Что такое отношение информатика
Отношения между объектами
Урок 5. Информатика 4 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Отношения между объектами»
На прошлом занятии мы вспомнили, что объект – это общее название любого предмета, живого существа, явления, процесса, события, если мы обратили на него наше внимание. Также поговорили о том, что каждый объект имеет имена (общее, конкретное и собственное) и свойства (существенные и несущественные, общие и отличительные).
Предлагаю продолжить изучение данной темы по следующему плану.
Вспомнить, что объекты находятся в отношениях между собой и эти отношения имеют свои имена.
Научиться видеть и называть отношения, а также строить схему отношений между двумя объектами.
Все объекты взаимодействуют между собой, то есть находятся в определённых отношениях. Обычно говорят: объекты связаны отношениями.
Отношения имеют свои имена: «меньше», «больше», «дороже», «дешевле», «сильнее», «крупнее», «быстрее», «левее», «шире», «выше», «старше», «младше». Ой, приводить примеры имён отношений можно бесконечно.
Люди могут быть связаны друг с другом родственными отношениями: «брат», «сестра», «бабушка», «мать», «отец», «внучка», «сын», «дядя» и другие.
Бывают производственные отношения: «начальник», «подчинённый», «помощник», «учитель», «ученик» и так далее.
Значит, мы смело может заявлять, что все объекты связаны друг с другом разными отношениями. Обычно это не одно, а много разных отношений.
Например, вот 2 объекта: ноутбук и калькулятор. Ноутбук сложнее, крупнее, дороже калькулятора.
Отношения между объектами удобно представлять в виде схемы. Например, отношения между ноутбуком и калькулятором в виде схемы будут выглядеть вот так. Обратите внимание, в сторону какого объекта указывает стрелка.
Мы говорим, что ноутбук сложнее, крупнее, дороже чем калькулятор. Значит стрелка идёт от ноутбука к калькулятору. Если мы стрелку изобразим справа налево, то получится, что калькулятор сложнее, крупнее, дороже ноутбука. А это совсем не так. Отношения в данной схеме будут следующие:
проще, мельче, дешевле.
Думаю, здесь ничего сложного для вас нет, но потренироваться стоит.
Вот перед вами несколько объектов и отношений между ними. Изобразите эти отношения в виде схемы.
А теперь проверьте, так ли у вас получилось.
Если у вас так, эти аплодисменты вам. Идём дальше.
Все отношения между объектами делятся на симметричные и несимметричные.
В симметричных отношениях объект А находится с объектом Б в таких же отношениях, как и объект Б с объектом А.
Например, фехтовальщик слева соперник фехтовальщику справа. И наоборот, фехтовальщик справа соперник фехтовальщику слева.
Максим ровесник Наташи и Наташа ровесница Максима.
Шарик друг Денису, и Денис друг Шарику.
Обратите внимание, что в симметричных отношениях между объектами стрелка двусторонняя.
Семейные отношения между братом и сестрой, отцом и сыном, отцом и дочерью, сыном и матерью – это примеры несимметричных отношений. Только не путайте, пожалуйста, направления стрелок. Чтобы случайно у вас не получилось, что женщина – сын мальчика, а мальчик – мать этой женщины.
А вот, например, отношение «сестра» между двумя девочками, конечно симметричное.
К несимметричным отношениям ещё относится такой важный вид отношений как «часть – целое» и «целое – часть».
Например, компьютер – это целое по отношению к его части – монитору.
А вот системный блок – это часть целого – компьютера.
Солнечная система – целое по отношению к планете Земля, которая является её частью.
А планета Земля – часть Солнечной системы.
Ещё в отношениях «часть – целое» и «целое – часть» находятся, например, объекты ветка и дерево, тетрадь и лист, буква и слово, предложение и слово.
Ну, вот ребята, это всё, о чём я хотел рассказать вам сегодня по теме «Отношения между объектами».
Но чувствую, что закрепить полученные знания несколькими заданиями всё же надо.
Итак, первое задание.
Отметьте подходящие пары отношений между объектами.
Давайте проверим то, что у вас получилось.
Для объектов слева – ёлок, подходят следующие пары отношений из предложенных: выше-ниже, ближе-дальше, правее-левее, светлее-темнее.
Для объектов «неваляшки» подходят следующие пары отношений из предложенных:
веселее-грустнее, правее-левее тоже подходит, как и для предыдущей пары объектов, проще-сложнее, новее-старее.
Кстати, можете ещё подумать и придумать несколько пар отношений между изображёнными объектами.
А теперь предлагаю представить в виде схем отношения между этими объектами.
Надеюсь, у вас так получилось.
Ну а сейчас, ребята, ещё одно задание.
Перед вами таблица. В первом столбике объект номер один, в третьем – объект номер два. А во втором столбике нам необходимо вставить подходящее из этого списка отношение между объектами один и два.
Итак, что же должно было получиться.
Далматин и пекинес. Отношение «крупнее». Да, это действительно так.
Мотоцикл и велосипед. Отношение «дороже».
Окунь – плавник. Отношение «целое».
Листок – ветка. Часть.
Колесо – автомобиль – тоже отношение «часть».
Число – цифра. Отношение «целое».
И последняя пара объектов – «лимон-апельсин». Отношение «кислее».
Вот и подошла к концу наша встреча. Осталось сделать выводы и отметить главное.
Каждый объект связан с другими объектами разными отношениями.
Отношения между объектами имеют имена («больше», «дороже», «уже», «сильнее», «шире», «светлее» и так далее).
Отношения бывают разными: характеризующими вес, размер, расстояние между объектами.
Отношения бывают симметричными и несимметричными.
Важный вид несимметричных отношений – это «часть – целое» и «целое – часть».
Разнообразие отношений объектов и их множеств. Отношения между множествами
Урок 4. Информатика 6 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Разнообразие отношений объектов и их множеств. Отношения между множествами»
· отношения между множествами.
Итак, на первом уроке мы узнали, что такое объект и какие отличительные признаки он имеет. Объект также можно охарактеризовать с помощью отношений, в которых этот объект находится с другими объектами.
Подробнее разберём на примерах.
Антон сын Юрия. Эйфелева башня находится в Париже. Кислород входит в состав воды.
Москва – столица России (является столицей). Антон дружит с Аней.
В данных примерах выделено имя отношения, которое обозначает характер связи между ними.
Таким образом, отношение – это взаимосвязь между объектами.
Одинаковыми отношениями могут быть связаны одновременно несколько объектов.
ученик Антон решил составить генеалогическое дерево своей семьи.
Для этого ему необходимо было узнать, кто в каких отношениях находится. То есть он приходится сыном своего отца (Юрия) и мамы (Татьяны). В свою очередь Татьяна приходится дочерью Леонида (дедушка Антона) и Елены (бабушка Антона). Юрий приходится сыном Григория (дедушка Антона) и Марии (бабушка Антона). Так же у Антона есть сестра Маша. Так как словесное восприятие вызывает затруднение, давайте поможем Антону представить это все в виде схемы и постоим генеалогическое дерево.
Видим, что самыми старшими являются дедушки и бабушки Антона, поэтому расположим их в самом верху.
У Леонида и Елены есть дочь Татьяна, а у Григория и Марии сын Юрий. Значит, разместим их на втором уровне (если считать сверху) и укажем их отношения с родителями в виде стрелок.
У Татьяны и Юрия есть сын Антон и дочь Маша. Разместим их аналогичным образом на нашей схеме.
На данной схеме стрелками указаны отношения, то есть сверху вниз стрелка обозначает, что тот, кто находится выше – приходится отцом или матерью, а тот, кто ниже – приходится сыном или дочерью. В данном случае можно обойтись и без стрелок. Получим следующую схему.
Таким образом, мы узнали, как же можно схематически показать отношение между объектами.
Следует запомнить, что такими отношениями могут быть связаны только объекты некоторых видов. А в отношениях «является элементом множества», «входит в состав» и «является разновидностью» могут находиться любые объекты.
Подходя к рассмотрению отношений множеств, разберём несколько примеров.
Для начала рассмотрим, как отношения связывают два множества.
помидоры – это овощи (являются элементом множества);
тигры относятся к семейству кошачьих;
10 входит в состав двухзначных чисел.
Для графического представления множеств удобнее использовать круги Эйлера.
Существует два каких-то множества A и B (изобразим в виде двух кругов). Итак, если множества имеют общие элементы, то есть элементы одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B, то эти множества пересекаются.
Например, Антон учится в 6 «А» классе. В классе восемнадцать человек: 8 мальчиков и 10 девочек.
У трёх девочек и у троих мальчиков по математике оценка пять. Учительница по математике попросила девочек и мальчиков, которые знают математику на пять сесть на средний ряд.
Для решения этого примера изобразим графически два множества: A – множество мальчиков, B – множество девочек. Так, как и в одном и во втором множестве есть ученики, которые знают математику на пять – объединим их и получим следующее.
Пересечением множеств и является количество девочек и мальчиков, знающих математику на пять, то есть это те учащиеся, которые сели на средний ряд.
Множества, не имеющие общих элементов, не пересекаются.
Разберём все тот же пример. В классе у Антона восемнадцать человек: восемь мальчиков и десять девочек. Возьмём A – множество мальчиков, B – множество девочек. Так как ничего общего, указанного в данном примере, между этими двумя множествами нет, то они не пересекаются.
Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то B является подмножеством A.
И снова возвращаемся к примеру, с классом Антона. Антон учится в 6 «А» классе. В классе восемнадцать человек. В школе учатся четыре шестых класса. Пусть A – множество параллели шестых классов, B – множество 6 «А» класса. Таким образом, каждый учащийся 6 «А» класса также является учащимся параллели шестых классов. То есть множество B является подмножеством A.
Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то множества А и В равны.
Например, Антон учится в 6 «А» классе. В школе учатся четыре шестых класса – 6 «А», 6 «Б», 6 «В», 6 «Г». Три из четырёх классов – 6 «Б», 6 «В» и 6 «Г» отправились на экскурсию и в школе из всей параллели 6-х классов остался один 6 «А». Итак, пусть A – множество параллели шестых классов, которые остались в школе, B – множество 6 «А» класса. Таким образом, каждый учащийся 6 «А» класса также является учащимся параллели шестых классов, которые остались в школе. То есть множество B равно множеству A.
Отношение – это взаимосвязь между объектами.
Если два множества имеют общие элементы, т.е. элементы одновременно принадлежат и первому и второму множеству, то эти множества пересекаются.
Множества, не имеющие общих элементов, не пересекаются.
Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то B является подмножеством A.
Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то множества А и В равны.
Отношения. Часть I
Формальная теория моделирования использует алгебраические отношения, включая их в сигнатуры моделей алгебраических структур, которыми описывает реальные физические, технические и информационные объекты, процессы их функционирования. К числу последних я отношу, например, базы данных (реляционные базы данных (РеБД)). Не менее важной считаю область принятия решений, которая состоит из двух основных статистической и алгебраической, основанной целиком на теории отношений. Образовательный уровень специалистов в этой теории близок к нулю.
Откройте учебник по специализации и там увидите в лучшем случае об эквивалентностях, которые авторами трактуются весьма своеобразно. Одного защитившегося уже ДТН спрашиваю: Вы рассматриваете отношение эквивалентности на указывая ни носителя отношения, ни конкретного отношения, как оно у Вас выглядит в записи? Ответ: как выглядит — обыкновенно. Выясняется, что он обо всем этом имеет весьма смутное представление.
Публикаций по проектированию РеБД, кроме иностранных статей назвать затрудняюсь. В 90-х годах был оппонентом, писал отзыв на диссертацию, где рассматривались и иерархические, и сетевые, и реляционные БД. Но как-то год, полтора назад опять на отзыв пришла работа, автор пишет уже только о РеБД, о нормализации отношений БД, но теоретической новизны не показал. Во многих ВУЗах читается курс о базах данных, но не о том, как их создать, создать СУБД, а как правило, о том как эксплуатировать готовую (зарубежную) БД.
Преп. состав не готов научить специалистов IТ-шников создавать отечественные СУБД, ОS, языки программирования, я уж не говорю о БИС, СБИС, заказных БИС. Здесь, по-видимому, поезд ушел давно и надолго. Так что напрасно надуваются у некоторых щеки от гордости (читай снобизма) это видно по комментариям к чужим публикациям, покажите сами, что можете, а не балуйтесь никчемными переводами и перепевками чужого ради предмета гордости — «рейтинга» и «кармы». Сказывается не только отсутствие креатива, но простой образованности и воспитания.
Вторая предметная область неразрывно, связанная с отношениями, — принятие решений. Каждый из нас постоянно занят этим. Мы без решения осознанного или неосознанного пальцем не пошевелим. Мало кто понимает, а еще меньше пишет о решениях. В основе решения любого ЛПР (лица, принимающего решение) лежит предпочтение альтернатив. А моделью предпочтения как раз и является такой тип отношений, который назван «пространством отношений предпочтения». Но кто их изучает. Когда я пришел к «специалисту» по отношениям с вопросом о количестве отношений каждого типа, он не зная ответа, «убил» встречным вопросом, а зачем это Вам?
Понятие отношения
Думаю, что термин отношение знаком каждому читателю, но просьба дать определение поставит большинство в тупик. Причин для этого много. Они чаще всего в преподавателях, которые, если и использовали отношения в процессе преподавания, внимания на этом термине не заостряли, запоминающихся примеров, по-видимому, не приводили.
В моей памяти есть несколько на всю жизнь запомнившихся примеров. Об отображениях и об отношениях. Расскажу вначале об отображениях. Имеется два ведерка с краской. В одном белая в другом — черная. И есть коробка с кубиками (очень много). Грани имеют рельефные номера. Сколькими способами можно раскрасить грани кубиков в два цвета? Ответ неожиданный — столькими, сколько 6-разрядных двоичных чисел, или 2 6 = 64. Поясню подробнее ф: 2→6 отображаются 2 объекта в 6. Каждая строчка таблицы- дискретное отображение фi.
Построим таблицу с 6 колонками и краскам сопоставим число белая — нуль, черная — единица, а граням кубика колонки. Начинаем с того, что все 6 граней белые — это 6-мерный нулевой вектор. Вторая строчка одна грань черная, т. е. младший разряд заполнен 1. и так до исчерпания 6-разрядных двоичных чисел. Кубики ставим в общий длинный ряд. У каждого из них как бы появился номер от 0 до 63.
Теперь отображение наоборот. Пачка листов бумаги (много) и 6 красок (фломастеры).
Фломастерами разного цвета надо пометить обе стороны бумажных листов. Сколько листов потребуется. Ответ f: 6 → 2 или 6 2 =36. Речь идет о произвольных отображениях.
Получили 9 упорядоченных пар элементов из А×А, в паре первый элемент из первого сомножителя, второй — из второго. Теперь попробуем получить все подмножества из декартова квадрата А×А. Вначале простенький пример.
Подмножества будут содержать из А×А разное количество элементов (пар): одну, две, три и так до всех 9 пар, включаем в этот список и пустое множество (Ø). Сколько же получилось подмножеств? Много, а именно 2 9 = 512 элементов.
Определение. Любое подмножество декартова произведения (у нас квадрата) множества называется отношением. Заметим, в произведении используется одно и то же множество. Если множества разные, возникает не отношение, а соответствие.
Символ отношения ставится слева от элементов R(x, y) или между ними x R y; х, у є А.
Определение Множество всех подмножеств множества А называется булеаном. Наш булеан состоит из 2 |А×А| элементов, здесь|А×А| — мощность множества.
Отношения можно задавать в разном представлении над А=
Рисунок 1.2. а)Матрица 4×4 бинарного отношения б) нумерация клеток Матрицы
Здесь используются номера клеток, заполненные единицами на рис. 1б)
— Векторное представление. Двоичный вектор для представления бинарного отношения формируется из элементов <0,1>следующим образом:
Рассмотренный пример задания отношения в векторной форме будет иметь следующий вид:
— Представление графом. Поставим в соответствие элементам множества
А =
Проведем в графе дугу от (xi) к (xj) тогда и только тогда, когда пара (xi,xj) є R (при i = j дуга (xi,xi) превращается в петлю при вершине (xi). Пример (рис. 1а) представления бинарного отношения A[4×4] графом изображен на рис.2.2.
Рисунок 2.2. Представление отношения ориентированным графом
Каталог бинарных отношений (n = 3)
Большое видится на расстоянии. Чтобы почувствовать отношения их разнообразие, мощность мне пришлось вручную создать каталог бинарных отношений над множеством из 3-х элементов, который включил все (боле 500 отношений) отношения. После этого «дошло» или «зашло»об отношениях.
Очевидно, что в каталог войдут 2 3×3 = 2 9 отношений, и каждое из них снабдим набором присущих им свойств. Ниже (табл. 3) приводится полный список всех 512 отношений над множеством А, |A| = 3, из трех элементов. Приводятся также результаты подсчета количества отношений (табл. 2), представленных сочетаниями номеров клеток декартова квадрата 3×3, различных подклассов для различных значений мощности множества-носителя (n = 3). Для каждого отношения указаны его основные свойства и принадлежность типу (табл. 3). Сокращения, используемые в каталоге раскрываются таблицей 2
Таблица 2. Количественные характеристики каталога при разных n
Сущность производимых операций с отношениями и их технику удобно пояснять на примерах, которые особенно просты и понятны для бинарных отношений. В операциях могут участвовать, два и/или более отношений. Операции, выполняемые над отдельными отношениями – унарные операции. Например, операции обращения (получение обратного) отношения, взятие дополнения, сужение (ограничение) отношения. Как пользоваться каталогом поясним примером примером.
Пример 2. Рассмотрим строку Nпр =14 таблицы каталога. Она имеет вид
Первые 9 символов строки (справа от равенства) — это двоичный вектор, соответствующий сочетанию из 9 по 2, а именно, номер первой клетки (отсчет слева направо) номер 5-й клетки матрицы бинарного отношения, т.е. элементы а1а1= а2а2 =1. Это сочетание имеет порядковый номер Ncч = 4 и сквозной номер Nпр = 14 в списке всех отношений. В остальных позициях этой строки стоят либо нули, либо единицы. Нули свидетельствуют об отсутствии свойства, соответствующего названию колонки нуля, а единицы – наличие такого свойства у рассматриваемого отношения.
Свойства и количественные характеристики отношений
Рассмотрим наиболее важные свойства отношений, которые позволят в дальнейшем выделить типы (классы) отношений, применяющиеся в реляционных базах данных в теории выбора и принятия решений и других приложениях. Далее будем обозначать отношение символом [R,Ω]. R- имя отношения, Ω — множество-носитель отношения.
1. Рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в отношении R сам с собой (рис. 2.3). Граф рефлексивного БО имеет во всех вершинах петли (дуги), а матрица отношения содержит (Е) единичную главную диагональ.
Рисунок 2.3. Рефлексивное отношение
2. Антирефлексивность. Отношение [R,Ω] называется антирефлексивным, если ни один элемент из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.4). Антирефлексивные отношения называют строгими.
Рисунок 2.4. Антирефлексивное отношение
3. Частичная рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется частично
рефлексивным, если один или более элементов из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.5).
4. Симметричность. Отношение [R,Ω] называется симметричным, если вместе с упорядоченной парой (х, у) отношение содержит и упорядоченную пару (у, х) (рис. 2.6).
7. Транзитивность. Отношение [R,Ω] называется транзитивным, если для всяких упорядоченных пар (х, у),(у, z) є R, в отношении R найдется упорядоченная пара (х, z) є R или если R×R⊆R (рис. 2.9).
8. Цикличность. Отношение [R,Ω] называется циклическим, если для его элементов
9. Ацикличность. Отношения, в которых отсутствуют контуры называются, ациклическими. Для ациклических отношений выполняется соотношение R k ∩R = Ø для любого k > 1 (рис. 2.11).
10. Полнота (связность). Отношение [R,Ω] называется полным (связным), если для любых двух элементов (у, z) є Ω один из них находится в отношении с другим (рис 2.12). Линейность. Линейные отношения – это минимально полные отношения.
Рисунок 2.12. Линейное отношение
Итак, нами установлено, что отношения, как математические объекты, обладают определенными свойствами, определение которых приведены ранее. В следующем пункте рассмотрим существо и проявление некоторых свойств:
Количественные соотношения таких дискретных пространств представляют большой как
теоретический, так и практический интерес. Ниже рассматриваются некоторые аспекты количественных характеристик, связанных со свойствами отношений разных типов.
Операции над отношениями
Как и большинстве систем счисления с отношениями выполняются операции:
Выше было введено понятие бинарного отношения, как подмножества упорядоченных пар декартова произведения множеств, а также были рассмотрены свойства отношений. Кроме того, были упомянуты бинарные отношения и матричное представление отношений. Рассмотрим теперь понятие отношения более подробно, кроме того, рассмотрим основные операции бинарных отношений, наиболее важные из всего их множества для отношений.
Для них должны выполняться следующие условия:
Унарные операции над отношениями
9. Двойственное отношение (P d ) к отношению Р – отношение, образованное всеми теми парами, которые принадлежат универсальному отношению и не принадлежат обратному отношению (дополнение к обратному):
Двойственное и обратное отношения в совокупности содержат все пары декартова произведения A×A и не имеют общих пар, они также как и отношения Р и P образуют разбиение A×A
Сужение (РА1). Отношение [R1, A1] называется сужением отношения [R, A] на множество Ω1, если Ω1⊆ Ω и R1=R∩Ω1×Ω1. Отношение РА1 на множестве А1 ⊆ А – отношение РА1 на множестве А1, образованное всеми теми парами, которые принадлежат отношению Р и одновременно входят в состав декартова произведения А1 × А1. Другими словами, РА1 – пересечение отношений Р и А1×А1. Пусть А1 =
Операции, требующие не менее двух отношений – n-арные (n-местные). В таких операциях могут участвовать отношения только одинаковой арности. Примеры таких операций: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность отношений и некоторые другие. Если в операции используется более чем два отношения, то она выполняется последовательно для двух первых, а затем для итогового отношения и третьего и т.д.
Иначе говоря, эти операции определены для двух отношений. При операциях над отношениями предполагается, что области задания отношений (операндов и результата) совпадают, арности отношений совпадают, и результатом операции снова является отношение той же арности. В качестве примеров будем рассматривать операции над бинарными отношениями P и Q, заданными на дискретном множестве
А =
1. Пересечение (P ∩ Q) – отношение, образованное всеми теми парами элементов из А, которые входят в оба отношения, т.е. общие для P и Q,
P ∩ Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) & ((ai aj) є Q)>.
Матрица отношения P ∩ Q получается как булево пересечение матриц P и Q:
При отсутствии таких общих пар говорят, что пересечение отношений пусто, т.е. оно является нуль-отношением. Пересечением отношений R1 и R2 (R1∩R2 ) называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из А×А.
2. Объединение (PUQ). Объединением отношений R1 и R2 (R1UR2 ) называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из А×А. Отношение, образованное всеми парами, составляющими или отношение P, или отношение Q, т.е. парами, принадлежащими хотя бы одному из отношений (связка ∨ — или объединительная)
P U Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) ∨ ( (ai aj) є Q)>.
Если в множестве А×А нет других пар, не вошедших в отношение PUQ, а пересечение их нулевое, то говорят, что отношения P и Q при объединении образуют полное отношение А×А, а их система – разбиение этого полного отношения. Объединение матриц отношений образуется как булева сумма матриц отношений:
3.Разность (P\Q) – отношение, образованное теми парами из Р, которые не входят в отношение Q
P\Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P)&((ai aj)∉Q)>.
Разность для отношений в матричном представлении имеет вид
4. Умножение отношений. Упорядоченные пары, образующие отношения могут содержать одинаковые элементы, а могут и не содержать. Среди пар, имеющих в своем составе одинаковые элементы, выделим такие упорядоченные пары, которые назовем смежными (примыкающими) и которые имеют во второй паре 1-й элемент, а в первой паре 2-й элемент один и тот же. Определим произведение смежных пар как упорядоченную пару:
( ai ak)∙( ak aj) => (ai aj).
В терминах теории графов сказанное означает, что смежные пары образуют маршрут из точки (ai) в точку (aj) транзитом через точку (ak), состоящий из 2-х смежных дуг. Произведение этих дуг – третья дуга из точки (ai) в точку (aj), реализующая переход между крайними точками маршрута в том же направлении, минуя промежуточную точку (ak). Говорят, что дуга (ai aj) замыкает эти точки напрямую.
5. Симметрическая разность (P∆Q) – отношение, образованное теми парами, которые входят в объединение PUQ, но не входят в пересечение P∩Q. Другая форма определения объясняет название операции: P∆Q образовано теми упорядоченными парами, которые являются объединением разностей P\Q и Q\P. Таким образом, выражение для симметрической разности записывается двумя разными способами:
P∆ Q = (PU Q)\(P ∩ Q) = (P\Q)U (Q\P).
Матрица симметрической разности имеет вид:
Из последней записи следует, что операция симметрической разности допускает перестановку операндов, т. е. коммутативна.
5. Композиция или произведение (P∙Q) – отношение, образованное всеми парами, для которых выполняется:
P∙Q = <(ai aj)|((ai ak) є P) & ((ak aj) є Q)>.
Другими словами, каждая упорядоченная пара в результирующем отношении есть результат умножения смежных пар, из которых 1-я пара принадлежит первому сомножителю-отношению, 2-я – второму сомножителю-отношению. Операция композиции не коммутативна.
Композиция (Р◦Q) на множестве М – отношение R, заданное на том же множестве М, которое содержит пару (x, y), когда существует Z є M такое, что (x, z) є P и (z, y) є Q.
При матричном представлении отношений матрица композиции отношений равна булеву произведению матриц исходных отношений:
Частный случай композиции отношений – квадрат отношения.
Можно показать, используя индукцию, что n-я степень отношения определяется рекуррентно по формуле:P n =P n-1 ◦Р, это означает, что пара (x,y) є P n в том случае, когда в матрице Р существует цепочка элементов: такая, что (xi, xi+1)є P, 1 Литература