Что такое равнобедренный прямоугольный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник – площадь, длина основания, свойства
И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.
Определение
Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.
Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.
Рис. 1. Равнобедренный прямоугольный треугольник
Свойства
Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут пролегать высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.
Рис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника
Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного более упрощенной:
Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.
Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.
Через гипотенузу можно найти катет через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.
Рис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника
Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.
При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.
Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.
Из этого же свойства проистекает равенство синусов и косинусов всех острых углов между собой, а так же равенство тангенсов и котангенсов.
Что мы узнали?
Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Всего получено оценок: 251.
Всего получено оценок: 251.
И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.
Определение
Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.
Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.
Свойства
Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут проходить высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.
Рис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника
Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного упрощенной:
Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.
Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками, решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.
Через гипотенузу можно найти катет и через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.
Рис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника
Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.
При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.
Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.
Из этого же свойства вытекает равенство синусов и косинусов острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника между собой, а также равенство их тангенсов и котангенсов.
Что мы узнали?
Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Прямоугольный треугольник (понятие, определение):
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.
Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.
1. Равенство по двум катетам.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам
2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу
3. Равенство по гипотенузе и острому углу.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
4. Равенство по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Свойства прямоугольного треугольника:
1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚
3. Теорема Пифагора:
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
где a, b – катеты, c – гипотенуза.
4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.
,
Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность
5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу
АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2
6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.
Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла
Формулы прямоугольного треугольника:
Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).
Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:
a 2 = c 2 – b 2 ,
b 2 = c 2 – a 2 .
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность
Формула радиуса описанной окружности (R):
.
Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:
.
Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:
.
Прямоугольный треугольник и его свойства
Стороны прямоугольного треугольника
Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.
Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника
Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.
Теорема Пифагора
Высота и медиана
Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.
Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление
Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.
Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус – это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс – отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.
Решение треугольника
Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.
Равнобедренный прямоугольный треугольник