Что такое плоскость 5 класс математика

Плоскость (математика)

Плоскость (математика)

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А. К. Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818), нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Содержание

Некоторые характеристические свойства плоскости

Аналогично отрезку и интервалу, плоскость не включающую крайние точки можно назвать интервальной плоскостью или открытой плоскостью.

Уравнения плоскоcти

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

где A,B,C и D — постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(смешанное произведение векторов), иначе

где — единичный вектор, p — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки μ и D противоположны).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между параллельными плоскостями

Связанные понятия

Если в векторной форме, то

где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.

Плоскости в четырёхмерном пространстве

Если в четырёхмерном пространстве две плоскости лежат в одной гиперплоскости, то они могут либо быть параллельными (в частности, совпадать), либо пересекаться по линии.

Если же две плоскости не лежат в одной гиперплоскости, то они либо не пересекаются (скрещиваются, подобно тому как в трёхмерном пространстве скрещиваются прямые), либо имеют ровно одну общую точку.

Пересечение двух плоскостей в точке (а не по линии, как в трёхмерном пространстве) можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Пусть две плоскости α и β проходят через начало координат, причём плоскость α содержит координатные прямые x и y, а плоскость β содержит координатные прямые z и t. Соответственно у всех точек плоскости α координаты z и t равны 0, а у всех точек плоскости β координаты x и y равны 0. Тогда очевидно, что единственная точка, которая может принадлежать обеим плоскостям — это точка (0,0,0,0).

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

Источник

Плоскость

Понятие плоскости

поверхность школьной доски:

Эти поверхности ограничены, у них есть края. Но представление о плоскости мы имеем с их помощью.

Только плоскость простирается безгранично (в любом направлении, заданном на этой плоскости).

Понятие плоскость принадлежит к числу основных понятий геометрии.

Обозначение плоскости

Конечно, нарисовать плоскость, у которой нет краев, невозможно. Поэтому, при изображении плоскости, рисуют только ее часть:

Обозначается плоскость строчными буквами греческого алфавита – α (альфа), β (бета), γ (гамма) и т.д.:

Буквы пишут либо рядом с плоскостью, либо на плоскости.

Определение плоскости

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. ( то есть, любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит ей).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Плоскость

Всего получено оценок: 107.

Всего получено оценок: 107.

Плоскость – это основная единица планиметрии. Для правильного восприятия сложных фигур, таких как, пирамида, конус или призма, необходимо понимать и, главное, представлять себе, что такое плоскость.

Определение плоскости

Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.

Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.

Из плоскостей в планиметрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.

Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планиметрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планиметрия – это геометрия объемных фигур.

Способы задания плоскостей

Плоскость может быть задана тремя точками, нележащими на одной прямой. Из этого утверждения следуют еще два варианта задания плоскостей. При этом специального знака плоскостей не существует.

Плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, тогда одной точкой будет служить точка пересечения прямых, а двумя другими произвольные точки на одной и второй прямой.

Еще один вид это задание прямой и точкой, нележащей на этой прямой. По аналогии со вторым вариантам: одна точка уже есть и не лежит на прямой, а две других это произвольные точки имеющейся линии.

Рис. 1. Способы задания плоскостей.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.

Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.

Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.

Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.

Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.

Рис. 3. Расположение плоскостей.

Что мы узнали?

Мы дали определение и привели примеры плоскости. Выделили варианты пересечения прямой и плоскости и пересечения плоскостей. Привели несколько признаков, относящихся с плоскостям и разобрали все случаи существования плоскостей в пространстве.

Источник

Плоскость. Прямая. Луч

Содержание

Плоскость

Посмотрев вокруг, ты увидишь множество плоских вещей. Поверхность стола, лист бумаги, оконное стекло… А представьте себе, как будто эти поверхности не имеют конца и края, как будто они простираются за пределы Земли!

У математической плоскости нет границ. Она простирается бесконечно в любом направлении.

Прямая

Начертим отрезок АВ (рисунок 1). Он ограничен двумя точками. Теперь проведём по линейке линии таким образом, чтобы он продолжался в обе стороны (рисунок 2). У нас получилась прямая, на которой лежат точки А и В.

Конечно, мы можем приложить линейку и измерить ту линию на рисунке 2. Даже если мы будем чертить прямую не в тетрадке, а, скажем, на полу, и продолжать её в обе стороны до самых стен, её всё равно можно измерить. Но говоря о математической прямой, мы подразумеваем, что она не заканчивается и продолжается до бесконечности.

Прямая бесконечна. Она неограниченно продолжается в обе стороны.

Через любые две точки проходит только одна прямая.

Прямая обозначается двумя буквами, по тем точкам, через которые она проходит. На рисунке 2 – прямая АВ (можно также назвать ВА).

Теперь нарисуем две пересекающиеся прямые, АВ и СD. Та точка, в которой они пересекаются, общая для обеих прямых. Она делит каждую прямую на две части.

Луч

Начертим прямую и поставим на ней точку. Эта точка разделяет прямую на две части, каждую из них называют лучом.

У прямой нет ни начала, ни конца.

У луча тоже нет конца, но есть начало.

Представьте, что у вас в руке фонарик, и из него бьёт луч света. Фонарик и будет началом луча.

Для обозначения луча называют его начало и какую-нибудь из точек, лежащих на этом луче. Но переставлять буквы в названии уже нельзя, первой всегда будет идти буква, обозначающая точку-начало.

Например, луч на рисунке 6 называется ОА.

Лучи, на которые точка разбивает прямую, называются дополнительными друг другу.

Это как бы две половинки одной прямой.

Луч продолжается до бесконечности, и на нём можно поставить бесконечное число точек. Но всё равно будут точки, которые остаются вне этого луча. Представьте, что вы светите фонариком перед собой. То, что находится справа, слева, сзади, сверху – всё остаётся вне луча света.

На рисунке 7 показано, что точки В, С, D лежат на луче, а E и F – нет.

Источник

Плоскость – правило, определение, виды

Плоскость – это основная единица планометрии. Для правильного восприятия сложных фигур, таких как, пирамида, конус или призма, необходимо понимать и, главное, представлять себе, что такое плоскость.

Определение плоскости

Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.

Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.

Из плоскостей в планометрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.

Геометрия состоит из двух разделов: планометрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планометрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планометрия – это геометрия объемных фигур.

Способы задания плоскостей

Плоскость может быть задана тремя точками, нележащими на одной прямой. Из этого утверждения следуют еще два варианта задания плоскостей. При этом специального знака плоскостей не существует.

Плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, тогда одной точкой будет служить точка пересечения прямых, а двумя другими произвольные точки на одной и второй прямой.

Еще один вид это задание прямой и точкой, нележащей на этой прямой. По аналогии со вторым вариантам: одна точка уже есть и не лежит на прямой, а две других это произвольные точки имеющейся линии.

Рис. 1. Способы задания плоскостей.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.

Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.

Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.

Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.

Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.

Рис. 3. Расположение плоскостей.

Что мы узнали?

Мы дали определение и привели примеры плоскости. Выделили варианты пересечения прямой и плоскости и пересечения плоскостей. Привели несколько признаков, относящихся с плоскостям и разобрали все случаи существования плоскостей в пространстве.

Источник