§ 55. Причины механического движения. Детерминизм
Дело не в дороге, которую мы выбираем; то,
что внутри нас, заставляет нас выбрать дорогу.
О’Генри
Какими факторами определяется движение тел с точки зрения механики? Что такое состояние системы с точки зрения механики? Что такое детерминизм? В чем смысл лапласовского детерминизма? Как связаны лапласов-ский детерминизм и жизнь человека? Справедлива ли концепция лапласов-ского детерминизма с точки зрения современной науки?
Урок-лекция
СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ И ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ СИСТЕМЫ. Мы уже говорили, что причина движения тел — взаимодействие с другими телами. Мерой такого взаимодействия являются силы. Но характер движения зависит не только от сил. Вы можете бросить тело вверх или в сторону. В обоих случаях сила, действующая на тело, одинакова — это сила тяжести. Однако движение тел различается. Точно так же при одинаковой гравитационной силе тело может двигаться по различным траекториям — окружности, эллипсу, параболе. От чего же еще зависит характер движения?
На рисунке 64 изображено движение в более сложной системе — шары на бильярдном столе. На рисунке 64, а изображены скорости шаров до столкновения (вверху) и после столкновения (внизу) при лобовом ударе шара о покоящийся шар; на рисунке 64, б — то же при скользящем ударе; на рисунке 64, в — траектории в случае, когда шары движутся навстречу друг другу.
Рис. 64. Движение бильярдных шаров при различных начальных состояниях
Анализируя процессы, изображенные на рисунке, можно прийти к выводу, что движение определяется начальным положением и начальными скоростями всех тел, составляющих систему. Но, может быть, движение зависит от каких-либо еще начальных характеристик, например начальных ускорений? Ответ простой. Согласно второму закону Ньютона ускорения полностью определяются силами. Таким образом, начальные ускорения определяются начальными силами, действующими между телами. Строгий математический анализ уравнений, следующих из второго закона Ньютона, показывает, что движение во все моменты времени полностью определяется силами между телами системы, начальными координатами тел и начальными скоростями.
Важность задания начальных координат и скоростей привела к появлению нового термина — состояние системы.
Законы классической (ньютоновской) механики утверждают, что движение системы, т. е. состояние системы в любой момент времени, полностью и однозначно определяется начальным состоянием системы и силами, действующими между телами системы.
Заметим, что этот вывод относится ко всем моментам времени, в том числе и к предшествующим моментам. Зная состояние любой системы в настоящий момент времени, можно определить состояние в любой предшествующий момент времени.
Состоянием системы тел в данный момент времени называют совокупность координат и скоростей всех тел системы в этот момент. Начальным состоянием называют состояние системы в некоторый начальный момент времени.
ЛАПЛАСОВСКИЙ ДЕТЕРМИНИЗМ. Что же дают законы классической механики? Если мы будем знать все силы, действующие между частицами, из которых состоит наш мир, и каким-то образом сумеем узнать состояние мира (всех частиц) в настоящее время, то, пользуясь математикой, сможем предсказать будущее в любой последующий момент времени и восстановить прошлое, как бы далеко назад мы ни обратились.
Конечно, задача эта непосильна для человека. Во-первых, число частиц в мире огромно. По существующим оценкам, только число частиц в наблюдаемой нами части Вселенной превосходит по крайней мере значение 10 75 (число действительно астрономическое). Во-вторых, мы еще недостаточно точно знаем силы, действующие между различными частицами. Важно, однако, что возможность точного предсказания будущего и изучения прошлого принципиально существует и может быть реализована если не человеческим, то, возможно, более высшим разумом.
Такая постановка задачи характерна для механистического, или лапласовского, детерминизма (по имени французского ученого Пьера Симона Лапласа, сформулировавшего этот принцип в начале XIX в.). Лаплас писал: «Мы должны рассматривать современное состояние Вселенной как результат ее предшествующего состояния и причину последующего. Разум, который для какого-нибудь данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение ее составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, обнял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами». Этот гипотетический разум иногда называют «Демоном Лапласа».
Концепция лапласовского детерминизма могла служить (и, возможно, служила) для естественно-научного оправдания философской концепции фатализма. Фатализм утверждает, что все будущее любого человека полностью предопределено и не зависит от его действий. Согласно ей свободы выбора у человека нет, он идет по заранее предначертанной для него дороге. Фатализм фактически оправдывает любые действия или бездействие человека, от человека как индивидуума ничего не зависит. Как бы нелепо это ни выглядело, но это логически следовало из законов классической механики.
Последующее развитие физики привело к тому, что наряду с частицами необходимо рассматривать в качестве одной из составляющих материи фундаментальные поля. К концу XIX в. было известно два таких поля (вам они тоже известны) — гравитационное и электромагнитное. Однако уравнения для этих полей были столь же детерминистичны, как и уравнения, следующие из законов Ньютона. Это означает, что знание полей в некоторый момент времени позволяло в принципе определить, какими были поля в прошлом, и предсказать, какими они будут в будущем. Таким образом, лапласовский детерминизм оставался справедливым и с учетом существования полей.
Классическая физика, включающая механику и электродинамику, приводит к уравнениям, дающим принципиальную возможность по существующему состоянию мира сколь угодно точно определить, каким было прошлое нашего мира, и сколь угодно точно предсказать, каким будет будущее нашего мира в любой последующий момент времени. Это положение носит название «концепция лапласовского детерминизма».
Развитие естественных наук показало, что законы ньютоновской механики ограничены рамками макромира. В микромире все процессы имеют вероятностный, т. е. недетерминированный, характер. Следствием этого является недетерминированность большинства процессов, происходящих в макромире. Наблюдаемые детерминированные процессы в макромире являются скорее исключением, чем правилом.
Квантовая теория оказывается справедливой и в макромире. Детерминированные процессы, например движение планет вокруг Солнца, на самом деле являются лишь приближенно детерминированными и скорее исключением из общего правила.
Естествознание. 10 класс
Конспект урока
Естествознание, 10 класс
Урок 37. Причины механического движения. Детерминизм
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Механическое движение – изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Состояние системы в данный момент времени – совокупность координат и скоростей всех тел системы в этот момент времени.
Лапласовский детерминизм – общенаучное понятие и философское учение о причинности, закономерности, генетической связи, взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Если рассмотреть движение бильярдных шаров. Что же произойдет, когда мы ударим кием по битку? У каждого шара появится свой характер движения, причиной которого является взаимодействие между телами в системе, а, следовательно, воздействия силы. Однако начальные условия могут влиять на характер движения.
Рассмотрим, как будут двигаться шары в зависимости от разных начальных характеристик. При центральном лобовом ударе биток или останавливается, заставляя двигаться второй шар, или продолжает движение в прежнем направлении. При скользящем ударе биток изменяет своё направление. Рассмотрев движение шаров, сделаем выводы о том, что движение тел в системе зависит от их начальных условий. Термин «Состояние системы тел» был предложен из-за необходимости введения начальных условий для описания движения.
Согласно механике Ньютона, определив сейчас состояние любой системы, можно узнать ее состояние в прошлом. Предположим, что если мы узнаем все силы взаимодействия частиц в нашем мире и состояние системы этих частиц на данный момент, то, используя математические уравнения, сможем предсказывать будущее и узнавать прошлое.
Такая постановка задачи характерна для механистического детерминизма, названного по имени французского ученого Пьера Симона Лапласа.
Лапласовский детерминизм – это философское учение о причинности, закономерности, генетической связи, взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.
Развитие естественных наук показало, что макромир ограничивает законы классической механики. Все процессы макромира имеют вероятностный характер. и из-за этого следует недетерминированность большей части процессов в макромире. Возьмём к примеру, глобальные стихийные бедствия, такие как землетрясение, извержение вулкана, наводнение. Зная начальные условия, мы не можем предсказать последствия от них. Наблюдаемые детерминированные процессы в макромире являются скорее исключением, чем правилом.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.
1. В одинаковых условиях во всех инерциальных системах отсчета все физические явления протекают одинаково т.е. законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета;
2. Концепция устройства мироздания, согласно которой Солнце является центральным небесным телом, вокруг которого обращается Земля и другие планеты.
3. Концепция мира, которая основывается на принципах причинности и закономерности;
4. Концепция устройства мироздания, согласно которой центральное положение во Вселенной занимает неподвижная Земля, вокруг которой вращаются Солнце, Луна, планеты и звёзды
Понятие состояния
В процессе общей характеристики физики как основной отрасли естествознания часто употреблялся термин “состояние физической системы”. Рассмотрим его более подробно.
Категория состояния сложилась в античной философии. В науке она впервые нашла широкое применение в ньютоновской механике. Здесь состояние рассматривалось как количественная характеристика механического движения. Значение механики Ньютона для физики далеко не в последнюю очередь определяется именно тем, что Ньютон первым понял: состояние систем материальных точек в любой заданный момент времениt полностью определяется значением их координат и импульсов (а не ускорениями, взаимодействиями и т.д.). Зная эти величины в момент t, можно определить эволюцию системы под влиянием известных сил во все последующие моменты времени, решив систему уравнений Ньютона:
Состояние физической системы — это конкретная определенность системы, однозначно детерминирующая ее эволюцию во времени. Для задания состояния системы необходимо: 1) определить совокупность физических величин, описывающих данное явление и характеризующих состояние системы, — параметры состояния системы; 2) выделить начальные условия рассматриваемой системы (зафиксировать значения параметров состояния в начальный момент времени); 3) применить законы движения, описывающие эволюцию системы.
Параметрами, характеризующими состояния механистической системы, являются совокупность всех координат и импульсов материальных точек, составляющих эту систему. Задать состояние механической системы, значит, указать все координаты r1(х1, у1, z1) и импульсы Р1 всех материальных точек. Основная задача динамики состоит в том, чтобы, зная начальное состояние системы и законы движения (законы Ньютона), однозначно определить состояние системы во все последующие моменты времени, то есть однозначно определить траектории движения частиц. Траектории движения получаются путем интегрирования дифференциальных уравнений движения. Траектории движения дают полное описание поведения частиц в прошлом, настоящем и будущем, то есть характеризуются свойствами детерминированности и обратимости. Здесь полностью исключается элемент случайности, все заранее жестко причинно-следственно обусловлено. Считается, что задать начальные условия можно абсолютно точно. Точное знание начального состояния системы и законов движения ее предопределяет попадание системы в заранее выбранное, «нужное» состояние.
На протяжении более 200 лет считалось, что механика Ньютона описывает перемещение тел любых размеров, т.е. любых размеров масс друг относительно друга. Но с этими телами происходят и другие изменения, не связанные с их макроскопическими перемещениями. В первую очередь, это тепловые процессы. Тела могут нагреваться и остывать. При этом их температура меняется.
Подобного рода процессы описываются термодинамикой.
Любая система может быть описана лишь с какой-то степенью приближения. Это касается и набора параметров, задающих состояние системы, и значения параметров, которые всегда, конечно, приближенны. Другими словами, всегда существует разница между истинным состоянием системы и описанием этого состояния.
Всевозможные состояния, в которых может находиться то или иное вещество, прежде всего, разбиваются на так называемые агрегатные состояния: твердое, жидкое и газообразное. Эти состояния выделяются по основным физическим свойствам вещества.
Следует учесть, что у некоторых веществ нет резкой границы между различными агрегатными состояниями. Например, при нагревании стекла происходит постепенное его размягчение, и невозможно установить, когда оно переходит из твердого состояния в жидкое. При очень большом внешнем давления твердые металлы начинают “течь”, т.е. подобно жидкости, принимают форму сосуда, в котором они находятся.
Различные состояния одного и того же вещества можно отличать друг от друга также и по значениям физических величин, которые характеризуют эти состояния, например, по значениям объема, температуры и давления. Поэтому каждому агрегатному состоянию вещества соответствует бесконечное множество различных состояний, которые отличаются друг от друга различными значениями объема, давления, температуры и других физических величин. При изменении этих величин вещество переходит из одного состояния в другое, оставаясь твердым, жидким или газообразным.
Физические величины, характеризующие то или иное состояние вещества, иногда называют параметрами состояния. Основные параметры: объем V, внешнее давление Р и температура Т. Если между параметрами состояния существует какое-нибудь определенное однозначное соотношение, которое сохраняется при переходе из одного состояния в другое, то это соотношение называется уравнением состояния. Например, для разряженных газов соблюдается уравнение:
Важным свойством термодинамических систем является существование у них равновесных состояний, в которых они могут пребывать сколь угодно долго. Для газа, заключенного в некотором сосуде, равновесным является состояние, в котором температура, давление и плотность (или число молекул в единице объема) в пределах объема газа одинаковы. Если в каком-нибудь месте этого объема вызвать местное нагревание или сжатие, то в системе начнется процесс выравнивания температуры и давления. Этот процесс будет происходить в течение того времени, пока имеется внешнее воздействие. Однако только после прекращения этого воздействия процесс выравнивания приведет систему к новому равновесному состоянию.
Состояния изолированных термодинамических систем, в которых они, несмотря на отсутствие внешних воздействий, не могут пребывать в течение конечных промежутков времени, называются неравновесными. Система, первоначально находящаяся в неравновесном состоянии, с течением времени переходит в равновесное состояние. Время перехода из неравновесного состояния в равновесное называется временем релаксации.
В физике широко используется понятие стационарного состояния. Состояние физической системы, при котором некоторые существенные для характеристики системы величины не меняются со временем называется стационарным. Например, состояние потока жидкости стационарно, если скорость движения (и другие характеристики) остаются в каждой точке пространства неизменными.
В квантовой механике стационарным состоянием называется состояние, в котором энергия имеет определенное значение. Стационарное состояние может быть равновесным и неравновесным.
Стационарным состоянием открытой системы является подвижное равновесие, при котором все макроскопические величины остаются неизменными, но непрерывно продолжаются макроскопические процессы ввода и вывода вещества.
Состояния микрообъектов методами классической физики описать нельзя. Это очевидно хотя бы из соотношения неопределенностей. Принцип неопределенности, установленный В. Гейзенбергом в 1927 г., записывается так:
где 
выступает как неточность (неопределенность) значения координаты х частицы;
– как неопределенность компоненты Px ее импульса 
.
Принцип неопределенностей подчеркивает различие в описании состояния систем в классической и в квантовой теории. Мы уже неоднократно подчеркивали, что состояние классической материальной точки описывается с помощью координат и импульса. Квантовая же частица в состоянии с определенными координатами не обладает определенным импульсом. Иными словами, для квантовой частицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точное значение. Поэтому в квантовой теории состояние микрообъектов, как уже подчеркивалось, описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции.
Великий австрийский физик Эрвин Шрёдингер, проникшись идеей де Бройля о волнах материи, создал теорию, в которой дискретные стационарные состояния энергии уподоблялись стоячим волнам какой-либо системы. В аппарат квантовой теории прочно вошло в качестве ее основного уравнения – уравнение Шрёдингера относительно волновой функции Ψ. Сам Шрёдингер интерпретировал Ψ-функцию как реальный волновой процесс в пространстве и во времени, который, в конечном счете, должен приводить к отрицанию дискретных состояний и квантовых скачков. Однако дальнейшее развитие теории показало неадекватность подобных представлений, и волновая функция Ψ стала интерпретироваться как волна вероятности, а квадрат ее модуля — как мера вероятности обладания микрообъектом определенной координаты или в другой, дополнительной к первой, физической ситуации — определенного импульса. Итак, волновая функция получила статус волны вероятности, чем еще раз подчеркивается статистический, вероятностный характер поведения микрообъектов. Казалось бы, что о причинно-следственном описании движения объектов следует забыть. Однако это не так. Уравнение Шрёдингера описывает эволюции Ψ-функции с течением времени, является детерминированным и обратимым. Волновая функция представляет собой, полную характеристику состояния: зная волновую функцию Ψ, можно вычислить вероятность обнаружения определенного значения физической величины и средние значения физических величин.
Что такое состояние системы с точки зрения механики кратко
При движении материальной точки изменяются со временем ее положение в пространстве, определяемое радиусом-вектором 
ее скорость 
ускорение а. Говорят, что происходит изменение состояния материальной точки со временем. Что же понимают под механическим состоянием и какими параметрами оно определяется?
Механическое состояние материальной точки в некоторый момент времени определено, если для этого момента времени заданы ее радиус-вектор и скорость. Если известно механическое состояние материальной точки в какой-либо момент времени и действующие на нее силы, то с помощью второго закона Ньютона можно определить
ее механическое состояние в последующие моменты времени, т. е. полностью предсказать ее движение. Именно по этой причине второй закон Ньютона часто называют уравнением движения, ибо он описывает эволюцию начального состояния механической системы во времени.
Уравнение движения. Остановимся подробнее на вопросе определения механического состояния в произвольный момент времени. Второй закон Ньютона, или уравнение движения 
позволяет при известных силах найти ускорение материальной точки. Но знание ускорения дает возможность определить только изменение скорости за некоторый промежуток времени. Чтобы найти само значение скорости к концу этого промежутка, нужно знать не только изменение скорости, но и ее значение в начальный момент. Аналогично, знание скорости позволяет найти изменение положения материальной точки за некоторое время. Чтобы найти сам радиус-вектор, нужно знать его значение в начальный момент.
Например, в случае движения под действием постоянной силы, когда ускорение также постоянно, скорость и радиус-вектор материальной точки в момент времени 
определяются формулами
где 
— скорость и радиус-вектор в начальный момент времени 
Уравнение движения дает возможность найти 
только тогда, когда известно начальное состояние системы, т. е. величины 
Начальные условия. Задание начальных условий для нахождения 
необходимо и в том случае, когда действующие силы таковы, что ускорение не остается постоянным. При этом в некоторых случаях уравнение движения удается решить (проинтегрировать) аналитически, т. е. найти 
как функции времени, которые также будут содержать начальные значения 
. В качестве примеров таких случаев можно указать движение материальной точки под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра силового поля (движение планеты под действием притяжения к Солнцу, движение спутника Земли, движение альфа-частицы в поле атомного ядра), движение под действием силы, пропорциональной смещению от положения равновесия (тело на пружине), и т. д.
Алгоритм численного решения. В случаях, когда уравнение движения не удается решить аналитически, его можно решать численно. Действующая на материальную точку сила может зависеть от времени явно, от положения точки и от ее скорости: 
Пусть
нам заданы начальные значения 
Уравнение движения 
дает возможность найти ускорение 
в тот же момент времени 
Зная ускорение, можно приближенно найти изменение скорости за малый промежуток времени 
откуда скорость 
к концу этого промежутка равна
Зная скорость 
в начальный момент, можно приближенно найти изменение радиуса-вектора за то же время 
Более точное значение 
можно получить, если взять вместо 
среднее значение скорости на этом промежутке, считая ускорение на нем постоянным:
Отсюда значение радиуса-вектора 
к концу промежутка времени 
получится в виде
в зависимости от того, какой из приведенных выше формул для 
отдать предпочтение.
Выбор промежутка времени 
определяется той точностью, которую мы хотим получить при таком приближенном вычислении. Чем меньше промежуток времени 
тем ближе к истинным будут значения и 
вычисляемые по формулам (2) и (3). Найденные значения 
подставляем в выражение для силы 
и с помощью уравнения движения 
находим ускорение а: материальной точки в конце промежутка времени 
Теперь повторяем описанную процедуру для следующего промежутка времени, причем роль начальных условий будут играть найденные по формулам (2) и (3) значения 
Затем все повторяется еще раз и т. д. Если требуется найти изменение механического состояния материальной точки за большой промежуток времени, придется разбить этот промежуток на большое число шагов 
Чем меньше размер каждого шага, тем точнее будет результат. Но необходимое число шагов при этом
увеличивается. За повышение точности результатов приходится платить увеличением объема вычислений.
Практически такие работы удобно выполнять на ЭВМ. При проведении расчетов имеют дело не с векторами, а с числами. Поэтому каждое из приведенных выше векторных уравнений записывается в виде трех скалярных уравнений, соответствующих проекциям векторного уравнения на оси выбранной системы координат.
Системы взаимодействующих тел. Часто приходится рассматривать механическую систему, состоящую из нескольких взаимодействующих тел. Если известны силы взаимодействия между телами и внешние силы, действующие на каждое из тел, то для нахождения движения всех этих тел приходится решать систему уравнений, состоящую из уравнений движения для каждого тела. Механическое состояние системы частиц определяется заданием положений и скоростей всех частиц в один и тот же момент времени. Уравнения движения позволяют найти изменение этого состояния со временем.
Аналитическое решение задачи о механическом движении системы взаимодействующих тел обычно сопряжено с огромными математическими трудностями. Так, например, до сих пор не решена в общем виде задача о движении всего лишь трех взаимодействующих тел при произвольных начальных условиях. Однако численный расчет движения системы взаимодействующих частиц не содержит ничего принципиально нового по сравнению с расчетом движения одной материальной точки. При приближенном вычислении скорость и радиус-вектор каждой из частиц находятся с помощью той же самой процедуры по формулам (2)-(4), только при определении ускорений частиц в каждый момент времени с помощью уравнений движения в этих уравнениях кроме внешних сил учитываются и силы взаимодействия между частицами.
• Какой смысл вкладывается в понятие механического состояния? Какими величинами определяется механическое состояние материальной точки? системы материальных точек?
• Почему ускорение частицы не входит в число величин, определяющих ее механическое состояние?
• Опишите алгоритм численного расчета механического движения материальной точки.
• Какую роль играют начальные условия при решении уравнений движения?
Нахождение сил по движению. Уравнения движения можно использовать для нахождения действующих сил, если известно, как происходит движение тела, т. е. задан его радиус-вектор как функция времени. Примером такой задачи может служить нахождение силы притяжения планеты к Солнцу по известному из
астрономических наблюдений закону обращения этой планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца. Именно так был установлен закон обратных квадратов для силы тяготения.
Другой пример — движение точки по эллипсу, описываемое уравнениями
В том, что траектория такого движения действительно представляет собой эллипс, можно убедиться, исключив время из этих уравнений. Разделив первое из этих уравнений на А, а второе на В, возводя их в квадрат и складывая, получим, учитывая тождество 
следующую связь между х и у:
Это уравнение эллипса (рис. 102) с полуосями А и В, которое в частном случае 
превращается в уравнение окружности.
Рис. 102. Движение по эллипсу
Легко убедиться, что материальная точка движется по этому эллипсу в направлении против часовой стрелки, причем так, что ее радиус-вектор поворачивается с постоянной угловой скоростью 
Для нахождения силы, вызывающей такое движение, нужно с помощью формул (5) определить ускорение частицы. Дифференцируя уравнения (5) по времени, находим проекции скорости на оси координат:
Дифференцируя по времени соотношения (7), получаем проекции ускорения:
Используя второй закон Ньютона и уравнения (8), получаем проекции силы, действующей на материальную точку массы 
Сравнивая (9) с (5), видим, что выражения для проекций силы можно записать в виде
Эти соотношения дают искомую зависимость действующей на частицу силы от ее координат. В векторном виде их можно записать следующим образом:
Сила 
в каждой точке направлена к началу координат и пропорциональна расстоянию 
до находящегося там центра силового поля (см. рис. 102). Такую зависимость силы от положения можно реализовать, например, с помощью двух пар одинаковых пружин (рис. 103). Чтобы движение тела происходило именно по уравнениям (5), начальные условия должны быть вполне определенными: из (5) следует, что при 
должно быть 
а из уравнений (7) — что 
Рис. 103. При смещении шарика из положения равновесия действующая со стороны пружин сила направлена к этому положению равновесия и пропорциональна смещению
Рис. 104. Изотропный осциллятор (три пары взаимно перпендикулярных пружин)
Такое начальное состояние можно осуществить, оттянув шарик в направлении оси х на расстояние А и толчком сообщив ему начальную скорость В со вдоль оси у. При этом оси х и у направлены вдоль недеформированных взаимно перпендикулярных
пружин, а ось 
перпендикулярна плоскости, в которой они расположены.
В действительности оказывается, однако, что взаимно перпендикулярные оси х и у могут быть в плоскости пружин ориентированы произвольным образом. Более того, если к этим двум парам пружин добавить еще такую же пару, расположенную перпендикулярно плоскости, в которой они лежат (рис. 104), то в такой системе выбор направления всех трех осей х, у, z совершенно произволен. По своим механическим свойствам система оказывается изотропной. При любых начальных условиях траектория шарика будет плоской. Ориентация этой плоскости определяется векторами 
начального смещения и начальной скорости.
Разные движения по эллипсам. Хотя движение тела под действием силы (11), пропорциональной смещению из положения равновесия, как и движение планет вокруг Солнца, происходит по эллиптической траектории, характер этих движений совершенно различен. Движение планеты происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца, расположенного в одном из фокусов эллипса (рис. 105), в то время как в рассмотренном выше примере шарика на пружинах силовой центр совпадает с центром эллипса.
Рис. 105. При движении планеты вокруг Солнца скорость в афелии (А) меньше, чем в перигелии (П)
Различие в характере движений становится особенно отчетливым, если вспомнить, что скорости планеты в афелии и перигелии, т. е. на концах большой полуоси эллипса, различны (рис. 105), в то время как у шарика на пружинах скорости и 
в соответствующих точках орбиты одинаковы (см. рис. 102).
Отметим, что в случае движения при наложенных связях механическое состояние определяется заданием значений обобщенных координат и значений скоростей их изменения (обобщенных
скоростей) в один и тот же момент времени. Таким образом, число параметров, определяющих механическое состояние системы, в два раза больше числа ее степеней свободы. Так, при движении точки по заданной окружности, ее механическое состояние определяется всего двумя величинами, например углом 
и угловой скоростью 
.
• Как показать, что радиус-вектор частицы, движение которой описывается уравнениями (5), поворачивается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью?
• Докажите, что формулы (10), связывающие проекции силы с координатами шарика, подвешенного на двух парах одинаковых пружин, справедливы при произвольной ориентации осей х и у в плоскости пружин (т. е. оси не обязательно направлять вдоль пружин).
• Чем различаются движения по эллиптическим траекториям в случаях шарика, подвешенного на трех парах взаимно перпендикулярных одинаковых пружин, и орбитального движения планеты?
