Что такое параллелограмм трапеция
Разница между параллелограммом и трапецией
Содержание:
Параллелограмм против трапеции
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельность придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB = DC, AD = BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. ( )
• Если соседние углы являются дополнительными
• Пара противостоящих друг другу сторон параллельна и равна длине. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO = OC, BO = OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда это называют закон параллелограмма и имеет широкое применение в физике и технике. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 )
Каждую из вышеперечисленных характеристик можно использовать в качестве свойств после того, как будет установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно рассчитать как произведение длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно записать как
Площадь параллелограмма = основание × высота = AB×час
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Это зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух смежных векторов.
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма.
• Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой линией, проходящей через середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию 2-го порядка.
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от местоположения точки.
Трапеция
Трапеция (или Трапеция в британском английском) представляет собой выпуклый четырехугольник, у которого не менее двух сторон параллельны и не равны по длине. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны называются ногами.
Ниже приведены основные характеристики трапеций;
• Если соседние углы не находятся на одном основании трапеции, они являются дополнительными углами. т.е. они складываются в 180 ° ( )
• Обе диагонали трапеции пересекаются в одинаковом соотношении (соотношения между сечениями диагоналей равны).
Площадь трапеции можно рассчитать по следующей формуле
В чем разница между параллелограммом и трапецией (трапецией)?
• В параллелограмме обе пары противоположных сторон параллельны, а в трапеции параллельна только пара.
• Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам (соотношение 1: 1), а диагонали трапеции пересекаются с постоянным соотношением между участками.
• Площадь параллелограмма зависит от высоты и основания, а площадь трапеции зависит от высоты и среднего сегмента.
• Два треугольника, образованные диагональю в параллелограмме, всегда конгруэнтны, в то время как треугольники трапеции могут быть либо конгруэнтными, либо нет.
Что такое параллелограмм трапеция
Параллелограмм и трапеция
Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.
Прямоугольник. Основные свойства прямоугольника. Ромб.
Квадрат. Трапеция. Средние линии трапеции и треугольника.
2. Противоположные углы параллелограмма равны ( 
A = C, B = D ).
3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон :
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D ).
Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC 
BD ) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ).
боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C ).
Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из предыдущего
пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.
Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение четырехугольника
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Выпуклые четырехугольники
В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:
S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ
где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).
Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.
Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Параллелограмм
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.
Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.
Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
Площадь ромба можно найти по трём формулам.
Как произведение стороны ромба на высоту ромба.
Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.
Как полупроизведение диагоналей ромба.
Прямоугольник
Свойства прямоугольника:
Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:
Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.
Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.
Квадрат
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:
Как квадрат стороны.
Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Свойства трапеции:
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками
Что такое трапеция и параллелограмм
Четырехугольник, у которого имеется пара параллельных сторон, называется трапецией.
У четырехугольника KLMN на рисунке параллельными являются стороны LM и KN, у четырехугольника OPQR на рисунке 2 — стороны PQ и OR, а у четырехугольника STUV на рисунке 3 — стороны SF и TU. Значит, эти четырехугольники являются трапециями.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.
На рисунке 1 стороны LM и KN — основания трапеции KLMN, а отрезки LK и MN — ее боковые стороны.
У трапеции STUV на рисунке 3 в качестве оснований можно рассматривать или пару сторон SF и TU, или пару сторон ST и VU, так как в этой трапеции стороны ST и VU также параллельны. Тогда другая пара сторон — боковые стороны трапеции STUV.
Четырехугольник, у которого имеется две пары параллельных сторон, называется параллелограммом. Четырехугольник STUV на рисунке ниже 3 — параллелограмм.
В трапеции боковые стороны могут быть равными. На рисунках показаны две такие трапеции EFGH и RSTU. В трапеции EFGH боковые стороны EF и HG параллельны, потому эта трапеция является параллелограммом. В трапеции RSTU боковые стороны RS и UT не параллельны.
Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией.
Трапеция с прямым углом называется прямоугольной трапецией. На рисунке ниже показана прямоугольная трапеция OPQR.
Параллелограмм и трапеция
Вы будете перенаправлены на Автор24
Предварительные сведения
Для начала разберемся с таким понятием, как четырехугольник.
Рассмотрим далее подробно параллелограмм и трапецию.
Параллелограмм
Рисунок 1. Параллелограмм
Параллелограмм имеет два основных свойства. Введем и докажем их.
Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.
как накрест лежащие углы.
как накрест лежащие углы.
Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.
Готовые работы на аналогичную тему
как накрест лежащие углы.\textit<>
Трапеция
Рисунок 4. Трапеция
Выделяют следующие виды трапеций.
[Определение] Если у трапеции не параллельные (боковые) стороны равны между собой, то её называют равнобедренной. [/Определение]
Если у трапеции два один угол прямой, то её называют равнобедренной.
Рисунок 5. Виды трапеций
Трапеция обладает следующим свойством.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Рисунок 6. Средняя линия трапеции
Сложим два последних равенства, получим
Пример задачи
Решение.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16 05 2021