Что такое соответственные значения выражений

Тождественно равные выражения. Тождества

Рассмотрим две пары выражений:

1) и

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных и значения выражений и равны.

2)

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Однако, можно указать такие значения и , при которых значения этих выражений не будут иметь равные значения. Например, если , то

Мы получили разные результаты.

Следовательно, выражения и являются тождественно равными, а выражения не являются тождественно равными.

Равенство — тождество, т.к. оно верно при любых значениях и .

Также к тождествам можно отнести равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел:

Можно привести и другие примеры тождеств:

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Очень часто при вычислении значений выражений, легче сначала упростить имеющееся выражение, а затем выполнять вычисления.

К тождественным преобразованиям можно отнести приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.

Примеры:

1) , мы преобразовали выражение в выражение .

2) , мы преобразовали выражение в выражение .

Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют следующие методы:

1) тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть;

2) тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение;

3) доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю.

Также, чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример, т.е. указать такое значение переменной (или переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется.

Пример: Докажите, что равенство не является тождеством.

Решение: Приведем контрпример. Если , то

, следовательно, равенство не является тождеством.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Выражения и их тождественные преобразования

Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3•2-4, (25 + 3)- •2- 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, полу­чим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3•2-4 равно 2.

Рассмотрим запись 2a + 3. Она образована из чисел, знаков дейст­вий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если a = 7, то 2•7 + 3;

если a = 0, то 2•0 + 3;

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строч­ной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначе­ния переменной кроме букв используются другие знаки, например ¨. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2-¨ + 3.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6):(2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений скла­дываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17 + 13 или 120:15·7:12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12·4:3) + (5·8:2·7) записывают так: 12·4:3 + 5·8:2·7.

Задача. Найти значение выражения 3х(х- 2) + 4(х-2) при х = 6.

3·6·(6-2) + 4·(6-2) = 18·4 + 4·4 = 72 + 16 = 88.

Следовательно, при x = 6 значение выражения 3х(х-2) + 4(х-2) равно 88.

Тождественные преобразования выражений

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выра­жений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выра­жения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных зна­чениях д: их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выраже­ния соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некото­ром множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Приведем пример тождественных преобразований выражения.

Упражнения

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

а) 42:5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2·7 = 7·2;

д) (17+13):10-15; е)142>71·2.

2.Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматри­вать их на множестве натуральных чисел:

а) (135 + 67)·12; б)(135-217):2; в) 362:4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:

Источник

Тождественные преобразования выражений

п.1. Соответственные значения

Рассмотрим два выражения с переменными:

Вычислим их значения при x=2:

Числа 16 и 2 называются соответственными значениями выражений f(x)и g(x) при одинаковом значении x=2. В данном случае соответственные значения не равны. Теперь подставим x=3:

Соответственные значения равны.

Соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные – это числовые значения этих выражений, полученные при подстановке одинаковых значений переменных.

Соответственные значения могут быть:

п.2. Область допустимых значений

Ограничения на ОДЗ определяются видом выражения:

Тождество – формула, в которой два тождественных выражения соединены знаком равенства.

Согласно определению, тождество – это равенство, которое является истинным при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Тождествами также принято считать истинные числовые равенства.

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является истинным при всех допустимых значениях переменных, а уравнения – только для одного или нескольких значений переменных из ОДЗ.

Тождественное преобразование выражений – это замена одного выражения другим, тождественно ему равным.

Для доказательства (или опровержения) тождеств используют следующие алгоритмы.

Алгоритм доказательства, что равенство является тождеством

1. Выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.

2. Сравнить полученные слева и справа алгебраические выражения. Если они одинаковы, то равенство является тождеством.

Если выражения неодинаковы, продолжить тождественные преобразования или перейти к доказательству того, что равенство не является тождеством.

Алгоритм доказательства, что равенство не является тождеством

Найти хотя бы одно значение переменной, при котором соответственные значения выражений слева и справа неравны.

п.4. Примеры

Пример 1. Докажите тождество 3(x+1)-2(x-1)-x=5(x+1)-5x

● Тождественные преобразования левой части:

Тождественные преобразования правой части:

Получаем: 5=5. Равенство является тождеством.

Что и требовалось доказать. ○

Пример 2. Тождественны ли выражения 1-(1-(1-b)) и 1-b?

Тождественные преобразования левой части:

Получаем: 1-b=1-b. Выражения тождественны.

Пример 3. Верно ли тождество |x|+1=|x+1|?

Найдем соответственные значения левой и правой части при x=-1.

Равенство не является тождеством.

Пример 4. Является ли тождеством равенство |a+b|=|a|+|b|?

Найдем соответственные значения левой и правой части при a=-1, b=1.

Источник

Тождество

Тема урока: § 4. Тождество.

Тождественные выражения

Сравним значения выражений \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>\) при некоторых значениях переменной \( x.\) При \( x=2\) значение первого выражения \( 16,\) а второго \( 40.\) Числа \( 16\) и \( 40\) — соответственные значения выражений: \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>.\) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

Легко заметить, что не при всех значениях переменной \( x\) значения выражений \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>\) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Что такое тождество?

Выражения \( x+5\) и \( 5+x\) тождественно равны, поэтому равенство \( x+5=5+x\) верно при любых значениях \( x.\) Такое равенство называют тождеством.

Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.

Примеры тождеств

Верное числовое равенство также называют тождеством.

Тождественные преобразования выражений

Рассмотрим выражения \( x(y+7)\) и \( xy+7x.\) Вычислим их значения при \( x=9\) и \( y=-2\)

Мы видим что при \( x=9\) и \( y=-2\) соответственные значения выражений \( x(y+7)\) и \( xy+7x\) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.

При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме \(5x+2x-3x.\)

Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример 2. Раскроем скобки выражения \(2a+(b-3c).\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении \(a-(4b-c).\)

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Доказательство тождеств

Если в выражении \(\textcolor<#ed5fa6><5(b-c)-3c>\) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение \(\textcolor<#ed5fa6><5b-8c.>\)

верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.

Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:

Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

\[\small\begin <2>7(2+b)-(14-b)= \\ 14+7b-14+b= \\ 8b \end\] В результате тождественных преобразований мы получили правую часть равенства \((1).\) Значит, это равенство есть тождество.

Левая и правая части равенства \((2)\) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство \((2)\) — тождество.

Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство \(x+2=2x\) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях \(x.\) Однако, например, при \(x=1\) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.

Задачи для самостоятельного решения

№1. Являются ли выражения тождественно равными:

Первые два выражения тождественно равны. Т.е. равны при любых значениях переменной \(\footnotesize c. \)

Тождество, т.к. \(\footnotesize (x-x)a=0\cdot a=0 \)

Пятая пара выражений не будет являться тождеством. Предположим обратное:

Видно что равенство верно при \(\footnotesize x=y,\) но если \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) отличны друг от друга, то равенства достигаться не будет.

Тождество. Рассмотрим первое выражение

Видно, что первое выражение в точности является вторым.

№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:

Источник

Тождество — что это такое в математике

Очень часто в математике встречаются такие слова «тождество», «тождественно равные», «тождественное преобразование». Многие учащиеся путают значения этих слов. Давайте с вами разберемся, что означают эти слова.

В математике и, в более общем плане, в научных областях тождество — это открытие, что два математических объекта (имеющих два разных математических сценария) на самом деле являются одним и тем же объектом. В частности, тождество — это равенство между двумя выражениями, которое истинно независимо от значений различных используемых переменных. Тождества обычно используются для преобразования одного математического выражения в другое, особенно для решения уравнения.

Определение тождества

Равенство, которое является верным при любом значении, входящей в него переменной, называется тождеством. Тождество, как и уравнение, имеет переменную — x, y или любую другую букву. Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что уравнение имеет корень — то есть значение переменной, при которой выполняется данное равенство. А в тождестве равенство должно выполняться при любом значении переменной. То есть, равенство не всегда будет тождеством.

является уравнением, поскольку верно только при .

А равенство является и тождеством и уравнением, так как верно при любом значении переменной , и как решение уравнения — — любое число.

Пример: — это тождественное преобразование левой части выражения — получаем тождество.

Уравнение или тождество

Как и уравнение, тождество имеет переменную. Уравнение содержит вопрос: при каких значениях переменной получается равенство. Тождество — это утверждение в том, что равенство верно при любом значении переменной.

Определите, где в перечисленных ниже выражениях будет тождество, а где только уравнение.

Вы увидите, что все выражения, кроме третьего, являются уравнениями. А тождество у нас получается только в третьем выражении, так как при раскрытии скобок в правой части уравнения, мы получаем взаимоуничтожение переменных в правой и левой частях равенства, которое остается верным.

Очень часто тождества используются в тригонометрии. Вы можете посмотреть статью на эту тему подробнее: тригонометрические тождества часть 1 и тригонометрические тождества часть 2.

Например, самое известное, так называемое основное тригонометрическое тождество:

— верно при любом значении .

Некоторые алгебраические тождества квалифицируются как «замечательные» и позволяют облегчить вычисление или факторизацию полиномиальных выражений.

,

.

То есть, умножение осуществлялось с помощью вычитания квадратов чисел — для этого у вавилонян имелись таблицы квадратов чисел.

А еще вы можете ознакомиться с основным логарифмическим тождеством. Удачи при изучении математики.

Источник