Что такое поворот в геометрии

Поворот

Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства). Часто под термином вращение понимают собственное вращение.

Для двумерной плоскости можно дать другое, эквивалентное, определение вращения: вращение плоскости это движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Прострáнством называется математическое множество, имеющее структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов (например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, событий в теории вероятностей и так далее).Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

Источник

Поворот

Урок 42. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Поворот»

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте повторим, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Вспомним, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Мы уже познакомились и повторили некоторые виды движения: такие как осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.

Сегодня на уроке мы познакомимся с еще одним видом отображения плоскости на себя – поворотом.

Давайте отметим на плоскости произвольную точку О, назовем ее центром поворота, и зададим угол α (назовем его углом поворота).

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что и угол MOM₁=α. Заметим, что точка О остается на месте, то есть другими словами, отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О, причем, если , то против часовой стрелки, если , то по часовой стрелке

Иногда в литературе можно встретить следующее обозначение для поворота вокруг центра О и на угол α: .

Теперь давайте попробуем определить, будет ли поворот движением? Для этого достаточно показать, что при повороте сохраняется расстояние между точками.

Пусть точка О – центр поворота, а угол α– угол поворота.

Рассмотрим случай, когда α>0, то есть поворачивать относительно точки О будем против часовой стрелки. Случай, когда α Оцените видеоурок

Источник

Геометрия. 9 класс

Отметим на плоскости точку О – центр поворота и зададим угол α – угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ = ОМ₁ и угол МОМ₁ равен α. Этот вид отображения плоскости на себя называется поворотом.
Задачи на построение:
Задача 1. Построим поворот точки М на угол в 600 по часовой стрелке вокруг точки О.
1. Отметим точки О и М.
2. Проведем луч ОМ.
3. Отложим с помощью транспортира угол в 600.
4. На проведенном луче циркулем отложим отрезок, равный ОМ.
5. Поставим точку М₁.

При этом точка М отображается в точку М₁.
Задача 2. Построим отрезок, в который переходит отрезок АВ при повороте на 120° против часовой стрелки около точки О.

1. Проведем луч ОА.
2. От него против часовой стрелки отложим ∠АОА₁ = 120°.
3. ОА = ОА₁;
4. Проведем луч ОВ.
5. От него против часовой стрелки отложим ∠ВОВ₁ = 120°.
6. ОВ = ОВ₁, А₁В₁ – образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О на 120° против часовой стрелки.
Задача 3. Построим треугольник ABC и зададим некоторый угол поворота α. Повернем каждую из точек А, В, С на угол α против часовой стрелки.

При этом точка А отображается в точку А₁, точка отображается в точку В₁, точка С отображается в точку С₁.
Соединим отрезками точки А₁, В₁, С₁. Треугольник АВС отображается на треугольник А₁В₁С₁ при повороте на угол α.
Выделение существенных признаков поворота.
1. Отображение плоскости на себя.
2. Каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ = ОМ₁
3. ∠МОМ₁ = α.
Сравним данную фигуру и её отображение. Что общего в них?
Является ли поворот движением – отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние?
Доказательство: пусть при повороте на угол α точки А и В отображаются в точки А₁ и В₁.Треугольники ОАВ и ОА₁В₁ равны по двум сторонам и углу между ними: ОА = ОА₁, ОВ = ОВ₁ и ∠АОВ = ∠А₁ОВ₁ значит АВ = А₁В₁. Т.е расстояние между точками А и В равно расстоянию между точками А₁ и В₁.
Отметим следующие свойства.
При повороте
1) отрезок переходит в равный ему отрезок;
2) угол переходит в равный ему угол;
3) окружность переходит в равную ей окружность;
4) любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник;
5) параллельные прямые переходят в параллельные прямые;
6) перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.
Чтобы задать поворот достаточно задать центр поворота, угол поворота, направление поворота.
Поворот на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.

Источник

Презентация к уроку

Цели урока:

Содержание темы: урок по геометрии разработан для учащихся 9 класса.

Тип урока: урок изучения нового материала и промежуточного контроля усвоения учащимися пройденного на этом уроке и изученного ранее материала.

Организационные формы общения: коллективная, индивидуальная, фронтальная, в парах.

Оформление: мультимедийный проектор, экран, ноутбук, компьютерная презентация, сигнальные карточки.

Мотивационная беседа.

Без движения — жизнь только летаргический сон.
Жан Жак Руссо

I. Сообщение темы, целей и хода урока. (СЛАЙД 2)

— Ребята, Вы знаете какую важную роль имеет движение в жизни человека, общества, науки. Большую роль играет движение и в математике: преобразование графиков, отображение точек, фигур, плоскостей – всё это движение. На предыдущих уроках мы с Вами рассмотрели несколько видов движения. Сегодня мы познакомимся ещё с одним видом движения: поворотом. Тема урока: поворот.

И наш урок тоже является примером движения, только движения не с физической точки зрения, а движением в умственном развитии, познании нового и приобретения новых знаний. В течение всего урока Вы будете выполнять различные задачи, тесты. Поэтому будьте активны, продвигайтесь в своих знаниях вперёд на протяжении всего урока и улучшайте свои результаты от одного этапа к другому!

В течение всего урока, как мою речь, так и вашу будет сопровождать презентация, которая поможет проверить правильность выполнения Вами домашней работы, предложенных тестов и самостоятельно решённых задач.

II. Проверка домашнего задания.

С помощью СЛАЙДОВ 3-5 проверить решение № 1165.

III. Актуализация опорных знаний.

После выполнения теста ребята обмениваются тетрадями и выполняют взаимопроверку.

IV. Изучение нового материала. (обогащение знаний)

(СЛАЙД 14) Отметим на плоскости точку О (неподвижная точка), и зададим угол a – угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол a называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M₁, что OM =OM₁ и угол MOM₁ = a.

(СЛАЙД 15) При этом точка O остаётся на месте, т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки O в одном и том же направлении на угол a по часовой стрелки или против часовой стрелки.

(СЛАЙД 17) Если поворот выполняется по часовой стрелке, то угол поворота a считается отрицательным. Если поворот выполняется против часовой стрелки, то угол поворота – положительный.

— Ребята, давайте вспомним понятие движения. Как Вы думаете, является ли поворот движением? (высказывают предположения)

— Поворот – является движением, т.е. отображением плоскости на себя. Докажем это.

(СЛАЙД 18 или СЛАЙД 19)

(Доказательство может выполнить сильный ученик по СЛАЙДУ 18. В этом случае можно сразу после доказательства перейти к СЛАЙДУ 20. Доказательство может выполнить учитель вместе с классом по СЛАЙДУ 19, на котором отображаются этапы доказательства.)

V. Закрепление изученного материала.

— Какие инструменты нам понадобятся для того, чтобы выполнить поворот? (линейка, циркуль, транспортир)

— Ребята, что сначала нужно отметить? (точку M и центр поворота – точку O)

— Как задаём центр поворота? Отмечаем в определённом месте? (нет, произвольно)

— Как будем выполнять поворот по часовой или против часовой стрелки? Почему? (против, т.к. угол положительный)

— Как найти на второй стороне угла точку M₁? (с помощью циркуля отложить отрезок OM₁=OM)

— Рассмотрим, как выполняется поворот отрезка в зависимости от расположения центра поворота.

— Рассмотрим случай, когда центр поворота лежит вне отрезка. Решим № 1166 (а). (Если класс сильный, то можно вместе с детьми составить план решения задачи, дать задание решить № 1166 (а) самостоятельно. Решение проверить с помощью СЛАЙДА 21. Если ребята затрудняются с выполнением задания, то решать коллективно, опираясь на СЛАЙД 21)

Работа в парах.

— Какая точка является центром поворота? Что можно о ней сказать? (это один из концов отрезка – точка А, она будет неподвижной, оставаться на месте)

— Как будем выполнять поворот по часовой стрелки или против часовой? (по часовой, т.к. угол отрицательный)

— Составьте план решения задачи.

Задание выполняют по парам. Проверяют решение с помощью СЛАЙДА 22.

Индивидуальная работа.

Задание. Построить фигуру, в которую переходит отрезок AB при повороте на угол – 100 o вокруг точки О – середины отрезка AB.

— Составьте план решения задачи. Задание выполняют самостоятельно, решение проверяем с помощью СЛАЙДА 23.

— Сегодня на уроке мы рассмотрели поворот отрезка в зависимости от расположения центра поворота. На следующих уроках мы рассмотрим повороты других фигур. (продемонстрировать СЛАЙДЫ 24-25)

VI. Проверка усвоения изученного материала.

Тест №2. (СЛАЙДЫ 26-30)

VII. Подведение итога урока. (рефлексия)

— Ребята, давайте выделим тех, кто был лучшим на каждом этапе. (подводится итог, выставляются оценки)

— Поднимите руки, кому понравился урок. Отметьте, что интересного было на уроке?

Источник

Угол поворота, угол произвольной величины

Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.

Поворот точки вокруг точки

Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.

Полный оборот

Если движение точки А по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:

В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.

Угол поворота

Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.

Разберем характеристики угла поворота подробнее.

Направление поворота

Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.

Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.

Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.

Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Углы поворота, превышающие 180 или меньшие – 180 определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:

Несколько последовательных поворотов точки А относительно центра О равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).

Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.

Источник