Обратите внимание на то, что без демпфирования отклик на собственной резонансной частоте стремится к бесконечности. Другими словами, невозможно решить задачу о частотном отклике без демпфирования на частоте равной собственной или близкой к ней. Численный результат при этом будет представлять собой вырожденную или, по крайней мере, плохообусловленную системную матрицу.

Гармоническое возмущение или нет?

В узле Stationary(Стационарный) в последовательности решателя для исследования в частотной области имеется достаточно важная настройка: Linearity (Линейность).

Опции задания настройки Linearity.

В принципе, любой анализ в частотной области можно рассматривать как небольшое возмущение, так что использование опции Linear perturbation (Линейное возмущение) не будет ошибочным. Однако, в наиболее распространенном случае колебания происходят относительно нулевого положения. При этом не так важно, рассматривается ли задача как Linear (линейная) или Linear Perturbation (Линейное гармоническое возмущение). Но свойство линейности всегда фундаментально меняет характер интерпретации нагрузок. Нагрузку можно пометить как Harmonic Perturbation (Гармоническое возмущение). Такая нагрузка будет учитываться, только если для опции Linearity задано значение Linear perturbation. Все нагрузки, не имеющие пометку Harmonic Perturbation, в ходе такого исследования будут проигнорированы. И наоборот, если в Linearity не задано значение Linear perturbation, то все нагрузки с пометкой Harmonic Perturbation (Гармоническое возмущение) не будут учитываться, а все остальные рассматриваются как гармонические.

Нагрузка, заданная на грань и помеченная как Harmonic Perturbation.

Рассматриваемая настройка позволяет разграничить нагрузки, приводящие к предварительным напряжениям, и гармонические возбуждения, воздействующие поверх них.

При добавлении стандартного исследования в Frequency Domain (Исследование в частотной области) по умолчанию в Linearity не ставится вариант с учетом возмущений. Поэтому, в таком случае не следует использовать для нагрузок метку Harmonic Perturbation (пока вы не измените соответствующим образом настройку Linearity). При добавлении исследования в Frequency Domain, Prestressed (Исследование в частотной области с предварительным напряжением) в конфигурации солвера для исследования частотного отклика выставляется опция Linear Perturbation. Если исследование использует технику суперпозиции мод, то оно также всегда будет настроено с опцией Linear Perturbation.

Интерпретация полученных результатов

Результаты расчета в частотной области являются комплекснозначными, а их гармоническое изменение — неявное. Фазовый угол комплекснозначного числа описывает фазовый сдвиг относительно референсной фазы (которая может быть выбрана произвольно, но зачастую принимается как фаза основной нагрузки). При этом также можно судить о фазовом сдвиге величины в разных точках конструкции. Следует помнить о том, что поскольку компоненты смещения в пределах одного конечного элемента могут иметь разные фазовые углы, весьма вероятно, что компоненты тензора напряжений не совпадают по фазе. Это может иметь значение, например, для анализа усталостных характеристик.

Во многих случаях, например, при цветовой визуализации на графике, можно отображать только вещественные числа. Для представления результатов действует следующее правило: если вы используете комплекснозначную переменную v в контексте, где на выходе ожидается вещественное значение, используется её действительная часть: \displaystyle v = \Re(\tilde v e^)

Фазовый угол Φ представляет собой свойство, задаваемое в наборе данных исследовании, где его можно изменить.

Задание ненулевого фазового угла в наборе данных.

Пример графика частотного отклика. Обратите внимание на то, что график для «u» идентичен графику для «real(u)».

Для более детального анализ можно добавить на график мнимую часть и аргумент результирующей величины:

Пример графика частотного отклика с отображением фазы.

Для низких частот действительная часть близка к абсолютной величине. Вблизи собственной частоты мнимая часть, наоборот, вносит свой основной вклад. Это означает, что отклик не синфазен с возбуждающей нагрузкой.

А теперь посмотрим, что произойдет, если значение фазового угла в наборе данных будет изменено на 45°.

Частотный отклик при задании величины 45° для фазового угла в наборе данных.

Как и ожидалось, график амплитуды остается неизменным. При этом графики действительной и мнимой частей меняются, а кривая фазы сдвигается вверх на π/4. На самом деле, такой же график получился бы при добавлении фазового угла 45° к нагрузке.

Задание сдвига по фазе в нагрузке.

Вместо ввода фазового угла можно эквивалентным образом указать нагрузку напрямую, используя комплексный формализм:

Комплексное представление нагрузки, аналогичное варианту на изображении выше.

Возможность задать фазовый угол определенно очень важна для случая, когда нагрузки не совпадают по фазе. Например, вращающуюся несбалансированную массу можно описать традиционным способом, указав для нагрузки по оси y фазовый сдвиг на 90° относительно нагрузки по оси x.

Результаты исследования при учете гармонических возмущений

При использовании исследования, в котором учитываются гармонические возмущения (на фоне стационарной нагрузки), будет сформировано два набора результатов: решение для предварительного напряжения и решение для гармонического возмущения. В данном случае при настройке графиков или операций вычисления появится дополнительная настройка: Expression evaluated for.

Выбор способа расчета величины в рамках исследования, в котором учитываются гармонические возмущения.

Здесь можно выбрать для какого решения нужно вывести/рассчитать величину: для решения с расчетом гармонических возмущений, для решения с расчетом предварительного напряжения или для их сочетания. В случае выбора решения с расчетом гармонических возмущений также будет доступна еще одна дополнительная опция: чекбокс Compute differential.

Активация чекбокса Compute differential.

Последняя настройка влияет на обработку нелинейных выражений. Если чекбокс Compute differential не активирован, нелинейная величина принимается равной фактическому значению. Например, в выражении u^2 переменная u из решения для возмущения просто возводится в квадрат. Поскольку переменная u в общем случае является комплекснозначной, данная операция бессмысленна.

Преобразование данных из частотной во временную область

В некоторых ситуациях может потребоваться непосредственно визуализировать гармонический отклик, полученный в рамках расчета в частотной области, как функцию от времени. В частности, это может быть полезно при наличии нескольких возбуждающих нагрузок с разными частотами.

Отклик на возбуждение от двух нагрузок с разными частотами.

Провести конвертацию данных из частотной области во временную можно возможно посредством шага исследования Frequency to Time FFT (Быстрое преобразование Фурье из частотной области во временную область).

Последовательность исследований для перевода результатов из частотной области во временную.

Этот метод используется в следующих учебных моделях:

Заключение

Расчет в частотной области представляет собой мощное средство для анализа линейных систем, подверженных воздействию гармонического возбуждения. На самом деле, можно свести к исследованию в частотной области любую задачу с периодической формой возбуждающего сигнала нагрузки за счет конвертации его с использованием преобразования Фурье.

В Галерее приложений доступно множество примеров анализа частотного отклика механических систем, например:

Источник