Что такое скалярная величина и векторная величина в геометрии
Что такое скалярная величина и векторная величина в геометрии
В физике существуют скалярные величины (скаляры) и векторные величины (векторы). Хотя, правильнее в последнем случае все-таки говорить векторная величина, часто говорят, например, «вектор скорости».
Чтобы совсем запутаться, рекомендую обратиться к Википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Векторная_величина.
Для нас важно понять два момента:
1) Примерами скаляров являются: длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т.п.
Для наших задач достаточно понимания скаляра, как величины (числа с размерностью) без направления.
2) Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. То есть три числа (мы ведь живем в трехмерном пространстве), которые преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой.
Попробуем обойтись без математических формул этих правил. Просто представим в нашем трехмерном пространстве направленный отрезок. Некую стрелку, которая, для простоты, неподвижна, неизменна, и имеет направление от одного конца к другому. Или даже представим, что у нас есть определенная операция перемещения в пространстве. У нее есть величина (расстояние перемещения по прямой из начальной точки в конечную) и направление.
И представим систему координат (например, прямоугольную), которая неподвижна относительно нас, и начало отсчета которой совпадает с началом нашего направленного отрезка.
Отлично! Тогда координаты «заостренного» конца нашего «направленного» отрезка с началом в точке (0,0,0) в этой системе координат будут выражаться тремя числами (Ах, Аy, Аz). Будет ли эта тройка чисел вектором?
Теперь мы берем и поворачиваем произвольно нашу систему координат (но пока не сдвигаем начало координат). Тогда в новой системе координат координаты нашего вектора будут (Аx’, Аy’, Аz’). Заметьте, сам наш вектор (направленный отрезок в трехмерном пространстве) не изменился. Как бы мы не вращали систему координат, тройка чисел будет меняться, но вектор (в смысле направленного отрезка) останется на своем месте. Он смотрит в одну и ту же «точку вселенной». О как! И длина его не меняется из-за вращения системы координат.
А теперь вывод. То, что важно для физики!
Формулы можно посмотреть у Фейнмана или еще где-нибудь. Они пока для понимания не столь важны. А важно следующее!
Теперь посмотрим, что есть что.
Путь вектор или скаляр? Скаляр. Почему?
Далее сами перебираем физические величины и определяем, что есть скаляр, а что вектор!
Скалярные величины, векторные величины и нахождение равнодействующей двух перпендикулярных сил
Физические величины можно разделить на скалярные и векторные величины, скалярная величина — это физическая величина, которая может быть полностью определена только своей величиной и не имеет направления, в то время как векторная величина — это физическая величина, которая может быть полностью определена как величиной, так и направлением.
Примеры скалярных величин: расстояние, масса, время, температура и энергия. Примеры векторных величин : смещение, скорость, ускорение и сила.
При измерении физической величины, такой как температура (величина температуры, скажем, 27 ° C полностью описывает температуру), скорость (значение 20 км / ч не полностью описывает скорость автомобиля, так что направление движения автомобиля должно быть определенным).
Расстояние и смещение
Существует разница между концепцией смещения и концепцией расстояния. Расстояние — это длина пути, пройденного объектом из одной позиции в другую, Расстояние — это скалярная величина, которая может быть полностью определена только по ее величине.
Рекомендации по решению проблем
Представление векторных величин
Некоторые основы и векторная алгебра
Два вектора равны, если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление (даже если они имеют разные начальные точки). Два вектора не равны, если они имеют разные направления (даже если они имеют одинаковую величину) или разные величины (даже если они в том же направлении ).
Векторная алгебра
Векторная алгебра, такая как сложение векторов, векторное разрешение, векторное произведение (скалярное (точечное) произведение и перекрестное произведение).
Результат (сложение) векторов
Если камень тянут двумя веревками с двумя силами 30 Н и 40 Н, имеющими угол между ними 90 °, мы замечаем, что камень перемещается на определенное расстояние в направлении, отличном от направления этих двух сил (в течение определенного времени ).
Если две веревки заменить одной веревкой и потянуть с силой 50 Н, мы заметим, что порода перемещается на одинаковое расстояние в одном и том же направлении, когда на нее действуют две силы в одно и то же время.
Это означает, что сила 50 Н производит тот же эффект, что и две силы 30 Н и 40 Н. Таким образом, она считается равнодействующей двух сил 30 Н и 40 Н.
Есть два способа сложить два вектора, нарисовав треугольник и нарисовав параллелограмм, в котором A и B являются смежными сторонами. Таким образом, диагональ представляет их результат.
Нахождение равнодействующей двух перпендикулярных сил
Во-первых: графически
Второй: теоретически
Найдите величину равнодействующей силы, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника (AC² = AB² + BC²).
Угол (θ) можно найти по соотношению
tan θ = F y / F x = F 2 / F 1
Разрешение вектора
Разрешение вектора — это обратная операция для получения равнодействующей некоторых векторов, где сила может быть разделена на две перпендикулярные силы по размерам (x, y), Таким образом:
Произведение векторов
Существуют разные формы нахождения произведения двух векторов:
Скалярное (точечное) произведение
Скалярное произведение двух векторов A и B выражается следующим образом:
Знак (.) Произносится как «точка». Результат — скалярная величина.
Работа — это скалярная величина, поскольку она является скалярным произведением двух векторов силы и смещения, W = F. d, Если вектор (F) действует на вектор (d) под углом (θ).
Векторное (перекрестное) произведение
Перекрестное произведение двух векторов A и B выражается следующим образом:
C = A ^ B = AB sin θ n
Где n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости обоих векторов A и B, знак (^) произносится как крест, и результатом является векторная величина C, вектор C указывает на направление n, перпендикулярное плоскости обоих векторов. А и Б.
Работа электродвигателя зависит от наличия двух векторов, а именно электрического поля и магнитного поля, которые вызывают вращение катушки двигателя в направлении, перпендикулярном их плоскости.
Правило правой руки
Он используется для определения направления векторного произведения C двух векторов A и B.
Два вида физических величин: скалярные величины и векторные величины
«Что-то я не помню такой темы в физике» — первое, что, наверное, пришло вам в голову. Да, вы правы — тема незаметная, но в некоторых учебниках она присутствует. «А нужна она мне для ЕГЭ?» Нужна. Точно нужна. Очень нужна. Постоянно нужна.
Давайте приступим. Надо запомнить, что в физике (школьной) есть два типа физических величин:
Векторная величина. Что это такое? Давайте вспомним (а для тех, кто не знал — узнаем), что
Направление вектора изображается на картинке. Куда показывает вектор — туда он и направлен. Например, бывает так, что вектор направлен вверх, вниз и т.д. Вектор может быть направлен вдоль какой-то плоскости. Примеры можете видеть на картинках.
Ну, самое простое — это опыт. Решая задачи, читая теоретический материал, вы со временем запомните, какие величины векторные, а какие скалярные. Физических величин не так много, как может показаться.
А способ чуть посложнее — это представить эти величины и решить для себя: могут они иметь направление? Если да — то это вектор, если нет — скаляр.
Например: заряд конденсатора. Если заряд имеет направление, то куда он направлен? Непонятно — поэтому, скорее всего, заряд — это скалярная величина.
Другой пример: длина отрезка. Если эта физическая величина имеет направление, то откуда куда она направлена: от точки 1 до точки 2? Или от точки 2 до точки 1? Трудно выбрать — поэтому, скорее всего, длина отрезка — это скаляр.
Какие из представленных на рисунках величин являются скалярными, а какие — векторными?
Скалярные и векторные величины
Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.
Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.
Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.
Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:
1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);
Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.
Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:
— вектор скорости обозначается символом 
,
— вектор ускорения обозначается символом 
,
— вектор силы обозначается символом 
.
Модуль вектора обозначается так:
На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.
Действия с векторами
Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.
Сравнение векторов
Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:
Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:
Сложение векторов
Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.
Пусть заданы два вектора и 
(см. рис.). Найдем сумму этих векторов 
+ 
= 
. Величины и — это составляющие векторы, вектор — это результирующий вектор.
Правило параллелограмма для сложения двух векторов:
1. Нарисуем вектор 
.
2. Нарисуем вектор 
так, что его начало совпадает с началом вектора ; угол между векторами равен 
(см. рисунок).
3. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору 
.
4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .
Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и .
5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора .
6. Модуль результирующего вектора 
равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:
;
начало вектора совпадает с началом вектора и началом вектора (направление вектора показано на рисунке).
Правило треугольника для сложения двух векторов:
1. Нарисуем составляющие векторы и так, что начало вектора совпадает с концом вектора . При этом угол между векторами равен 
.
2. Результирующий вектор 
направлен так, что его начало совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора .
3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:
Вычитание векторов
Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:
Найти разность вектора и вектора — это тоже самое, что найти сумму вектора и вектора 
, противоположного вектору . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).
Скалярные и векторные величины в физике и математике
Особенности скалярных величин
Скалярные величины характеризуются только одним параметром — числовым значением. Они разделяются на 2 вида:
В физике в список скалярных величин входят:
Если скаляры выражают одно единственное свойство физического тела, то они называются однородными. Величины, описывающие несколько свойств объекта, именуются разнородными. Однородные скаляры сравнимы: они либо равны, либо одна из них больше или меньше другой. Но скалярные величины разного рода не могут сравниваться друг с другом.
Определение положительного скаляра и его измерения
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения позволяет сравнивать между собой однородные скаляры. Положительная скалярная величина способна принимать значения строго выше 0. Она обозначается знаком «+». Если величина может принимать значения меньше 0, то она называется отрицательной и обозначается символом «-«. Большинство скаляров могут быть только положительными. Для их расчета используют единицы измерения — фиксированного размера объекта.
Чтобы получить скалярную величину, достаточно умножить ее числовое значение на ее единицу измерения. Для структуризации и стандартизации вычислений физических параметров тела была разработана Международная система СИ. Она устанавливает единицы измерения для каждой величины. Во время проведения расчетов скалярных величин применяют алгебраические действия — сложение, вычитание, деление и умножение (отдельный подвид — возведение в степень).
Особенности векторных величин
Их определение: «В физике векторными величинами называются свойства материи, характеризующиеся несколькими параметрами: модулем и направлением». Модулем вектора будет являться числовое значение величины, никогда не принимающее отрицательных значений. Он обозначается символом «||». Для обозначения направления используется стрелка, располагающаяся над символом вектора.
В физике и математике примерами векторных величин являются:
На графиках функции векторные величины изображаются в виде прямой линии, имеющей направление и свои собственные координаты в заданном масштабе.
Свойства векторов
Вектор — математический элемент, представляющий собой прямой отрезок с направлением. Он обозначается либо 2 заглавными латинскими буквами, либо одной прописной. Длиной вектора является его модуль. Если длина вектора равняется 0, то он называется нулевым. Вектор, имеющий длину 1 см, именуется единичным. Длина ненулевого вектора выражается в виде расстояния между началом и концом направленного отрезка. Проекцией вектора на ось является строго положительный отрезок, сонаправленный с исходной осью. Свойства проекции:
Коллинеарные векторы — отрезки, располагающиеся либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен всегда. Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными. Если отрезки направлены в диаметрально противоположные стороны, то они называются противоположно направленными. Коллинеарные векторы являются равными, если они одинаковы по модулю и направлению.
Построение отрезков с направлением на плоскости осуществляется при помощи его координат для осей абсцисса и ордината. Для изображения направленного отрезка необходимо построить точки, координаты которых соответствуют началу и концу вектора, и соединить их.
С векторами также можно производить операции сложения, деления, вычитания и умножения. Чтобы сложить два вектора, необходимо от произвольной точки на плоскости отложить первый направленный отрезок и от него отложить второй вектор. Отрезок, соединяющий начало первого вектора и конец второго, будет считаться их суммой. Этот способ сложения именуется методом треугольника.
Вторым способом нахождения суммы векторов является метод параллелограмма. От произвольной точки откладываются оба направленных отрезка. Полученный рисунок нужно достроить до параллелограмма. Диагональ фигуры будет являться суммой векторов.
Для осуществления вычитания необходимо отложить от произвольной точки первый вектор. От полученного отрезка откладывается следующий вектор. Второй отрезок нужно направить в противоположную сторону. Линия, соединяющая отрезки, будет являться разностью векторов.
С векторами также можно проводить операцию умножения. Произведение длин направленных отрезков на косинус угла между ними называется скалярным. В результате вычислений получается число — скаляр. Скалярное произведение равно 0 в случае, когда отрезки пересекаются под углом 90°. Зная скалярное произведение, человек сможет найти косинус угла между построенными векторами.
Полученные в результате выполнения алгебраических операций выражения применяются для исследования перемещения тел вокруг оси вращения и изучения элементов высшей математики. Также направленные отрезки нашли широкое применение в геометрии и астрономии.