Что такое пересечение событий

Пересечение независимых событий

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р (А) = где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.

Противоположные события

Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий

Объединение несовместных событий

Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.

Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B: P(A U B) =P(A) + P(B)

Пересечение независимых событий

Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Событие C называют пересечением событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.

Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B: P(A∩B) = P(A) • P(B)

Формула сложения вероятностей совместных событий:

P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.

2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?

3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.

10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?

14. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе.

15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.

17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=2ª, где α –количество бросков

19. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

23. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

24. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.

25. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

27. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

28. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Источник

Что такое пересечение событий

уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП НЩ ЪБОЙНБЕНУС НБФЕНБФЙЛПК Й ЙНЕЕН ДЕМП ОЕ У ТЕБМШОПУФША, Б МЙЫШ У ЕЈ НБФЕНБФЙЮЕУЛПК НПДЕМША. нЩ Й ВХДЕН ЙЪХЮБФШ ФПМШЛП НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ НПДЕМЙ, Б РТЙМПЦЕОЙЕ ЙИ Л ТЕБМШОПУФЙ ПУФБЧЙН ОБ ДПМА НБФЕНБФЙЮЕУЛПК Й РТБЛФЙЮЕУЛПК УФБФЙУФЙЛЙ.

рТЙНЕТЩ УПВЩФЙК: — ЧЩРБМП ПДОП ЙМЙ ДЧБ ПЮЛБ; — ЧЩРБМП ОЕЮЈФОПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ.

рТЙНЕТЩ УПВЩФЙК:
— РТЙ РЕТЧПН РПДВТБУЩЧБОЙЙ ЧЩРБМП ПДОП ПЮЛП;
— РТЙ ЧФПТПН РПДВТБУЩЧБОЙЙ ЧЩРБМП ПДОП ПЮЛП;
— ОБ ЛПУФСИ ЧЩРБМП ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ;
— ОБ ПВЕЙИ ЛПУФСИ ЧЩРБМП ОЕЮЈФОПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ.

фБЛ, ЬЛУРЕТЙНЕОФЩ ЙЪ РТЙНЕТПЧ 1, 2 Й 4 (ОП ОЕ 3) РТЙЧПДСФ Л ДЙУЛТЕФОЩН РТПУФТБОУФЧБН ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ.

2. еУМЙ Й ОЕУПЧНЕУФОЩ, ФП ;

еУМЙ УПВЩФЙЕ УПУФПЙФ ЙЪ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ, ФП ЧЕТПСФОПУФШ ЬФПЗП УПВЩФЙС ТБЧОСЕФУС ПФОПЫЕОЙА :

ОБЪЩЧБЕНПК ЛМБУУЙЮЕУЛЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕН ЧЕТПСФОПУФЙ.

нЩ ЧЙДЙН ФЕРЕТШ, ЮФП РПДУЮЈФ ЧЕТПСФОПУФЙ Ч ЛМБУУЙЮЕУЛПК УИЕНЕ УЧПДЙФУС Л РПДУЮЈФХ ПВЭЕЗП ЮЙУМБ «ЫБОУПЧ» Й ЮЙУМБ ЫБОУПЧ, ВМБЗПРТЙСФУФЧХАЭЙИ ЛБЛПНХ-МЙВП УПВЩФЙА. юЙУМП ЫБОУПЧ УЮЙФБАФ У РПНПЭША ЖПТНХМ ЛПНВЙОБФПТЙЛЙ.

еУМЙ РПТСДПЛ ОЕ ХЮЙФЩЧБФШ, ФП УМЕДХЕФ ПВЯСЧЙФШ ДЧБ РПУМЕДОЙИ ЙУИПДБ ПДОЙН Й ФЕН ЦЕ ТЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ, Й РПМХЮЙФШ ОЕ ЮЕФЩТЕ, Б ФТЙ ЙУИПДБ:

рЕТЧЩЕ ДЧБ ЙУИПДБ ЙНЕАФ ЧЕТПСФОПУФЙ РП 1/4, Б РПУМЕДОЙК — ЧЕТПСФОПУФШ 1/4+1/4=1/2.

тЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ СЧМСЕФУС ОБВПТ ЙЪ ЫБТПЧ. нПЦОП ОЕ ХЮЙФЩЧБФШ ЙМЙ ХЮЙФЩЧБФШ РПТСДПЛ УМЕДПЧБОЙС ЫБТПЧ, ЧЕТПСФОПУФШ ОЕ ДПМЦОБ ЪБЧЙУЕФШ ПФ УРПУПВБ РПДУЮЈФБ.

чЩВПТ У ХЮЈФПН РПТСДЛБ. пВЭЕЕ ЮЙУМП ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ ЕУФШ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБЪНЕУФЙФШ ЬМЕНЕОФПЧ ОБ НЕУФБИ: РП ФЕПТЕНЕ 2,

Источник

Пересечение (произведение) событий.

Пересечением или произведением событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А и происходит событие В вместе.

1)

2) производится 2 выстрела по мишени

— попадание при первом выстреле

— попадание при втором выстреле

— попадание при обоих выстрелах

Пересечением n событий называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда одновременно происходит каждое из этих событий: .

— промах при i-м выстреле (i=1, 2, 3)

— в мишени нет пробоев

4. Объединение (сумма) событий.

Объединение (сумма) обозначается — событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или событие А, или событие В, или оба события сразу.

1)

2) 2 выстрела по мишени

— попадание при первом выстреле

— попадание при втором выстреле

— попадание или при первом, или при втором выстреле, или оба попадания

Объединением (суммой) n событий называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий .

Опыт: 5 выстрелов по мишени

— i попаданий в мишень в результате всех пяти выстрелов (i=0, 1, 2, 3, 4, 5)

— не более трёх попаданий

— не менее четырёх попаданий

Несовместные события.

Событие А и событие В называются несовместными, если их пересечение есть несовместное событие:

и — несовместные

составляют группу попарно несовместных событий, если .

Бросается игральный кубик.

А₁ – число очков делится на 3

А₂ – число очков делится на 5

А₃ – число очков делится на 2

Не являются группой попарно несовместных событий, т.к.

Полная группа событий.

Говорят, что события составляют полную группу событий, если:

1) Они попарно несовместны: .

2) Их объединение – есть событие достоверное:

Опыт: 2 выстрела по мишени

А₁ – хотя бы одно попадание

е – количество дырок в мишени

Опыт: бросание двух монет

А₁ – появление двух гербов

А₂ – появление двух цифр

е – появление герба или цифры

§5. Аксиомы теории вероятностей.

Поле событий.

Пусть введено некоторое пространство элементарных событий Е, некоторое подмножество А из Е мы называем событием. Среди множества всех подмножеств пространства Е выделим такой класс К подмножеств пространства, который обладает следующими свойствами:

1) класс К в качестве элементов содержит достоверное и невозможное событие:

2) если

3) если события (в конечном или счётном числе) принадлежат классу К, то их объединение или пересечение в конечном или счётном числе также принадлежит классу К.

Такой класс К подмножеств пространства Е называется аддитивным классом.

Аддитивный класс К подмножеств А из Е мы будем называть полем событий.

1) опыт: бросается игральный кубик

— дискретное пространство элементарных событий.

В этом случае под событием мы понимаем любое подмножество пространства Е. Поэтому поле событий К в случае дискретного пространства Е есть множество всех подмножеств пространства Е.

Все эти события составляют поле событий.

1. .

2.

3.

2) точка случайным образом брошена на отрезок [0;1] и наблюдается 2 события:

А₁ – попадание точки в промежуток [0;½)

A₂ – попадание точки в промежуток [½;1]

Под событием понимаем то, что имеет длину.

1.

2.

3.

Аксиомы.

Пусть задано пространство элементарных событий Е и поле событий К на этом пространстве. Числовая функция Р(А), называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1) ставится в соответствие неотрицательное число

2) вероятность достоверного события является единицей, Р(Е)=1

3) аксиома сложения вероятностей: если — попарно несовместные события, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей ( )

Вероятностное пространство.

Говорят, что имеется вероятностная (математическая) модель случайного опыта, если построены:

1) пространство элементарных событий Е

3) распределение вероятностей на поле событий К, т.е. для каждого события А из поля событий К задана вероятность Р(А)

Тройка объектов (Е, К, Р) называется вероятностным пространством (моделью) данного случайного опыта.

Если Е – дискретное, то (Е, К, Р) называется дискретным.

Если Е – непрерывное, то (Е, К, Р) называется непрерывным.

§6. Классическая вероятностная модель.

Вероятностная модель называется классической, если выполнены следующие 2 условия:

1) пространство элементарных событий – дискретное конечное, состоит из n элементарных событий Е=<e₁, e₂, …, e_n>

2) — вероятности всех элементарных событий равны

Вероятностное пространство определяется так:

Пусть

§7. Геометрические вероятности.

Классическая модель: дискретная вероятностная модель

Геометрическая модель: непрерывная вероятностная модель

Е – непрерывное пространство, множество точек области на плоскости

;

;

.

Эти вероятностные пространства служат моделью задач такого типа:

Наудачу бросается точка, наблюдается событие: попадание точки в область А. «Наудачу» означает: вероятность события А зависит от площади А, не зависит от её формы и положения Е.

§8. Теорема о сложении вероятностей.

(Не путать с аксиомой о сложении вероятностей).

Теорема. Задано вероятностное пространство (Е,К, Р), есть события А, В Е.

По аксиоме 3:

Вычитая из 1-го равенства 2-е получим ч.т.д.

Замечание: из аксиомы 3 следует, что если события составляют полную группу,

и — полная группа

§9. Условные вероятности.

Три раза бросается монета. Результат: цифра или герб.

A – герб выпал один раз;

Пусть в результате опыта произошло событие В. Число выпавших гербов – нечётно.

Тогда, если В произошло, .

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть некоторому случайному опыту соответствует классическая вероятностная модель.

, n элементарных событий

r элементарных событий входит и в А и в В.

Найдём вероятность события А при условии, что произошло В. Если В произошло, то его вероятность равна 1, то .

Событие А происходит, если происходит элементарное событие, принадлежащее пересечению, их всего r.

Определение: пусть задано вероятностное пространство (Е, К, Р); А, В – события. Если , то условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение

Источник