Что такое постоянная функция

Свойства постоянной функции.

I. Теоретическая часть.

1. Функция. Определения и свойства.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

3. Функция принимает нулевое значение при или .

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

Квадратичная функция.

Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости

Свойства функции:

2. Множество значений одного из промежутков: или .

3. Функция принимает нулевые значения при , где дискриминант вычисляется по формуле: .

4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .

Показательная функция.

Функция вида , где называется показательнойфункцией.

Свойства функции:

2. Е(у)= .

3. Функция возрастает (а>1), убывает (а 0.

Примеры степенных функций: .

Коэффициент b определяет положение графика на координатной плоскости.

1. Функция определена для х>0.

2. Е(у)= .

3. Функция возрастающая, если b>0 и убывающая, если b 2 + bx + c называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Точку с координатами называют вершиной параболы. Соответствие между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу множества X сопоставляется не более одного элемента Y, называется функцией. Отсюда следует, что понятие функции имеет три главных компонента:

1) множество X (которое называется областью определения функции);2) множество Y (которое называется областью значений функции);3) закон соответствия (который иногда называется функциональной зависимостью).

При этом закон соответствия может быть задан любым способом: таблицей, графиком, формулой или как-то иначе, например, при помощи словесного описания. Если функцию задают формулой, то при этом фактически указывают область определения функции и закон соответствия (область значений функции не указывается явно, так как она устанавливается исходя из данной формулы).Областью определения функции, заданной явной аналитической формулой, считают множество всех тех значений аргумента, для которых все указанные в формуле операции выполнимы.

способы построения графиков функций.

1. Способ «по точкам». Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями.

2. Способ «путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат». Чтобы построить график функции y = f (x) + c можно или график функции y = f (x) сдвинуть вдоль оси 0y на c единиц в сторону, совпадающую со знаком c, или перенести параллельно ось 0y в сторону, противоположную знаку c. Чтобы построить график функции y = f (x + b), можно или график функции y = f (x) вдоль оси 0x на b единиц в сторону, противоположную знаку b, или перенести параллельно ось 0y в сторону, совпадающую со знаком b.

4. Способ «путем деформирования графиков основных функций». Чтобы построить график функции y = af (x) при a > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси ординат, если a > 1 (0 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси абсцисс, еслиb > 1 (0 [1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называютрасходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

5. Предел функции в точке и в бесконечности.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором множестве и точку , быть может, и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что в любой –окрестности точки имеются точки множества значений аргумента , отличные от . Рассмотрим вопрос о сходимости соответствующей последовательности значений функции .

Существуют два определения Предела функции в точке.

Число называется Предельным значением функции в точке (или Пределом функции приX® A), если для любой сходящейся к А Последовательности значений аргумента , элементы которой отличны от , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: .

Отметим, что функция может иметь в точке только Одно предельное значение. Это вытекает из того, что последовательность может иметь только один предел.

Рассмотрим несколько Примеров.

1. Функция Имеет в точке предел, равный –2. Действительно, пусть – любая последовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. , тогда при в силу теорем о свойствах сходящихся последовательностей:

.

2. Функция определена для всех . В точке эта функция не имеет предела. Для доказательства возьмем две последовательности значений аргумента, сходящиеся к нулю:

и .

Соответствующие последовательности значений функций для них:

.

Таким образом, Определение 1 не удовлетворяется, так как для двух разных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.

6. Бесконечно малые функции и их свойства.

Если , то функция называется бесконечно малой при .

Свойства

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при

Доказательство
Пусть бесконечно малые функции при . Тогда существуют числа и число такие что
(1)
что влечет за собой условия
(2).
Если , то условие усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки есть бесконечно малая функция при

Доказательство
Так как функция ограничена, то для удовлетворяющих условию
(1)
существует число
(2)
Так как функция бесконечно малая, то существует некоторая окрестность и число
для которых выполняются условия
(3)
и
(4)
Выберем . Тогда условие более сильное чем (1)и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
Следовательно

3. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при

Доказательство
Так как любая бесконечно малая функция при будет ограничена в некоторой окрестности точки , то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

7. Основные теоремы о пределах функции.

Определение. Число A называетсяпределом функции y = f(x) в точке x₀(иногда говорят, при x, стремящемся кx₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех xиз d—окрестности точки x₀соответствующие значения y попадают в e—окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому.

Определение. Число A называетсяпределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 2 – 4ac

Источник

Постоянная функция: характеристики, примеры, упражнения

Содержание:

В постоянная функция тот, в котором значение y остается постоянным. Другими словами: постоянная функция всегда имеет видf (x) = k, где k это действительное число.

При построении постоянной функции в системе координат ху, всегда получается прямая линия, параллельная горизонтальной оси или оси Икс.

Эта функция является частным случаем аффинная функция, график которой также представляет собой прямую линию, но с наклоном. Постоянная функция имеет нулевой наклон, то есть это горизонтальная линия, как видно на рисунке 1.

Есть график трех постоянных функций:

Постоянные функциональные характеристики

Мы можем резюмировать основные характеристики постоянной функции следующим образом:

-Его график представляет собой горизонтальную прямую линию.

-Он имеет единственное пересечение с осью Yчто стоит k.

Примеры

Функции необходимы для установления связей между величинами, которые каким-то образом зависят друг от друга. Отношения между ними можно смоделировать математически, чтобы выяснить, как один из них ведет себя при изменении другого.

Это помогает создавать модели для многих ситуаций и делать прогнозы относительно их поведения и эволюции.

Несмотря на кажущуюся простоту, постоянная функция имеет множество приложений. Например, когда дело доходит до изучения величин, которые остаются постоянными с течением времени или, по крайней мере, в течение значительного времени.

Таким образом, величины ведут себя в следующих ситуациях:

-The скорость крейсерская машина, едущая по длинной прямой дороге. Пока вы не тормозите и не ускоряетесь, автомобиль движется равномерно по прямой.

-Полностью заряженный конденсатор, отключенный от цепи, имеет грузить постоянная во времени.

-Наконец, парковка с фиксированной ставкой, поддерживает цена постоянно, независимо от того, как долго там стоит машина.

Другой способ представления постоянной функции

В качестве альтернативы постоянная функция может быть представлена ​​следующим образом:

Поскольку любое значение Икс поднятие до 0 дает в результате 1, предыдущее выражение сводится к уже знакомому:

Конечно, это происходит до тех пор, пока значение k отличается от 0.

Поэтому постоянная функция также классифицируется как полиномиальная функция степени 0, поскольку показатель степени переменной Икс равно 0.

Решенные упражнения

— Упражнение 1

Ответьте на следующие вопросы:

а) Можно ли утверждать, что линия, заданная x = 4, является постоянной функцией? Обоснуйте свой ответ.

б) Может ли постоянная функция иметь точку пересечения по оси x?

Ответ на

Вот график прямой x = 4:

Ответ б

Обычно постоянная функция не пересекается с осью Икс, если это не у = 0, в этом случае это ось Икс Правильно сказано.

Ответ c

Да, так как ш постоянна, как и его квадрат. Важно то, что ш не зависят от входной переменной Икс.

— Упражнение 2.

Решение

Чтобы найти пересечение между этими двумя функциями, их можно соответственно переписать как:

Их уравнивают, получая:

Что такое линейное уравнение первой степени, решение которого:

— Упражнение 3.

Покажите, что производная постоянной функции равна 0.

Решение

Из определения производной имеем:

Подставляя в определение:

Кроме того, если мы подумаем о производной как о скорости изменения dy / dx, постоянная функция не претерпевает никаких изменений, поэтому ее производная равна нулю.

— Упражнение 4.

Найдите неопределенный интеграл от f (x) = k.

Решение

Компания сотовой связи предлагает безлимитный доступ в Интернет по фиксированной ставке за 15 долларов в месяц. Какова функция цены во времени?

Решение

— Упражнение 6

Следующий график зависимости скорости от времени соответствует движению частицы.

а) Напишите выражение для функции скорости как функции времени v (t).

б) Найдите расстояние, пройденное мобильным телефоном за интервал времени от 0 до 9 секунд.

Решение для

Из представленного графика видно, что:

–v = 2 м / с в интервале времени от 0 до 3 секунд

-Мобильный телефон останавливается между 3 и 5 секундами, так как в этом интервале скорость равна 0.

Это пример кусочной функции или кусочной функции, которая, в свою очередь, состоит из постоянных функций, действительных только для указанных временных интервалов. Сделан вывод, что искомая функция:

Решение б

По графику v (t) можно рассчитать пройденное мобильным устройством расстояние, которое численно эквивалентно площади под кривой или на ней. Таким образом:

-Расстояние от 0 до 3 секунд = 2 м / с. 3 с = 6 м

— От 3 до 5 секунд его задержали, поэтому он не ехал на какое-то расстояние.

-Расстояние от 5 до 9 секунд = 3 м / с. 4 с = 12 м

Всего мобиль проехал 18 м. Обратите внимание, что хотя скорость отрицательна в интервале от 5 до 9 секунд, пройденное расстояние положительно. Что происходит, так это то, что за этот промежуток времени мобильный телефон изменил представление о своей скорости.

Ссылки

Синдром Рамзи Ханта: причины, симптомы и лечение

Источник