Что такое спектральная плотность

Спектральная плотность

В теории управления существуют и взаимно дополняют друг друга два подхода:

1) временнóй – исследование процессов во времени;

2) частотный – исследование частотных свойств сигналов и систем (с помощью передаточных функций и частотных характеристик).

Аналогичная ситуация наблюдается и при рассмотрении случайных процессов. Основная временная характеристика стационарного процесса – это корреляционная функция, а частотные свойства описываются спектральной плотностью.

Спектральная плотность – это функция, которая показывает распределение мощности сигнала по частотам. Такая информация о полезных сигналах, помехах и возмущениях очень важна для разработчика систем управления. Система должна быть спроектирована так, чтобы усиливать сигналы с «полезными» частотами и подавлять «вредные» частоты, характерные для помех и возмущений.

Для перехода от временнóго описания детерминированных (не случайных) процессов к частотному, используют преобразования Фурье и Лапласа. Аналогично спектральная плотность случайного процесса может быть найдена как преобразование Фурье от корреляционной функции[4]:

.

Здесь – мнимая единица, а – угловая частота в рад/с ( , где – «обычная» частота в герцах). Используя формулу Эйлера, можно представить экспоненту в виде сумму вещественной (косинусной) и мнимой (синусной) составляющих: . Функция – нечетная по , поэтому интеграл от нее в симметричных пределах равен нулю. Напротив, функция – четная, так что при интегрировании можно взять интервал от 0 до и удвоить результат:

.

Спектральная плотность случайного процесса, имеющего корреляционную функцию , вычисляется как

.

Интервал интегрирования разбит на две части. При имеем , а при – . Выполняя интегрирование, получаем

.

На рисунке слева показана корреляционная функция, а справа – соответствующая ей спектральная плотность мощности:

Свойства спектральной плотности:

1) это неотрицательная, четная функция угловой частоты (график расположен выше оси абсцисс и симметричен относительно вертикальной оси);

2) интеграл от на некотором интервале частот дает мощность, которая связана с этими частотами; поскольку функция – четная, результат интегрирования на нужно удвоить, чтобы учесть также и полосу ;

3) площадь под кривой определяет средний квадрат случайного процесса (для центрированного процесса он равен дисперсии):

.

Множитель нужен для согласования единиц измерения, поскольку угловая частота измеряется не в герцах, а в рад/с. Учитывая, что функция четная, можно интегрировать ее только при , а результат удвоить:

.

В теории управления нередко записывают спектральную плотность как функцию комплексной переменной , связанной с угловой частотой по формуле (отсюда следует ). Хотя это не совсем корректно с точки зрения математики, мы будем использовать запись для обозначения спектральной плотности , в которой выполнена замена :

.

Дата добавления: 2014-12-09 ; просмотров: 8296 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Однако в этой статье основное внимание уделяется ситуациям, в которых временные ряды известны (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измерены (например, с помощью микрофона, производимого компьютером). Спектр мощности важен в статистическая обработка сигналов и в статистическом исследовании случайные процессы, а также во многих других отраслях физика и инженерное дело. Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, разлагаемые с точки зрения пространственная частота. [3]

Содержание

Объяснение

Любой сигнал, который можно представить как переменную, изменяющуюся во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Сюда входят знакомые объекты, такие как видимый свет (воспринимается как цвет), музыкальные ноты (воспринимаются как подача), радио / ТВ (определяется их частотой, а иногда длина волны) и даже регулярное вращение земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, выявляются определенные аспекты принимаемых сигналов или лежащие в основе процессы, их производящие. В некоторых случаях частотный спектр может включать отчетливый пик, соответствующий синусоидальная волна составная часть. И дополнительно могут быть пики, соответствующие гармоники основного пика, указывающего на периодический сигнал, который нет просто синусоидальный. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усиливаются в соответствии с резонансами, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как если бы режекторный фильтр.

В физика, сигнал может быть волной, например электромагнитная волна, акустическая волна, или вибрация механизма. В спектральная плотность мощности (PSD) сигнала описывает мощность присутствует в сигнале как функция частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в Вт на герц (Вт / Гц). [4]

Когда сигнал определяется только с точки зрения Напряжениенапример, не существует уникальной мощности, связанной с указанной амплитудой. В этом случае «мощность» просто рассчитывается в единицах квадрата сигнала, так как это всегда будет пропорциональный к фактической мощности, передаваемой этим сигналом в данный сопротивление. Таким образом, можно использовать единицы V 2 Гц −1 для PSD и V 2 с Гц −1 для ОУР (спектральная плотность энергии) [5] даже при том, что никакая фактическая «мощность» или «энергия» не указана.

В общем случае единицы PSD будут отношением единиц отклонения на единицу частоты; так, например, серия значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах m 2 / Гц. Для анализа случайной вибрации, единицы измерения грамм 2 Гц −1 часто используются для PSD ускорение. Здесь грамм обозначает перегрузка. [7]

Математически нет необходимости назначать физические размеры сигналу или независимой переменной. В следующем обсуждении значение х (т) останется неопределенным, но предполагается, что это независимая переменная времени.

Определение

Спектральная плотность энергии

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть импульсных сигналов, имеющих конечную общую энергию. Конечное или нет, Теорема Парсеваля [9] (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала:

Икс ^ ( ж ) = ∫ − ∞ ∞ е − я 2 π ж т Икс ( т ) d т < displaystyle < hat > (е) = int _ <- infty>^ < infty>e ^ <- i2 pi ft>x (t) dt>

Спектральная плотность мощности

Тогда спектральная плотность мощности просто определяется как подынтегральное выражение выше. [11] [12]

Источник

Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Источник

Что такое спектральная плотность сигнала

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

потом мы находим s(t) с помощью разложения п ряду Фурье бляяяяяя и затем в пределе получаем

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

Прямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности
определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент

7. Применение БПФ для моделирования искажений сигналов в линейных цепях

Линейная цепь – состоит из линейных элементов (емкость, сопротивление)

Сопротивление – элемент, который энергию превращает в тепло.

В механике аналогией конденсатору служит пружина(элемент,который запасает энергию).

Ток течет через конденсатор, когда меняется напряжение. Чем больше скорость изменения напряжения, тем больше ток.

Самый простой сигнал: последовательность прямоугольных импульсов. Искажение наиболее просто выявить, так, как прямоугольный сигнал имеет крутые фронты.

Если пропустить сигнал прямоугольных импульсов,через простейшую Rc цепочку(фильрр низких частот),то спектр этого сигнала исказится,так,как фильтр не пропускает импульсы на больших частотах.

Активными элементами считаются источники электрической энергии (источники напряжения и тока), к пассивным элементам относятся резисторы, катушки индуктивности, электрические конденсаторы.

Количественные характеристики элементов электрической цепи называются ее параметрами.

Если сопротивление резистора R не зависит от тока, то линейная зависимость между падением напряжения и током выражается законом Ома ur = R х ir, а вольт-амперная характеристика резистора (представляет собой прямую линию (рис. 1,а).

Если индуктивность катушки не зависит от величины (протекающего в ней тока, то потокосцепление самоиндукции катушки ψ прямо пропорционально этому току ψ= L х il (рис. 1,б).

Наконец, если емкость конденсатора С не зависитот приложенного к обкладкам напряжения uc то заряд q, накопленный на пластинах, и напряжение uc связаны между собой линейной зависимостью графически показанной на рис. 1,в.

Линейность сопротивления, индуктивности и емкости носит условный характер, так как в действительности все реальные элементы электрической цепи являются нелинейными. Так, при прохождении тока через резистор последний нагревается и его сопротивление изменяется.

Электрическая цепь, состоящая из линейных элементов, называется линейной электрической цепью. Процессы в таких цепях описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Для анализа процессов в линейных электрических цепях используются законы Кирхгофа.

! Писала, то что запомнила с сегодняшней консультации и с лекций

8. Применение БПФ для фильтрации сигналов

Рисунок 19 иллюстрирует технику фильтрации с применением БПФ. Сначала синтезируется исходный сигнал, представленный 128 отсчетами вектора v. Затем к этому сигналу присоединяется шум с помощью генератора случайных чисел (функция rnd) и формируется вектор из 128 отсчетов зашумленного сигнала.

Рисунок 19. Фильтрация аналоговых сигналов

Ф(х) Ступенчатая функция Хевисайда. Возвращает 1, если х >= 0; иначе 0.

Отфильтрованный сигнал (вектор g) подвергается обратному БПФ и создает вектор выходного сигнала h.

Сравнение временных зависимостей исходного и выходного сигналов, показывает, что выходной сигнал почти полностью повторяет входной и в значительной мере избавлен от высокочастотных шумовых помех, маскирующих полезный сигнал.

9. Аналогии цепей различной физической природы;

До создания цифровых электронных вычислительных машин в конце 1940-х гг. Моделирование аналоговое было основным способом «предметно-математического моделирования» (см. об этом в ст. Моделирование) многих процессов, связанных с распространением электромагнитных и звуковых волн, диффузии газов и жидкостей, движения и фильтрации жидкостей в пористых средах, кручения стержней и др. (в связи с чем его часто называли тогда просто «математическим моделированием»), причём для каждой конкретной задачи моделирования строилась своя «сеточная» модель (основными её элементами служили соединённые в плоскую сеточную схему электрические сопротивления различных видов), а аналоговые вычислительные машины позволяли проводить Моделирование аналоговое целых классов однородных задач. В настоящее время значение Моделирование аналоговое значительно уменьшилось, поскольку моделирование на ЭВМ имеет большие преимущества перед ним в отношении точности моделирования и универсальности. В достаточно фиксированных и специальных задачах свои преимущества (простота, а тем самым и дешевизна технического выполнения) имеет и Моделирование аналоговое Употребительно также и совместное использование обоих методов (см. Гибридная вычислительная система).

10. Математические модели накопителей потенциальной и кинетической энергии;

Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.

Источник

Спектральная плотность излучения

Спектральная плотность излучения — характеристика спектра излучения, равная отношению интенсивности (плотности потока) излучения в узком частотном интервале к величине этого интервала. Является применением понятия спектральной плотности мощности к электромагнитному излучению.

Энергия светового пучка неравномерно распределена по волнам различных длин. Зависимость частоты от длины волны описывается как λv=c

Для характеристики распределения излучения по частотам используют интенсивность, приходящуюся на единичный интервал частот. Эта величина называется спектральной плотностью интенсивности излучения и обозначается как I(v).

Различным видимым цветам соответствуют различные спектральные плотности видимого света.

Источники

Полезное

Смотреть что такое «Спектральная плотность излучения» в других словарях:

спектральная плотность излучения — spektrinis spinduliuotės tankis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. spectral density of radiation vok. Spektralstrahlungsdichte, f rus. спектральная плотность излучения, f pranc. densité spectrale de rayonnement, f … Fizikos terminų žodynas

спектральная плотность излучения — Энергия излучения, рассчитанная на единицу спектрального интервала. Примечание. Различают также спектральную плотность потока частиц и спектральную плотность потока квантов излучения … Политехнический терминологический толковый словарь

относительная спектральная плотность излучения — Отношение среднего значения оптической величины в рассматриваемом малом спектральном интервале к ширине этого интервала. [ГОСТ 25066 91] Тематики индикаторы знакосинтезирующие … Справочник технического переводчика

относительная спектральная плотность излучения — 8 относительная спектральная плотность излучения: Отношение среднего значения оптической величины в рассматриваемом малом спектральном интервале к ширине этого интервала. Источник: ГОСТ 25066 91: Индикаторы знакосинтезирующие. Термины,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Спектральная плотность мощности — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Спектральная плотность мощности (СПМ) в физике и обработке сигналов функция, задающая распределение мощно … Википедия

Спектральная плотность — В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье. Если процесс имеет… … Википедия

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ — величины, характеризующей излучение (напр., потока излучения, силы света), отношение рассматриваемой величины, взятой в бесконечно малом спектр. интервале, содержащем данную длину волны l, к ширине этого интервала dl. Вместо l могут… … Физическая энциклопедия

Спектральная плотность энергии (мощности) лазерного излучения — 5. Спектральная плотность энергии (мощности) лазерного излучения* Спектральная плотность энергии (мощности) СПЭ (СПМ) Wλ, Wv, Pλ, Pv Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

спектральная плотность средней мощности оптического излучения ПОМ — 81 спектральная плотность средней мощности оптического излучения ПОМ [волоконно оптического лазера]: Средняя мощность оптического излучения передающего оптоэлектронного модуля [волоконно оптического лазера], приходящаяся на единичный интервал… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

спектральная плотность энергии излучения — spektrinis spinduliuotės energijos tankis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Pasirinktosios spektro dalies vienetinio dažnio ar bangos ilgio intervalo vidutinė spinduliuotės energijos vertė. atitikmenys: angl. spectral… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Источник