Серединный перпендикуляр
Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатрисса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и делящая его на две равные части.
Свойства
Смотреть что такое «Серединный перпендикуляр» в других словарях:
Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Конкурентные прямые — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Окружность Аполония — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Преобразование плоскости — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Чевиана — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Глоссарий планиметрии — Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия
Задача Аполлония — Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия
Задача Аполония — Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была… … Википедия
Диаграмма Вороного — случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия
Треугольник. Серединный перпендикуляр (медиатриса), средняя линия треугольника.
Характерные особенности медиатрисы треугольника.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Правильна будут и такая формулировка: любая точка, равноудаленная от концов отрезка, размещена на серединном перпендикуляре к нему.
Центр описанной окружности находится в месте пресечения медиатрис треугольника. Следует отметить, что у остроугольного треугольника эта точка размещается внутри, у тупоугольного — за пределами треугольника, у прямоугольного — посредине гипотенузы.
Средняя линия трехугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Общеизвестно, что у треугольника три стороны, и логично, что и три средние линии.
MN, MК, КN — средние линии для треугольника ABC.
Характерные особенности средней линии треугольника.
Средняя линия трехугольника всегда параллельна одной из сторон и равна 1/2 этой стороны.
Средняя линия отделяет трехугольник, который подобен первоначальному, а их площади соотносятся ¼.
При пересечении всех трёх средних линий образуются четыре одинаковых треугольника, подобных первоначальному, но с коэффициентом подобия 0,5.
Серединный перпендикуляр — определение, свойства и формулы
В некоторых случаях необходимо произвести расчеты какого-либо параметра фигуры, но данных бывает недостаточно. В геометрии существует понятие «серединного перпендикуляра». Его значение позволяет легко и быстро находить величины элементов треугольников различных типов. Но перед применением формул следует разобраться в основных свойствах и теоремах.
Общие сведения
Серединным перпендикуляром отрезка называют прямую, которая проходит под прямым углом через среднюю точку, т. е. середину отрезка. Для полного понимания материала следует остановиться на базовых элементах геометрии.
Точка — единица, при помощи которой строятся прямые, отрезки, лучи и фигуры. Прямая — простая фигура в форме бесконечной линии, состоящей из множества точек, лежащих в одной плоскости. Луч — базовая геометрическая фигура в виде бесконечной линии с одной стороны и точки-ограничителя — с другой. Иными словами, луч имеет начало, но не имеет конца. Отрезок — некоторая часть прямой (луча или другого отрезка), ограниченная двумя точками.
Кроме того, в геометрии серединный перпендикуляр встречается в треугольниках. Из определения можно сделать вывод, что им может быть прямая, отрезок и даже луч.
Аксиомы геометрии Евклида
Евклидовой геометрией называется наука о фигурах на плоскости, основанная на аксиомах и теоремах. Аксиома — базовое утверждение, не требующее доказательства. Оно используется для доказательства каких-либо теорем. Математики выделяют пять аксиом:
Формулировка первой имеет такой вид: если существует в геометрическом пространстве плоскость, состоящая из множества точек, то через любые из них можно провести только одну прямую. Иными словами, можно взять произвольные две точки и провести через них одну прямую. Чтобы начертить еще одну прямую, следует взять две другие точки.
Следующее утверждение называется аксиомой порядка. Она гласит, что существует точка, которая лежит между двумя другими на прямой. Значение слова «конгруэнтность» не совсем понятно для новичка, однако нужно постепенно привыкать к терминологии. Оно обозначает «равенство». Третий геометрический факт формулируется таким образом: когда два отрезка или угла конгруэнтны третьему, тогда они равны между собой. Аксиома касается только отрезков и углов.
Чтобы убедиться в ее правильности, нужно разобрать следующий пример: длина первого отрезка составляет 10 см, второго — тоже, а третий равен первому. Необходимо доказать, что они равны между собой. Это делается очень просто:
Следует отметить, что данные действия оказались лишними — было потрачено время на понимание простой «истины». Параллельность прямых является также аксиомой и формулируется таким образом: если существует некоторая прямая на плоскости и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну параллельную ей прямую.
И последняя аксиома называется Архимедовой. Ее формулировка имеет такой вид: для произвольных отрезков, лежащих на одной прямой, существует некоторая последовательность базовых элементов (точек), лежащих на одном и другом отрезках, таких, что заданные их части равны между собой. Иными словами, на одной прямой могут быть расположены равные между собой отрезки.
Информация о треугольниках
Треугольником является любая фигура, состоящая из трех вершин (точек) соединенных отрезками (сторонами), причем точки не лежат на одной прямой в одной плоскости. Они классифицируются по такому типу:
В первом случае фигуры делятся на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Остроугольным называется треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов). У тупоугольного — один угол тупой (> 90), а в прямоугольном — один из углов равен 90 градусам. Следует отметить, что сумма градусных мер углов любого треугольника эквивалентна 180.
Когда стороны у треугольника неравны между собой, тогда его называют разносторонним. При равенстве двух боковых сторон он считается равнобедренным, у которого третья сторона — основание. Если все стороны равны, то значит, фигура является равносторонней или правильной.
У треугольника есть еще и другие параметры. Их называют медианой, биссектрисой и высотой. Первый параметр является отрезком, который проводится из любой вершины на среднюю точку стороны. Высота — часть прямой, которая проводится из произвольной вершины и перпендикулярна противоположной стороне. Биссектрисой называется прямая, делящая угол на две равные части.
Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины к основанию, совпадают и эквивалентны серединному перпендикуляру в треугольниках равнобедренного и равностороннего типов. Это очень важно при решении задач. Еще одним признаком, по которому выполняется классификация — подобность треугольников. У них могут быть равными только углы и некоторые стороны. Они отличаются между собой по определенному параметру, который называется коэффициентом подобия. Последний влияет только на размерность сторон. Говорят, что фигуры подобны по определенному признаку (их всего три).
Основные теоремы
Теорема — гипотеза (предположение), которую нужно доказать. Они применяются для оптимизации расчетов и вычисления отдельных параметров заданной фигуры. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве таких научных предположений. Эти аспекты упрощают и автоматизируют вычисления. Например, при вычислении площади треугольника нет необходимости выводить формулу, достаточно воспользоваться уже готовой.
Математики выделяют всего три теоремы о СП, которые могут значительно упростить расчеты. К ним можно отнести следующие:
Первая теорема называется прямой о СП. Она показывает, каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра. Ее формулировка следующая: произвольная точка, которая взятая на перпендикуляре, удалена на равные расстояния от конечных точек отрезка, ограничивающих его на плоскости.
Для доказательства следует рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей вершиной (искомая точка), общей стороной — катетом и равными катетами (по определению). Фигуры равны по одному из признаков равенства треугольников. Следовательно, их гипотенузы (стороны, равенство которых нужно доказать), равны между собой. Первая теорема доказана.
Следующая теорема — обратная: если точка удалена на равные расстояния от концов отрезка, то значит, она лежит на СП. В этом случае следует рассматривать равнобедренный треугольник, вершиной которого она является. Удалена точка на одинаковые расстояния от вершин основания по условию. Следовательно, этот факт доказывает, что полученный треугольник является равнобедренным, а в нем медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре. Утверждение доказано.
Следующую теорему нет необходимости доказывать, поскольку известно, что в равнобедренном и равностороннем треугольниках высоты (медианы и биссектрисы) имеют общую точку пересечения. Они являются также и СП. Следовательно, это утверждение справедливо для них.
Важные свойства
Иногда трех теорем недостаточно для решения какой-либо сложной задачи. В этом случае необходимо знать еще и некоторые свойства СП:
В первом случае все зависит от типа треугольника. Если он является остроугольным, то центр лежит внутри него. Для тупоугольного — во внешнем пространстве, а в прямоугольном — на середине гипотенузы.
Следует отметить, что есть формулы для его расчета. Если предположить, что существует некоторый произвольный треугольник со сторонами а, b и с. Кроме того, для них выполняется условие a >= b >= c. Исходя из полученных данных, можно записать формулы перпендикуляров (Р), проведенных к определенной стороне:
Иными словами, Р является отношением удвоенного произведения стороны на площадь треугольника к сумме квадратов смежных сторон без квадрата противоположной. Кроме того, справедливы неравенства: Pa >= Pb и Pс >= Pb. Стороны — известные параметры, а вот площадь находится по некоторым соотношениям, которые выглядят следующим образом:
В основном по таким соотношениям и нужно определить площадь. Полупериметр вычисляется таким образом: р = (а + b + с) / 2.
Бывают задачи, в которых необходимо просто подставить значения в формулу. Они называются простейшими. Однако встречаются и сложные. К ним относятся все виды без некоторых промежуточных параметров фигуры.
Пример решения задачи
В интернете попадаются примеры решения простых задач, а сложные приходится решать самостоятельно, просить помощи у кого-нибудь или покупать на сайтах готовое решение. Для примера нужно решить задание с такими данными:
Нужно найти: углы, указанные на рисунке, стороны и ОЕ. Кроме того, дополнительные данные можно узнать из чертежа, который используется для решения задачи (рис. 1). К любому заданию нужно делать графическое представление, поскольку оно позволяет избежать ошибок при вычислении
Рисунок 1. Чертеж для решения задачи.
Числовых значений нет, тогда необходимо решать в общем виде. Углы можно найти по такому алгоритму:
Для нахождения сторон нужно составить уравнение в общем виде, обозначив неизвестную величину АВ литерой «х». Рассмотрев прямоугольный треугольник АВЕ, по теореме Пифагора можно вычислить АВ: x = [4a^2 + a^2]^(1/2) = a * [5]^(1/2). Следовательно, АВ = a * [5]^(1/2) и ВС = 3а. ОЕ находится по формуле: ОЕ = (2 * 2 * а * S) / (8 * a^2 — d^2). Можно править соотношение таким образом через прямоугольный треугольник ДОЕ: ОЕ = [4 * a^2 — (d^2) / 4]^(1/2).
Таким образом, нахождение серединного перпендикуляра позволяет значительно уменьшить объемы вычислений. Однако для этого нужно знать не только основные теоремы, но и его свойства.
math4school.ru
Треугольники
Основные свойства
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°:
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:
Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:
Равенство треугольников
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:
У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Подобие треугольников
Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:
Два треугольника подобны, если:
У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:
Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:
Медианы треугольника
Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:
Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
Биссектрисы треугольника
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
Длина биссектрисы угла А :
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.
Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
BL – биссектриса угла В ;
ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :
Высоты треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Длина высоты, проведённой к стороне а :
Серединные перпендикуляры
Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.
Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:
Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
Окружность, описанная около треугольника
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Радиус описанной окружности:
Расположение центра описанной окружности
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
Основные формулы для равнобедренного треугольника:
Равносторонний треугольник
Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Все углы равностороннего треугольника равны:
Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:
Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника
Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.
Прямоугольные треугольники равны если у них равны:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:
Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:
Площадь прямоугольного треугольника можно определить
через катеты: 
через катет и острый угол: 
через гипотенузу и острый угол: 
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Вневписанные окружности
Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.
Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.
для r – 
для R – 
для S – 
Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:
Теорема тангенсов (формула Региомонтана):
