Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Простые и составные числа
Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
В) больше двух делителей
Решение:
Число 1 имеет один делитель: 1
Число 7 имеет два делителя: 1, 7
Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Число 13 имеет два делителя: 1, 13
Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ответ:
А) один делитель- 1
Б) два делителя- 7, 13
В) больше двух делителей- 10, 12, 24
Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
Найдите все делители для составных чисел.
Решение:
Простые: 2, 17, 127
Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.
Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.
Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.
Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.
После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!
Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.
Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?
Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.
Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.
Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.
На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.
На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Составные числа
Любое натуральное число больше единицы является либо простым либо составным. Простым называют число, которое делится без остатка только на само себя или на единицу (2, 3, 5, 7 и т.д.). Составным называется число, которое имеет больше двух делителей (4, 6, 8 и т.д.).
Таблица составных чисел до 100
| 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | 20 | 21 |
| 22 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 30 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| 38 | 39 | 40 | 42 | 44 | 45 | 46 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |
| 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 60 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 68 |
| 69 | 70 | 72 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 80 | 81 | 82 | 84 |
| 85 | 86 | 87 | 88 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 98 |
| 99 | 100 |
Самое маленькое составное число
Исходя из определения и пользуясь таблицей составных чисел, видно, что наименьшее натуральное составное число — 4.
Важно! Единица — не является ни простым, ни составным числом
Как определить составное ли число?
Возвращаясь к определению, получаем, что если число делиться без остатка на любое число, кроме самого себя и единицы — значит оно составное. Проверить это можно путем перебора делителей (к примеру, начать делить на 2, затем на 3 и т.д.), либо зная признаки делимости.
Составные числа – примеры, определение (6 класс, математика)
Простые и составные числа – это нетрудное разделение чисел. Различать простые и составные числа– значит правильно раскладывать числа на множители, находить общий знаменатель у двух дробей и решать пример или задачу. Сегодня подробнее поговорим о том, какие числа называют составными.
Что такое простые числа
Начинать разбираться с вопросом нужно с определения простых чисел. Итак, простым числом называют любое число, которое делиться само на себя и на 1. Наиболее ярким примером, который просто запомнить ученикам, является число 13.
По числу 13 сразу видно, что разделить его можно либо на 13 и получить 1, либо на 1 и получить 13.
Следует понимать, что речь идет именно о делении числа нацело. С остатком: целым или дробным – можно делить практически любые числа.
Для того, чтобы не гадать каждый раз: какое именно число перед вами, можно и нужно пользоваться таблицами простых чисел. В средней школе достаточно таблицы со значениями простых чисел до 100.
В старших классах придется расширить справочную литературу и найти таблицу со значениями простых чисел до 1000.
Что такое составные числа
Нетрудно догадаться, что составных чисел в разы больше, чем простых. Составным числом является число, которое не является простым. Вот и все определение, в этом нет ничего сложного.
Разберемся с тем, почему эта группа чисел называется составными. Разберемся на примере, возьмем уже знакомое нам число 13 и умножим его на другое простое число: 2.
13*2=26 – в результате получилось составное число, которое можно разделить на 1,2,13,26. Это число состоит из двух множителей: 2 и 13. Значит, составными числами называют числа, которые состоят из нескольких простых множителей. Иначе говоря, в состав числа входят 2 и более простых множителя.
По аналогии с простыми числами, составные числа называют сложные. Разделение чисел на простые и сложные запомнить куда проще, чем деление на простые и составные.
Зачем это нужно?
Зачем нужно деление на простые и составные числа в математике? Все просто, это нужно, чтобы упростить разложение на множители. Вместо того, чтобы долго искать на какие числа, собственно, раскладывать большое значение, можно просто воспользоваться таблицей.
А разложение на простые множители в свою очередь помогает в определении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти значения нужны для сложения, вычитания и сравнения дробей.
Каким числом является 1?
Само собой, к составным числам 1 так же отнести нельзя, поэтому 1 считается числом вне категорий.
Каким числом является 0?
Ноль в противоположность единицы можно разделить вообще на любое число и получить все тот же ноль. Также ноль не раскладывается на простые множители. Чтобы объяснить этот математический эффект с точки зрения теории, было решено вынести ноль за категории простых и составных чисел.
Что мы узнали?
Мы поговорили о делении чисел на простые и составные числа. Выделили, два особых числа, которые не относятся ни к одной из группу. Также сказали, зачем вообще была введена эта классификация и привели примеры составных чисел.
Простые и составные числа
Основные определения
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.
Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.
Число 4 — первое наименьшее составное число.
В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.
А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.
Таблица простых чисел до 1000
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
| 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 |
| 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 |
| 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 |
| 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 |
| 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
| 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 |
| 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
| 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 |
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 |
| 647 | 653 | 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 |
| 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
| 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 |
| 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 |
| 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Какие числа называют составными в математике
Составные числа — понятие и определение
Такие числа, которые используют при счете объектов и предметов, называют натуральными.
Натуральные числа бывают простыми и составными.
Если у числа есть только два делителя — единица и само число — то его называют простым. Самое маленькое простое число — это 2.
Например, к простым относят также 3, 5 и 7.
У 3 есть только два делителя: 1 и 3.
Составные числа являются натуральными и имеют больше двух делителей.
Например, 125 делится на 1, 5, 25, 125. Это составное число.
Единица не относится ни к простым, ни к составным натуральным числам.
Делителем числа называют такое число, при делении на которое полученный результат является целым (не имеет остатка).
Нельзя назвать самое большое составное число, потому что их бесконечное множество. Но можно определить самое маленькое натуральное составное число — это 4.
Чем отличаются от простых
Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.
С помощью нахождения делителей определяют, является ли число простым или составным. Чтобы найти делители числа, нужно разложить его на множители.
Разложить число на множители — значит, представить его в виде произведения чисел.
Множители подбирают с помощью применения признаков делимости, а также разложения числа на простые множители.
Разложение на простые множители — это математическая операция, которая представляет число в виде произведения простых множителей.
Основная теорема арифметики:
Любое составное число можно разложить на простые множители (представить в виде произведения) единственным способом.
Применение составных чисел
Каждое составное число в математике представляют в виде произведения двух и более натуральных чисел, которые больше единицы.
Составные числа встречаются повсюду:
Числа позволяют создавать математические модели, с опорой на которые принимаются актуальные решения.
Примеры решения задач
Найдите среди чисел 16, 37, 11, 58 и 13 составные.
По определению, число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя.
16 делится нацело, например, на 2 и 8, значит, 16 является составным.
37 можно найти в таблице простых чисел.
| 2 | 79 | 191 | 311 | 439 | 577 | 709 | 857 |
| 3 | 83 | 193 | 313 | 443 | 587 | 719 | 859 |
| 5 | 89 | 197 | 317 | 449 | 593 | 727 | 863 |
| 7 | 97 | 199 | 331 | 457 | 599 | 733 | 877 |
| 11 | 101 | 211 | 337 | 461 | 601 | 739 | 881 |
| 13 | 103 | 223 | 347 | 463 | 607 | 743 | 883 |
| 17 | 107 | 227 | 349 | 467 | 613 | 751 | 887 |
| 19 | 109 | 229 | 353 | 479 | 617 | 757 | 907 |
| 23 | 113 | 233 | 359 | 487 | 619 | 761 | 911 |
| 29 | 127 | 239 | 367 | 491 | 631 | 769 | 919 |
| 31 | 131 | 241 | 373 | 499 | 641 | 773 | 929 |
| 37 | 137 | 251 | 379 | 503 | 643 | 787 | 937 |
| 41 | 139 | 257 | 383 | 509 | 647 | 797 | 941 |
| 43 | 149 | 263 | 389 | 521 | 653 | 809 | 947 |
| 47 | 151 | 269 | 397 | 523 | 659 | 811 | 953 |
| 53 | 157 | 271 | 401 | 541 | 661 | 821 | 967 |
| 59 | 163 | 277 | 409 | 547 | 673 | 823 | 971 |
| 61 | 167 | 281 | 419 | 557 | 677 | 827 | 977 |
| 67 | 173 | 283 | 421 | 563 | 683 | 829 | 983 |
| 71 | 179 | 293 | 431 | 569 | 691 | 839 | 991 |
| 73 | 181 | 307 | 433 | 571 | 701 | 853 | 997 |
Число 11 также найдем в таблице простых чисел.
58 можно разделить на 2, так как по признаку делимости, если число оканчивается четной цифрой, то оно делится нацело на 2. Значит, число имеет делитель, который отличается от 1 и 58. Следовательно, 58 — составное.
13 находим в таблице простых чисел.
Докажите, что число 296 является составным.
Число является составным, если у него есть хотя бы один делитель, кроме единицы и самого себя.
Для нахождения делителя, используем признаки делимости.
296 заканчивается на 6. Цифра 6 — четная, значит, по признаку делимости число делится без остатка на 2. И, если у него есть хотя бы один делитель, кроме 1 и 296 (в данном случае это 2), то оно является составным.
Что и требовалось доказать.
Можно ли говорить о том, что все четные числа являются составными?
Ответ: нет, так как, например, число 2 является четным, но при этом простым, потому что имеет только два делителя — 1 и 2.
Приведите примеры четырех составных чисел, кратных 3.
Числа, которые кратны трем, делятся на 3 нацело.
Вспоминаем признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться нацело на 3.
Тогда нужными нам примерами могут быть: 27, 126, 45 и 99.
27: составное число, так как имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя — это 3. Сумма цифр числа равняется 9. Девять кратно 3.
126: составное, так как делится нацело на 2 — в разряде единиц стоит четная цифра 6. Сумма цифр — 1 + 2 + 6 = 9 — 9 кратно 3.
45: составное, делится нацело на 5 по признаку делимости. Сумма цифр равна 9, девять кратно 3.
99: составное, так как делится нацело на 9 по признаку делимости. Сумма цифр равна 18, а 18 кратно 3.
