Что такое регулярная функция

РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ

Смотреть что такое «РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

Регулярная функция — Голоморфная функция комплекснозначная функция, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости и комплексно дифференцируемая в каждой точке. В отличие от вещественного случая, это условие влечёт, что функция бесконечно… … Википедия

РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА — аддитивная функция m, определенная на системе множеств топологич. пространства, полная вариация к рой удовлетворяет условию где внутренность множества замыкание множества F(E, G, F из области определения m). Ограниченная аддитивная Р. ф. м.,… … Математическая энциклопедия

кусочно-регулярная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN piece regular function … Справочник технического переводчика

Функция распределения (статистическая физика) — Статистическая физика … Википедия

Функция распределения (статистическая механика) — Статистическая физика Термодинамика Молекулярно кинетическая теория Статистики Максвелла Больцмана Бозе Эйнштейна · Ферми Д … Википедия

Регулярная точка — (от лат. regularis правильный) правильная точка, математический термин, употребляющийся в различных смыслах. Р. т. функции f(z) комплексного переменного z = x + iy (i = z0 = x0 + iy0, в некоторой окрестности |z z0| … Большая советская энциклопедия

РЕГУЛЯРНАЯ ЭКСТРЕМАЛЬ — н е о с о б е н н а я э к с т р е м а л ь, экстремаль у(х), во всех точках к рой выполняется условие (1) где F(x, у, у ) подинтегральная функция, входящая в минимизируемый функционал Как всякая экстремаль, Р. э. есть, но определению, гладкое… … Математическая энциклопедия

РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… … Математическая энциклопедия

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том… … Математическая энциклопедия

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Учитывая комплексная функция F одного комплексного переменного, производная от F в точке г ₀ в своей области определяется пределом

Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана – Меншгофа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f является голоморфный.

Терминология

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Характеристики

Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю:

Производная f ‍ ′ ( a ) может быть записана в виде контурного интеграла, используя формулу дифференцирования Коши :

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур.

Примеры

Несколько переменных

В более общем плане функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Расширение функционального анализа

Источник

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЯ 93

Из теоремы 2 и п. 3 § 7 вытекает

Следствие 5. Гармоническая в области функция бесконечно дифференцируема.

3. Достаточные условия регулярности. Теорема 1 утверждает, что достаточным условием регулярности функции /(z) в области D является дифференцируемость этой функции. Рассмотрим другие достаточные условия.

Теорема 3 (теорема Морера). Пусть функция /(z) непрерывна в односвязной области D и пусть интеграл от функции f(z) no любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда функция f(z) регулярна в области D.

Доказательство. В силу следствия 3 § 9 функция f(z) имеет первообразную, т. е. существует дифференцируемая функция F(z) такая, что F'(z)==f(z) для всех z e D. Согласно теореме 1 функция F (г) регулярна в области D, и, следовательно, ее производная—регулярная в D функция, т. е. функция/(z)== == F’ (z) регулярна в области D.

равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей в D. Тогда функция /(z) регулярна в D.

Доказательство. Пусть Zo — произвольная точка области D. Рассмотрим круг К: lz—Zol v следовательно, ) / (z) dz = 0. В силу теоремы Морера, функция

/(z) регулярна в круге К и, в частности, в точке Zy. Так как Zo—произвольная точка области D, то функция /(z) регулярна в области D. Теорема доказана.

94 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). В условиях предыдущей теоремы ряд (9) можно дифференцировать почленно любое число раз. Получаемые при этом ряды равномерно сходятся в каждой замкнутой области Д, лежащей в области D.

Другие достаточные условия регулярности, относящиеся к интегралам, зависящим от параметра, будут даны в § 15.

В заключение п. 3 приведем краткую сводку основных свойств регулярных функций. Заметим, что наряду с термином «регулярная функция» в литературе используются другие эквивалентные термины:

Критерии (необходимые и достаточные условия> регулярности функции f(z) в области D:

1) дифференцируемость функции /(z) в области D;

2) условия Коши — Римана.

Достаточные условия регулярности функции /(z) в области D дают теорема Морера и первая теорема Вейерштрасса. Свойства регулярных функций:

1) сумма, разность, произведение регулярных функций /(z) и g'(z), а также их частное (при g(z)^O) и суперпозиция являются регулярными функциями;

2) регулярная функция бесконечно дифференцируема;

3) для регулярной функции справедливы интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши;

4) первообразная регулярной в одпосвязной области функции регулярна.

4. Некоторые приемы разложения в степенной ряд. Всякая функция /(z), регулярная в круге |z—а| 16 17

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

регулярная функция

Смотреть что такое «регулярная функция» в других словарях:

РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ — п р а в и л ь н а я ф у н к ц и я, в области функция f(z) комплексного переменного z, однозначная в этой области и имеющая в каждой ее точке конечную производную (см. Аналитическая функция). Р. ф. в т о ч к е а это Р. ф. в нек рой окрестности а.… … Математическая энциклопедия

Функция распределения (статистическая физика) — Статистическая физика … Википедия

Источник

регулярная функция

Смотреть что такое «регулярная функция» в других словарях:

Функция распределения (статистическая физика) — Статистическая физика … Википедия

Источник