Что такое стандартные задачи

29.10.202330.04.2022 admin 0 Comments

Методика решения текстовых задач

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

Романюк Виктория Викторовна

Роль задач в обучении математике………………………………………………………..………………2

Стандартные и нестандартные задачи ………………………………………………………………..…6

8. Задачи «на прямую и обратную пропорциональность»……………………………………….23

Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы.

Роль задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-Х классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

От начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В то же время решение задач способствует развитию младших школьников.

Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос – центральный в методике обучения решению задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научить детей владеть умением решения задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Задачи и их решения.

Для начала узнаем, что такое задача:

Задача – это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.

Любая задача состоит из трёх частей : условие, объект, требование (вопрос) задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

Источник

Доклад методы решения текстовых задач

Муниципальная общеобразовательная средняя школа № 38

Методы решения текстовых задач

3. Стандартные и нестандартные задачи……………………………………4

6. Задачи на «смеси и сплавы»:

Мы выбрали для изучения тему «Методы решения текстовых задач» для того, чтобы научиться анализировать их решения. В докладе рассматриваются общие методы анализа и поиска решения, а также методы решения некоторых видов нестандартных задач.

Задачи и их решения

Для начала узнаем, что такое задача:

1) Задача – это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.

2) Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос) задачи.

3) Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

2-й этап: схематическая запись;

3-й этап: поиск способа решения;

4-й этап: осуществление решения:

5-й этап: проверка решения;

6-й этап: исследование задачи;

7-й этап: формулировка ответа;

8-й этап: анализ решения.

Но чтобы решить задачу, нужно определить её вид и тип. По отношению к теории существует два вида задач: стандартные и нестандартные. По типам задачи делятся: «на пропорциональность», «на сравнение величин», «на работу», «на части и проценты» и т. д. Подробнее рассмотрим стандартные и нестандартные виды задач.

Стандартные и нестандартные задачи

Как уже было сказано, по отношению к теории задачи делятся на стандартные и нестандартные.

Сначала рассмотрим стандартный вид. Это задачи, для которых имеются общие правила и положения, определяющие точную программу их решения. Сам процесс решения имеет следующие особенности:

1) Анализ сводится к установлению вида, к которому относится задача.

2) Поиск решения состоит в составлении последовательности шагов решения задач этого вида.

3) Само решение стандартной задачи состоит в применении этой общей программы к её условиям.

Но всё-таки, чтобы правильно решать такие задачи, в первую очередь надо определить её вид.

Теперь рассмотрим нестандартные задачи. Исходя из определения стандартных задач, для них не имеется общих правил и положений.

Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

1) Переформулировка нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной.

2) Разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

Подробнее рассмотрим три класса нестандартных задач: «на работу», «на проценты», «на смеси и сплавы».

Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле:

где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени;

t – время, необходимое для выполнения всей работы.

Пусть P×t=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:

Решим задачу на производительность труда.

Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи (рис. 2а)

Надо найти , то есть

Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z (рис. 2в). В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений и решая их методом Гаусса.

Задачи «на работу сложны тем», что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна.

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза., а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно, — производительность первого насоса до ремонта, а — производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение (рис.3а).

— производительность первого насоса до ремонта, а — производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнении (рис. 3б).

Решив оба уравнения можно составить систему:

Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2) (рис. 3в).

В итоге получим y=24, x=12.

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:

По формуле найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.

Вывод: в результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=P×t) и в большинстве случаев решаются путём составления систем уравнений.

Задачи «на проценты»

Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у. е., а к концу второго года – 749 у. е. Было подсчитано, что если бы первоначально исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у. е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.

Обозначим через x первоначальную сумму денег. Тогда через а обозначим процент, на который возрастает сумма за год в первом банке, а через b – во втором банке. К концу первого года сумму вклада в I банке стала равной , во II банке , а к концу второго года и . По условию задачи сумма вкладов в конце первого года составляет 670 у. е., а к концу второго года – 749 у. е., поэтому можно составить два уравнения:

Если во второй банк положить у. е., а в первый – у. е, то сумма вкладов к концу года составила бы:

что равнялось бы 710 у. е. Поэтому получим третье уравнение:

Для нахождения известного х составим систему уравнений из (1) и (3) и решим её (4а).

Подставляя вместо и вместо в уравнение (2), приходим к уравнению (рис. 4б), имеющему один корень: x=660, но тогда:

Если исходное количество денег положить на два года, то к концу второго года величина вклада составит 726 у. е.

Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб. По истечении одного года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 5000 руб., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 1232 руб. процентных денег, оставив вклад в 10 000 руб. на новый срок?

За I и II начисленный процент равен 5000×0,01x=50x, а процент за оба года равен 0,01x×(5000+50x).

Решив это уравнение (рис. 5а), найдём два значения для х: х1=-308 – не удовлетворяет условию задачи, х2=8. Значит, сбербанк начисляет в год 8%.

Таким образом, учитывая то, что процент – это сотая доля числа, задачи «на проценты» можно разделить на три типа (см. рис. 5б).

Задачи «на смеси и сплавы»

Сначала рассмотрим задачи «на смеси».

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение (рис. 5в.):

Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.

При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-1 кислоты?

Получаем соотношение 1:3.

Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.

Нарисуем схему (рис. 6б), по которой видно, что для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5:15=1:3.

Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».

Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить

Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, г – масса чистой кислоты в первом растворе, а г – масса чистой кислоты во втором растворе, г – масса чистой кислоты в смеси.

при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a). Такой же вывод даёт схема (рис. 7б).

Но всё-таки при решении таких задач следует учитывать, что никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.

В задачах «на сплавы» как и в задачах «на смеси» идёт речь о соединении различных веществ, но отличие состоит в том, что эти вещества – металлы. Решим две такие задачи.

Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно можно составить уравнение (рис. 8):

Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:

х-60+75+65=250, откуда х=170 кг

В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Сначала составим таблицу (рис.9), в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию () руде?

нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до и после удаления примесей.

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .

Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125×200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .

По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение (рис. 10), по которому найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.

Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:

Мы решили вторую задачу путём составления таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу.

Вывод: задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.

В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились правильно анализировать задачи и решать их разными методами (путём составления уравнений и систем уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и арифметическим (старинным). Арифметические способы решения текстовых задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный алгебраический способ решения. В наше время предпочтение отдаётся алгебраическому способу.