Что такое спектр сигнала простыми словами

Просто о сигналах и спектрах

Есть множество материалов пытающихся объяснить, что такое спектр сигнала. Тем не менее, часто эти попытки страдают излишней заумностью, обилием формул, а объяснить, что же такое спектр просто, что называется “на пальцах”, мало у кого удаётся. Итак.
Прежде чем рассматривать, что такое спектр сигнала сначала выясним, что же такое сам сигнал. Как показывает практика, этот базовый вопрос актуален и отсутствие чёткого понимание именно этого момента часто ведёт к тому, что объяснения о сути спектра идут “в холостую”.
Вопрос о сигналах удобно рассматривать исторически. Одно из самых первых устройств электрической связи – это телеграф. Принцип работы телеграфа довольно прост и состоит в следующем. Из опытов по физике мы с вами знаем, что если намотать провод, например, на кусок железного гвоздя и подключить его к батарейке (см. рис. 1), то этот кусок гвоздя начнёт притягивать всевозможные железки, т.е. превратится в электромагнит (см. также, например, здесь).

рис.1

Если отключим провода от батарейки, то гвоздь перестанет быть магнитом. Таким образом, мы получили “чудо-гвоздь”, который в зависимости от нашего желания то становится магнитным, то перестаёт им быть. Причём, если у вас есть провод достаточной длинны, то вы с батарейкой можете находиться на одном конце города, а гвоздь-электромагнит на другом и вы, подключая (и отключая) батарейку к проводам, соединённым с гвоздём, можете дистанционно по проводам (что называется – через канал связи) управлять магнитными свойствами удалённого от вас гвоздя. В этом и состоит суть телеграфа. Телеграфный аппарат состоит из электромагнита, который управляются телеграфным ключом (выключателем) – см. рис.2.

рис.2

Магнит, то притягивают к себе металлическую пластину с прикреплённым к ней карандашом, то нет. В итоге, когда пластина притянута к электромагниту, тогда карандаш касается движущейся телеграфной ленты и оставляет на ней отметку. Если телеграфный ключ (который на одном конце города) замкнут на короткое время, то на телеграфной ленте (на другом конце города) остаётся точка, если телеграфный ключ удерживается в замкнутом положении дольше, то на движущейся ленте остаётся тире, если ключ не замкнут, то на ленте нет ни точки ни тире. Как известно, была изобретена азбука Морзе, где точками и тире на телеграфной ленте кодировались буквы. Таким образом, появилась возможность с огромной скоростью передавать сообщения из одного конца города в другой. Так вот, если к проводу, ведущему от ключа на телеграф подключить амперметр (см. рис.3), то тогда можно увидеть, что при замыкании ключа по проводам течёт ток с максимальной силой, когда ключ разомкнут, амперметр покажет нулевую силу тока в проводах. Всё это можно нарисовать в виде графика (см. рис.4), где по оси X откладываем время, а по оси Y силу тока в проводах между ключом и телеграфным аппаратом.

рис.3

рис.4

Мы видим на графике так называемые импульсы силы тока. Короткий импульс – ключ был замкнут на короткое время (передавалась точка), длинный импульс – на длинное (передавалось тире). Ясно, что эти импульсы несут информацию о том, что передавалось – точка или тире в такие-то моменты времени. Так вот график смены силы тока в телеграфе – это уже и есть то, что называют сигналом.
Развиваем тему. Следующее устройство электросвязи – это телефон. Принцип работы первых устройств для передачи речи на расстояния довольно прост и, по сути, является развитием идеи заложенной в телеграфе. Как известно звук – это колебания воздуха. Если вы тронете струну музыкального инструмента, то она начнёт колебаться, колебания струны предаются на воздух, воздух колеблясь начинает колебать перепонку вашего уха и вы слышите звук струны. Но позвольте, ведь пластина телеграфа (к которой прикреплён карандаш) тоже колеблется правда пока что довольно примитивно – она либо прилипает к магниту, либо нет. Однако, по идее, если мы заставим её колебаться более изощрённо – так же, как колеблется струна музыкального инструмента, то от этой пластины мы услышим звук так же, как от музыкального инструмента. А если мы заставим её колебаться так же, как колеблются, например, лист стекла или железа, когда рядом с ним человек произносит что-либо? Тогда от этой пластины мы услышим звуки в виде речи. Дело за малым – нужно сделать “телеграфный ключ”, который управлял бы притяжениями пластины телеграфа более изощрённо. В итоге электромагниты будут менять свою магнитную силу не как до этого – рывком (ключ замкнут – магнитная сила есть, ключ разомкнут – магнитной силы нет), а так, чтобы заставить пластину двигаться наподобие струны или наподобие того, как колеблется лист железа, когда рядом с ним человек что-либо произносит. Как сделать такой ключ? Ну, например, поступали и поступают следующим образом. Из опытов по физике мы знаем, что если взять катушку провода и начать двигать внутри неё магнит (см. рис.5), то по проводам этой катушки побежит изменяющийся ток, причём изменение силы этого тока будет пропорционально изменению положения магнита, также см., например, здесь.

рис.5

В итоге если к этому магниту прикрепить струну, то её колебания передадутся магниту, колебания магнита инициируют в проводах катушки изменяющийся ток, чья сила будет колебаться в соответствии с колебаниями струны. А раз так, то если эти провода с изменяющейся силой тока подключить к телеграфу, то и магнитная сила электромагнитов телеграфа будет также меняться в соответствии с изменениями силы тока, а значит и в соответствии с исходными колебаниями струны. Отсюда пластина телеграфа начнёт колебаться, так же как и струна, в итоге мы услышим от неё звук струны. Если к магниту на передающей стороне присоединить не струну, а мембрану, то человек произнося что-либо рядом с этой мембраной, вызовет её колебания, отсюда пойдёт колебание тока в проводах и всё завершится звуками человеческого голоса от пластины телеграфа. Вот и весь принцип, используемый и поныне. Правда вместо телеграфа на приёмной стороне сейчас устройство, называемое телефоном – там тоже под действием электромагнитов колеблется металлическая пластина, называемая мембраной. Переменный ток в проводах, как мы с вами уже знаем, соответствует колебаниям пластин на передающей и приёмной сторонах, т.е. соответствует передаваемым колебаниям-звукам. Таким образом, график изменения силы тока в проводах (см. рис. 6) и есть тот самый передаваемый сигнал.

рис.6

Итак, сигнал – это чаще всего некое колебательное движение, которое мы и хотим передать от передающей стороны на приёмную с целью передачи неких сообщений – только и всего. Собственно термин “сигнал” переводится, как “знак”. То есть мы подаём знаки некими колебаниями, которые передаются от передатчика на приёмник. Знаками-сигналами передаются сообщения.
Повторюсь, суть передачи информации – это перевод движений одного вида в движения другого вида – такого, который удобен для распространения на большие расстояния. То есть в примере с телеграфом мы движения руки по замыканию-размыканию ключа переводим в движение в виде наличия тока в проводе или его отсутствия. В примере с телефоном – мы движения колеблющегося воздуха (которое есть звуки) переводим в колебания величины тока в проводах и т.д. То есть сигналы это движения (обычно в виде колебаний) некоего носителя соответствующие движениям источника информации. В связи с этим возникает необходимость в изучении и описании колебательных движений для того, чтобы передавать эти самые колебательные движения в виде сигналов наиболее эффективным способом. Строго говоря, изучение свойств колебаний началось ещё в глубокой древности. Например, давным-давно было подмечено, что две одновременно колеблющиеся струны музыкального инструмента дают другой звук, чем те звуки, что мы получаем от отдельно колеблющихся струн. То есть можно создавать довольно сложные колебания-звуки на основе комбинации неких простейших колебаний-звуков. В общем-то именно эта идея и лежит в основе таких понятий, как преобразование Фурье, спектр и всё, что с этим связано.

Итак, на следующей странице появилось продолжение.

Комментарии

Евгений
19/11/13 20:09

классно все объясненно как говориться на пальцах даже переспросить нечего и еще бы про спектр бы пояснить бы мне а то я в лесу можно сказать блуждаю автору огромное спасибо

Константин
19/11/13 20:24

Раз интерес проявился, то буду дописывать про спектр, правда, с небольшой задержкой.

Источник

Что такое спектр сигнала простыми словами

Введение

Рисунок 1-1. Сложный сигнал во временной области

Некоторые измерения требуют получения полной информации о сигнале – частоты, амплитуды и фазы. Такого рода анализ называется векторным анализом сигнала и рассматривается в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics. Современные анализаторы спектра способны проводить различного рода векторные измерения сигнала. Однако, другая обширная группа измерений не включает определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими. Такой тип анализа сигнала называется спектральным анализом. Поскольку спектральный анализ более прост для понимания и одновременно необычайно полезен на практике, мы сперва рассмотрим то, как анализаторы спектра осуществляют измерения для спектрального анализа, начиная с Главы 2.
Теоретически, чтобы осуществить преобразование из временной области в частотную область, сигнал должен быть оценен на всем промежутке времени, то есть до ± бесконечности. Однако, на практике мы всегда ограничиваемся каким-то конечным периодом, когда проводим измерение. Преобразование Фурье также может быть осуществлено и из частотной области во временную. В этом случае, опять же, теоретически нам надо знать все спектральные составляющие в диапазоне частот до ± бесконечности. На самом же деле, производя измерения только в той области частот, в которой содержится наибольшая часть энергии сигнала, можно получить вполне приемлемые результаты. При преобразовании Фурье из частотной области очень важно знать фазу индивидуальных составляющих. Например, прямоугольный периодический сигнал, переведенный в частотную область и обратно, может превратиться в пилообразный, если не были зафиксированы фазы.

Что такое спектр?
Так чем же является спектр в контексте нашего обсуждения? Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи надлежащим образом скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области. На Рис. 1-1 показана волновая форма сложного сигнала. Давайте предположим, что мы ожидали увидеть чисто синусоидальный сигнал. И хотя форма явно демонстрирует нам, что сигнал не является чистой синусоидой, она не дает определенного ответа на вопрос о причинах данного явления. На Рис. 1-2 показан наш сложный сигнал во временной и в частотной области. В частотной области показана амплитуда для каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из двух волн. Теперь мы знаем, отчего наш сигнал не является чистой синусоидой: в нем содержится еще одна волна, вторая гармоника в нашем случае. Означает ли это, что измерения во временной области можно вообще не проводить? Отнюдь. Временная область является предпочтительной для многих измерений, а для некоторых является единственно возможной. К примеру, только во временной области можно измерить длительность фронта и спада импульса, выбросы и биения.

Рисунок 1-2. Связь между временной и частотной областью

Рисунок 1-3. Тест передатчика на гармонические искажения

Рисунок 1-4. Радиосигнал GSM и спектральная маска, показывающая границу нежелательных выбросов

Рисунок 1-5. Двухтоновый тест радиочастотного усилителя мощности

Рисунок 1-6. Выбросы излучения и их ограничения по стандарту CISPR11 как часть теста на электромагнитную совместимость

Типы измерений
Чаще всего анализаторами спектра измеряют частоту, мощность, модуляцию, искажения и шум. Знание спектрального состава сигнала очень важно, особенно в системах с полосой частот ограниченной ширины. Переданная мощность также является важным измеряемым параметром. Слишком малая мощность означает, что сигнал не сможет достичь точки назначения. Слишком большая мощность может быстро истощить заряд батарей, создать искажения и чрезмерно повысить рабочую температуру системы.
Измерение качества модуляции может быть важным для того, чтобы обеспечить нормальную работу системы и быть уверенным в том, что информация передается корректно. Измерения коэффициента модуляции, уровня полосы боковых частот, качества модуляции и заполнения полосы частот – это примеры самых распространенных тестов при аналоговой модуляции. В случае цифровой модуляции измеряются модуль вектора погрешности, дисбаланс IQ, зависимость погрешности фазы от времени и ряд других параметров. Более подробно об этих видах измерений рассказано в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics.
В сфере коммуникаций и связи измерение искажений очень важно как для приемников, так и для передатчиков. Излишние гармонические искажения на выходе передатчика могут создавать помехи на других коммуникационных частотах. В блоках предусилителей приемника не должно быть интермодуляции, чтобы избежать перекрестного наложения сигнала. Хороший пример – интермодуляция несущих сигналов кабельного телевидения, которые при распространении по распределительной системе вносят искажения в другие каналы этого же кабеля. Распространенными измерениями искажений являются измерения интермодуляции, гармоник и паразитного излучения.
Часто бывает нужно измерить и шум как сигнал. Любая активная цепь или устройство будет генерировать шум. Измерения коэффициента шума и отношения сигнал/шум (С/Ш) являются важными для описания показателей устройства и его вклада в общие показатели системы.

1 Жан Батист Фурье, 1768 – 1830, французский математик и физик, открывший, что периодические функции могут быть представлены последовательностью синусов и косинусов.
2 Если же сигнал появляется лишь раз, то его спектральным представлением будет непрерывное множество синусоидальных волн.

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Источник

Спектр сигнала

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Содержание

Базисные функции

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Применение

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представление

Если под сигналом понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то спектр этого сигнала можно записать следующим образом:

, где — угловая частота равная .

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: , где — амплитудно-частотная характеристика сигнала, — фазо-частотная характеристика сигнала.

Энергия сигнала, выделяемая на резисторе, будет равна , средняя мощность — .

Источник

Спектральный анализ сигналов

Не так давно товарищ Makeman описывал, как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.

Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.

Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.

Будем решать данную задачу на Java.

Матчасть

Как я уже говорил, структура сигнала заведомо известна: это сумма синусоид и какая-то шумовая составляющая. Так сложилось, что для анализа периодических сигналов в инженерной практике широко используют мощный математический аппарат, именуемый в общем «Фурье-анализ». Давайте кратенько разберём, что же это за зверь такой.

Немного особой, Фурье-магии

Не так давно, в 19 веке, французский математик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую функцию, удовлетворяющую некоторым условиям (непрерывность во времени, периодичность, удовлетворение условиям Дирихле) можно разложить в ряд, который в дальнейшем получил его имя — ряд Фурье.

В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.

Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.

Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье.
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром.
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье — в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра — это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы — соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр и фазовый спектр.

Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.

Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.

Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию — спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье — дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.

Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.

Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.

Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции — F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).

На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:

Рис. 3. Эффект растекания спектра.

Этот эффект именуют также растеканием спектра (англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками (англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков (дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.

Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.

Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.

Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.

Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.

Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.

Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование.

Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w₀ – w_гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.

Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.

Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.

Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:

Автоматизируй это

Пришло время для автоматизации выделения гармоник. Повторим ещё разочек алгоритм:

1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.

Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос — откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.

Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат — количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:

Рис. 7. Функция распределения гармоник.

Теперь построим еще и функцию — плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.

Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.

Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.

Практическая часть

Я не претендую на звание эксперта Java, и представленное решение может быть сомнительным как по части производительности и потреблению памяти, так и в целом философии Java и философии ООП, как бы я ни старался сделать его лучше. Написано было за пару вечеров, как proof of concept. Желающие могут ознакомиться с исходным кодом на GitHub.

Единственной сложностью стала генерация PDF отчёта по результатам анализа: PDFbox ну никак не хотел работать с кириллицей. К слову, не хочет и сейчас.

В проекте использовались библиотеки:
JFreeChart – отображение графиков
PDFBox – построение отчёта
JLatexMath – рендер Latex формул

В итоге, получилась довольно массивная программа (13.6 мегабайт), удобно реализующая поставленную задачу.

Есть возможность как вырезать гармоники вручную, так и доверить эту задачу алгоритму.

Источник