Что такое полярный момент инерции
Полярный момент инерции
Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ 2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:
Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:
Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то
потому что 
.
Содержание
Применение
Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:
— крутящий момент, 
— расстояние от оси кручения 
— полярный момент инерции.
Полярный момент инерции для некоторых случаев
Для круглого сплошного сечения:
где D — диаметр круга.
Для кольцевого сечения (полый вал):
D — внешний диаметр кольца, d — внутренний диаметр кольца.
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Полярный момент инерции» в других словарях:
полярный момент инерции — polinis inercijos momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. polar moment of inertia vok. polares Trägheitsmoment, n rus. полярный момент инерции, m pranc. moment d’inertie polaire, m … Fizikos terminų žodynas
полярный момент инерции круглого сечения — Взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до начала координат (центра тяжести сечения). [http://www.isopromat.ru/sopromat/terms] Тематики строительная механика, сопротивление… … Справочник технического переводчика
Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Сопротивление материалов* — Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Сопротивление материалов — Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ЖЁСТКОСТЬ — мера податливости тела деформации при заданном типе нагрузки: чем больше Ж., тем меньше деформация. В сопротивлении материалов и теории упругости Ж. характеризуется коэффициентом (или суммарным внутр. усилием) и характерной деформацией упругого… … Физическая энциклопедия
Список обозначений в физике — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия
КРУЧЕНИЕ — деформация, возникающая в стержне при приложении к его концу (торцу) системы сил, к рая приводится к паре сил с вектором момента вдоль оси стержня, т. е. к крутящему моменту. Для стержня круглого сечения радиуса а используется гипотеза плоских… … Физическая энциклопедия
Кручение (в сопротивлении материалов) — Кручение (в сопротивлении материалов), вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов (пар сил), действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней (валов) при К.… … Большая советская энциклопедия
Кручение — I Кручение (в сопротивлении материалов) вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов (пар сил), действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней… … Большая советская энциклопедия
Научная электронная библиотека
Лекция 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ
Математические определения геометрических характеристик плоских фигур: статические моменты, осевые моменты инерции и центробежный, полярный момент инерции. Центральные оси. Главные оси. Определение положения центра тяжести элементарных сечений и составленного из элементарных фигур. Нахождение геометрических характеристик сечений относительно центральных осей.
Различают следующие характеристики сечений: площадь А, статические моменты площади, моменты инерции площади, центробежный момент инерции площади.
Рис. 10. Площадь А в системе координат х, у
Под статическим моментом площади относительно некоторой оси понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:
Определение центра тяжести сечения. Статические моменты сечения относительно осей проходящих через центр тяжести равны нулю, поэтому их используют для определения координат центров тяжести сечения. Для этого проводят вспомогательные оси x и y и координаты центра тяжести сечения определяют по зависимостям:
(3)
Моменты инерции сечения. Осевым моментом инерции сечения I называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до оси. Осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y будут соответственно равны
(4)
Полярным моментом инерции сечения Iρ называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.
(5)
Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции сечения.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями, осевые моменты инерции относительно их принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).
Полярный момент инерции
Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний (ρ 2 = y 2 + z 2 ) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.
Моменты сопротивления. Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки
Полярный момент сопротивления
Осевой и полярный моменты сопротивления имеют размерность м3.
Радиус инерции
Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:
Вычисление геометрических характеристик простых фигур.
Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.
Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота) (рис. 11). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)равна dA = b•dy. Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:
По аналогии запишем
Вначале целесообразно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга Jx = Jy, а Jρ = Jx + Jy, найдем Jx = Jy = Jρ/2.
Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ (рис. 12); площадь такого кольца 
. Подставляя выражение для площади кольца в выражение для Jρ и интегрируя, получим:
Момент инерции
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.
Содержание
Осевой момент инерции
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
,
где 
— полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции Ja |
|---|---|---|---|
 | Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная |  |
 | Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 | Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра |  |
 | Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 | Ось цилиндра |  |
 | Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс |  |
 | Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс |  |
 | Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс |  |
 | Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец |  |
 | Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы |  |
 | Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара |  |
 | Конус радиуса r и массы m | Ось конуса |  |
| Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину |  | |
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс |  | |
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |  |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (
0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. [3] [4]
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида
где 
— расстояние от центральной оси 
до любой элементарной площадки 
относительно нейтральной оси.
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.
| Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
|---|---|
Прямоугольника высотой  и шириной  : | 
|
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам  и  , а по внутренним и соответственно | 
|
Круга диаметром  |  |
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции 
(или момент инерции относительно точки O) — это величина
,
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: 
.
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором 
, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:
(1),
где 
— тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 
и состоит из компонент центробежных моментов:
, 
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где 
— ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины 
— главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
,
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на 
и произведя замены:
,
получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах 
:
Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Момент инерции» в других словарях:
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая… … Физическая энциклопедия
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, механическая величина, играющая при вращательном движении ту же роль, что масса при движении поступательном. Например ускорение при поступательном движении обратно пропорционально массе, ускорение вращательного движения (угловое… … Большая медицинская энциклопедия
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… … Современная энциклопедия
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… … Большой Энциклопедический словарь
Момент инерции — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — (обозначение I), для вращающегося тела сумма произведений, полученных путем умножения масс точек вращающегося тела на квадраты их расстояний от оси вращения. Нахождение этого распределения массы важно при определении силы, необходимой, чтобы… … Научно-технический энциклопедический словарь
Момент инерции — – величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. [Полякова, Т.Ю. Автодорожные мосты: учебный англо русский и русско английский терминологический… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
момент инерции — 3.24 момент инерции (moment of inertia): Интегральная сумма произведений массы отдельных частей тела на квадраты расстояний (радиусов) их центров тяжести от заданной оси. Источник: ГОСТ Р 52776 2007: Машины электрические вращающиеся. Номинальные… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Момент инерции — (Moment d inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
момент инерции — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… … Энциклопедический словарь