Что такое ступени гаммы

Дэвид Брэйд >Ступени

Здравствуйте уважаемые читатели блога Гитаршкола.

Кто еще не подписан на Гитаршколу, подпишитесь прямо сейчас с помощью форму ниже. Так вы сможете получать гитарные уроки каждый день и быстро сможете научиться играть на гитаре.

Сейчас расскажу вам о ступенях в музыке. Всего ступеней 7. Обозначаются они римскими цифрами. Сама по себе ступень представляет собой звук определённого звукоряда (мажорного или минорного).

В зависимости от выбранного звукоряды, звучание гамм будет разное. Чтобы более детально изучить существующие звукоряды, я советую Вам почитать статьи про тональности, а именно мажорные тональности и минорные тональности.

Сначала запишу их, а потом разберёмся на примере:

II Верхний вводный тон

III Верхняя медианта

VII Нижний вводный тон.

Первая, четвёртая и пятая ступени являются устойчивыми, они так и называются, а все остальные называются добавочными.

Теперь на примере посмотрим:

Если мы возьмём другую гамму, уже другие ноты будут другими ступенями соответственно.

Я только учусь играть на гитаре. Пытаюсь во всем разобраться с вашей помощью. Пока все понятно, спасибо.

Попал сюда случайно, но как-то сразу обращает на себя внимание:
«Если мы возьмём другую гамму, уже другие ноты будут другими ступенями соответственно»
А какая гамма-то тут рассматривалась изначально?

На примере очевидно До мажор рассматривается.

Спасибо за статью! Давно бросила музыкальную школу, а теперь жалею и пытаюсь восстановить знания. Вот со ступенями уже разобралась. Ваш сайт очень хорошо помогает.

Вероятно, до-мажор… Сколько лет играю на разных гитарах и клавишах, но воткнуть теорию музыки нормально не могу =) Конечно, можно строить мелодии, вообще не зная никаких гармонических последовательностей. Но это а) долго б) трудно. Притом что возможности написания композиций при этом весьма ограничены.

Источник

§6 — Гамма. Ступени гаммы.

Ряд звуков лада от тоники до следующей тоники называется гам­мой. Гамма называется восходящей, когда звуки в ней постепенно повышаются,

и нисходящей, когда звуки в ней постепенно понижаются.

Звуки гаммы называются ступенями. Ступени гаммы (лада) обо­значаются римскими цифрами по порядку вверх, начиная от тоники.

В мажорной гамме 7 ступеней. Один и тот же звук в одной тональ­ности (гамме) является тоникой, а в другой — II ступенью, V ступенью и т. д. Так, например, звук до в тональности До-мажор является I сту­пенью, а в тональности Фа-мажор — V. Звук соль в тональности До-ма­жор является V ступенью, а в тональности Фа-мажор — II и т. д.

Некоторые ступени гаммы имеют, кроме цифрового обозначения, еще особые названия. I ступень гаммы называется тоникой и обозна­чается буквой Т. V ступень называется доминантной и обозначается буквой Д.

Тоника, как известно, является самой устойчивой ступенью лада. Относительно устойчивы III и V ступени. Остальные ступени — II, IV, VI, VII — являются неустойчивыми.

Далее в примерах устойчивые звуки обозначены белыми нотами, а неустойчивые — черными.

Один и тот же звук в одной тональности может быть устойчивым, а в другой неустойчивым. Например, звук фа в тональности Фа-мажор является тоникой — самым устойчивым звуком, а в тональности До-ма­жор он звучит неустойчиво и требует разрешения.

Источник

13 звуков и интервалов. Их восприятие и обозначение. Лады отклонения и модуляции

В предыдущей статье мы остановились на том, что собрали гамму из 7 звуков, но будет корректнее уже назвать её звукорядом, так как названия звуков там известны(про гаммы будет ниже).

Музыкальный звукоряд — компактное представление отрезка квинтовой цепи.
Для удобства транспонируем(перенесём) её на квинту вверх.

Справа вверху количество минорных и мажорных звуков. Большой буквой Т далее буду обозначать тонику

Так как у всех этих ладов звуковой состав(звукоряд) одинаковый они называются параллельными.

Тоника сама по себе не имеет окраску(0). Ладовую окраску, характерное звучание лада, формируют остальные звуки что приобретают смысл при наличии тоники и сопоставлении с ней. Как было сказано в предыдущей статье, если тоника находится внизу выбранной цепи квинт, то общее звучание у нас мажорное, если вверху то минорное. Так лидийский получается самый светлый лад, локрийский — темный, дорийский — средний, уравновешенный(3:3). Здесь уже можно видеть почему именно. В мажорных ладах преобладают количественно и качественно(по напряженности) звуки квинтами выше от тоники(обозначены как a), в минорных квинтами ниже(b).

В таблице выше звуки этого звукоряда слева направо по возрастанию мажорности отмечены номерами. Это абсолютная окраска звуков безотносительно тонике, проще говоря место в выбранном отрезке квинтовой цепи(это пригодится при анализе модуляций). Например F в этом звукоряде будет самым минорным, B самым мажорным звуком. Но при этом F в локрийском ладу(уже относительная тонике B окраска) будет 6 квинт вниз, а в мажоре(С) 1 квинта вниз, соответственно в первом F напряженнее и минорнее. Переходя между параллельными ладами мы переокрашиваем звуки а отрезок цепи квинт остается тот же. Каждый из ладов используют как средство выражения определенных эмоций. Цветом лада обозначил общее впечатление от его звучания(слева направо по убыванию мажорности).

C мажор C фригийский

Звукоряд пентатоники

Существуют и лады с меньшим количеством звуков например пентатоника. В ней всего 5 квинт поэтому звучит она спокойно и менее напряженно семизвучных. Здесь также любой из звуков можно принять за тонику что даст 5 видов пентатоники и каждая из них будет иметь свой характер, свою окраску:

Кто знаком с теорией мог заметить, что список тональностей со знаками при ключе обычно предоставляют по квинтам. Сами знаки, диезы и бемоли, нормативно ставят в квинтовом порядке и чем ближе здесь тональности тем ближе их родство(больше общих звуков):

К сожалению там указывают только параллельные минор и мажор а остальные лады опускают. Мы укажем все:

Звукоряды параллельных ладов

На квинтовом кругу лады с m это те, терция от тоники которых малая без m большая, o локрийский. Это одновременно и обозначение аккордов ладов.
Модуляция на квинту вниз с сохранением лада или с прыжком в его параллельные добавляет бемоль/бекар к крайнему мажорному звуку предыдущего а на квинту вверх — диез к крайнему минорному.
Если мы модулируем с тем же ладом в другую тонику, транспонируем, то возникает сопоставление тональностей. Относительно диезные тональности будут звучать светлее, бемольные темнее. Если прямого сопоставления нет, окраска будет взята относительно наиболее популярной тональности слушателя. Чем дальше отрезки цепи друг от друга тем напряженнее их сопоставление. Полную схему можно скачать здесь.

Существуют лады у которых цепь квинт на которой они основываются не непрерывна поэтому в них пропущены некоторые её звуки, что образует интервальный скачок(пропуск звеньев цепи). Такие лады называются искусственными — в противовес натуральным где цепь квинт непрерывна. Самый популярный из них — гармонический минор:

Гармонический минор Ля. Желтым и зеленым отмечены пропущенные звуки цепи

В нём квинта вниз от тоники, пропуск, 2 вниз, далее от тоники 2 вверх, ещё 2 вверх пропущены и звук что отстоит на 5 шагов вверх от тоники что в свёрнутом виде — малую секунду. Его ещё называют вводным тоном. В такой расширенной цепи должны появиться новые напряженные интервалы. Вот второй тритон 5a-1b(G#-D). А вот интервал похожий на малую терцию(энгармоничный ей), увеличенная секунда 5a-4b(G#-F). В этом интервале содержится целых 9 квинт! Ход на неё создаёт очень сильный перепад напряжения так как она соединяет крайний мажорный и минорный звук цепи этого лада что чувствуется в восточных песнях, где она часто используется[0:00-0:09].
Ещё появилась уменьшенная кварта вмещающая 8 квинт. Тоже напряженный интервал[0:10-0:18].

Видео с примерами на которое ссылаются таймкоды:

Итак у нас есть тритон, уменьшенная кварта и увеличенная секунда lin6, 8 и 9 соответственно. Эта цепь включает 9 квинт. Получается где-то здесь ещё один — интервал в 7 квинт. Построим их вниз от крайнего мажорного звука и увидим что в этом ладу он пропущен. Этот интервал называется увеличенная прима(G-G# в примере). Ещё он известен как хроматизм или хроматический полутон:

Ещё 3 новых интервала

Разберемся как образуются названия нот и интервалов.

Названия нот и интервалов

Современные названия нотам, что на письме обозначают звуки дали, когда в обиходе были 7 звучные церковные лады. Белые клавиши подряд назвали До-ре-ми-фа-соль-ля-си.
На письме более популярна английская буквенная нотация A-B-C-D-E-F-G где А-это ля и так далее.
В старых источниках вместо B можно встретить H. Это немецкая нотация, сейчас используется редко.

Здесь уже вырисовывается понятный семеричный музыкальный алфавит для будущей программы

А теперь разберёмся, что такое гамма.

Мажорная гамма от до

Уточнение разницы в понятиях

Перейдем к интервалам звукоряда и сразу, для наглядности, звукоряд на фортепиано для лучшего понимания его отличия от гаммы:

Звукоряд гаммы до мажор

Интервалы звукоряда называют по числу занимаемых ими нот(далее по порядку) латинскими словами.

Вот пары обращений. Будет проще если их запомнить.
Прима — октава
Кварта — квинта
Секунда— септима
Терция — секста

Полная таблица соответствия интервалов их квинтовым шагам(порядковый номер)

Также можно сравнить количество нот и тонов по этой таблице получив качество интервала(ещё способ будет в конце статьи):

Таблица интервалов

Малые интервалы становятся большими в ближайшем обращении, уменьшенные увеличенными и обратно. Большие и увеличенные всегда квинтового, малые и уменьшенные квартового строения. Кроме названий у разных например терций как и остальных нет ничего общего.

C секундой аналогично. С lin0 и 1 всё проще. Вот чистая кварта D-G. Отдаляем звуки на один хром полутона друг от друга — увеличенная кварта Db-G или D-G#. Приближаем — уменьшенная кварта D#-G или D-Gb. Надеюсь принцип понятен. Но в этом способе построения интервалов есть проблема практического характера.

Любому звуку слух придаёт значение относительно тоники. В бесконечной квинтовой цепи бесконечное кол-во звуков. Слух выбирает из них именно тот, что по квинтам ближе к тонике и наделяет его соответствующим смыслом. Поэтому при тонике E будут звуки C-D#(4б 5а) а не их далёкие энгармонизмы B# и Eb(8а 7б). Тоника выступает в качестве ориентира в бесконечной цепи квинт. Без неё невозможно использование напряженных интервалов далее lin6(он уже становится двусмысленным ) т.к. они будут приняты за более легкие энгармоничные им:

Пары энгармонически равных интервалов и их обращений

Как видим на клавиатуре при одной тонике у нас помещается 11 квинт а 12я даёт энгармонизм. Если мы возьмём один из этих звуков за тонику то у нас уже не получится 13 13 звучных ладов как можно подумать. К примеру при тонике Db, E будет от неё очень далеко мажорным— 9 квинт вверх и будет принят нашим слухом за ближайший энгармонизм Fb что всего на 3 квинты ниже:

C изменением 1 звука в этом примере изменились и интервалы — м2 стала ув1, б3 стала ум4. Этот приём переосмысления интервала на его энгармонизм назовём энгармоническая секвенция.

Теперь вернёмся к гамме.

Хроматическая гамма абстрактного 13 квинтового звукоряда(для наглядности приложена к до)

В этом случае для гаммы уже могут быть применены интервалы звукоряда:

И уже теперь, когда можно абстрагироваться от конкретного звукоряда, появляется возможность найти все интервалы отрезка из 13 квинт, связав их со ступенями:

О звуках за пределами области влияния тоники

В мажорных ладах вероятнее чем в минорных возникновение звуков за пределами 6 квинт вверх из-за большей близости отрезка диатоники к этим звукам(с минорными обратно). Но наиболее частым сценарием их появления всё же остается попадание в область влияния тоники, модуляция к ним. Этот вопрос подлежит дальнейшему изучению.

Лады следует понимать как отрезки этой 13 звучной системы с тоникой в центре. Лидийский и локрийский из-за своего крайнего положения звучат уже настолько неустойчиво для нашего слуха, что тоника норовит съехать по квинтам вверх и вниз соответственно в чём могут убедиться музыканты, пробовавшие сочинять в этих ладах. Слух легко воспринимает отклонения в лады, с общим отрезком квинтовой цепи — параллельные лады. Все отрезки цепи ладов можно характеризовать по их ширине что есть самый напряженный их интервал. Натуральные пентатоники lin4(б3), семизвучные lin6(ув4), гармонические минор/мажор lin9(ув2).

О теориях базирующихся на натуральном звукоряде

Доказательства того, что пифагоров строй как свёрнутая цепь квинт, является психологическим эталоном музыкального звукоряда:

Окраска звуков относительно тоники по квинтам.

Вытекающая из этого окраска ладов.

Порядок напряженности интервалов по количеству квинтовых шагов. Из-за этого акустически равные интервалы с одинаковым соотношением частот(энгармоничные например ув2 и м3) воспринимаются абсолютно по разному.

Взятие напряженных интервалов исполнителем (для современных европейцев >lin6) происходит с внутренним напряжением. Связано это с повышенной вычислительной сложностью по мере увеличения квинтовых шагов(собственно почему популярную мелодию строят на пентатонике).

Это знание даёт возможность осмысленно вводить новые звуки в 7 звучный лад, понимать какие интервалы при этом образуются, анализировать устройство других искусственные ладов и многое другое. В изучении звукоряда и интервалов может помочь такая информационная накладка для фортепиано:

Удобные тоники для освоения музыкальных звуков

Статья создана на основе видео с моего канала «Природа звука». Для тех кто хочет закрепить прочитанное и лучше разобраться в теории рекомендую к просмотру:

Источник

Пифагорейское математическое обоснование музыкальной гаммы

Глава из книги Александра Волошинова «Математика и искусство» (Москва: Просвещение, 1992)

Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.

Строго говоря, речь здесь пойдет о пифагоровом строе. Что же такое гамма и строй в музыке?

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней) некоторой музыкальной системы (лада), расположенных, начиная от основного звука (основного тона), в восходящем или нисходящем порядке. Название «гамма» происходит от греческой буквы Гγ (гамма), которой в средние века обозначали крайний нижний тон звукоряда, а затем и весь звукоряд.

Важнейшей характеристикой музыкального звука является его высота, представляющая отражение в сознании частоты колебания звучащего тела, например струны. Чем больше частота колебаний струны, тем «выше» представляется нам звук.

Каждый отдельно взятый звук не образует музыкальной системы и, если он не слишком громкий, не вызывает у нас особой реакции. Однако уже сочетание двух звуков в иных случаях получается приятным и благозвучным, а в других, наоборот «режет» ухо. Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, несогласованное — диссонансом. Ясно, что консонанс или диссонанс двух тонов определяются высотным расстоянием между этими тонами или интервалом.

Интервалом между двумя тонами назовем порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом I₂₁ двух тонов — отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего * :

(6.1)

* (В теории музыки понятия интервала и интервального коэффициента строго не разграничены. Следуя традиции, мы часто для краткости будем называть интервальный коэффициент интервалом. )

Рассмотрим теперь некоторую совокупность звуков, нажав, например, на фортепиано последовательно несколько клавиш. Скорее всего, у нас получится бессвязный набор звуков, как говорится, ни складу ни ладу. В других случаях звуки вроде бы подходят, ладятся между собой, но их совокупность покажется оборванной, незаконченной. Эту последовательность так и хочется продолжить до определенной ноты, которая в данной системе звуков кажется наиболее устойчивой, основной и называется тоникой. Итак, звуки в музыкальной системе связаны между собой определенными зависимостями, одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим — устойчивым.

* (Характер звучания лада, конечно, не определяется столь грубо и однозначно. Вопрос этот очень деликатный, и о нем мы еще поговорим в конце главы. )

Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от основного устойчивого звука — тоники, и имеющая определенный характер звучания — наклонение. История музыкальной культуры знает множество ладов, свойственных разным народам и разным временам. Древние греки знали с десяток ладов, а лады некоторых восточных стран и Индии чрезвычайно сложны, своеобразны и непривычны для европейского слуха. Наиболее распространенные современные лады состоят из семи основных ступеней, каждая из которых может повышаться или понижаться, что дает еще пять дополнительных звуков. Таким образом, диатоническая (7-ступенная) гамма лада превращается в хроматическую (12-звуковую). Первой ступенью лада является тоника. Законы строения лада — это целая наука, краеугольный камень музыкознания, а изучению этих законов многие ученые и композиторы посвятили всю свою жизнь.

Нас же будут в первую очередь интересовать математические закономерности, описывающие строение лада, т. е. музыкальный строй. Музыкальным строем называется математическое выражение определенной системы звуковысотных отношений. Помимо чисто теоретического интереса строй находит применение при настройке музыкальных инструментов с фиксированной высотой звуков, таких, как фортепиано или орган.

В заключение заметим, что наши эксперименты с нажатием клавиш на фортепиано могут закончиться самым редким и самым приятным феноменом, когда взятая система звуков будет не только принадлежать к какому-либо ладу, но и будет носить осмысленный характер. Такой художественно осмысленный последовательный ряд звуков разной высоты называется мелодией. Это как раз то, что мы так любим напевать в зависимости от нашего настроения — бодрого, грустного, веселого…

После такого кратчайшего экскурса в теоретическое музыкознание мы можем вернуться на берега солнечной Эллады во времена мудрого Пифагора. Попытаемся восстановить рассуждения Пифагора и его учеников при построении пифагорова строя, ибо именно этот строй определил на тысячелетия, если не навечно, все развитие музыкальной культуры, не только европейской, но и восточной. Сам Пифагор не оставил никаких письменных работ, да и наследие пифагорейцев представляется безнадежной грудой развалин, т. е. собранием случайно уцелевших фрагментов и более поздних цитат. Бесспорно, развалины эти прекрасны и поныне поражают воображение, как развалины знаменитого Парфенона, однако многое в этих обломках бесследно утеряно и о целом часто можно только догадываться. И все-таки…

Монохорд — однострунный — был одним из первых музыкальных инструментов древних греков. Это был длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой для деления струны на две отдельно звучащие части. На деревянном ящике под струной имелась шкала делений, позволявшая точно установить, какая часть струны звучит. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд покажется нам слишком примитивным, однако он был прекрасным физическим прибором и учебным пособием, на котором античные созерцатели постигали премудрости музыкальной грамоты.

* (Стратег — в древнегреческих городах-государствах военачальник, облеченный ши-кими военными и политическими полномочиями. )

«Законы Пифагора — Архита», на которых основывалась вся пифагорейская теория музыки, можно сформулировать так:

1- Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l:

(6.2)

здесь а — коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны (толщины, материала и т. п.).

2. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.

Эти интервалы — «совершенные консонансы», и их интервальные коэффициенты позже получили латинские названия * :

* (Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени звукоряда, составляющей интервал с исходной ступенью: октава — восьмая, квинта — пятая, кварта — четвертая и т. д.)

Треугольное число 10

Было замечено также, что наиболее полное слияние тонов дает октава (2/1), затем идут квинта (3/2) и кварта (4/3), т. е. чем меньше число п в отношении вида тем созвучнее интервал.

«Второй закон Пифагора — Архита» и сейчас кажется удивительным. Что же говорить о пифагорейцах, которых он просто привел в восторг! Здесь они нашли подтверждение всей своей философии: целые числа, более того, числа тетрактиса правят всем, даже музыкой! Пифагорейцы не заставили себя долго ждать и распространили закон музыкальных отношений всюду, где это возможно, в том числе и на строение вселенной.

Итак, если в качестве цены деления шкалы монохорда взять отрезок l, равный 1/12 длины струны монохорда l₁, то вместе со всей струной монохорда длины l₁ = 12l будут созвучны ее части длины l₂ = 6l — звук на октаву выше (l₂/l₁ = l/2), l₃ = 9l — звук на квинту выше (l₃/l₁ = 2/3) и l₄ = 8l — звук на кварту выше (l₄/l₁ = 3/4). Это созвучие и определяющие его числа 6, 8, 9, 12 назывались тетрада (четверка). Пифагорейцы считали, что тетрада — это «та гамма, по которой поют сирены». При настройке античной лиры, ставшей символом музыки, четыре ее струны обязательно настраивались по правилу тетрады, а настройка остальных струн зависела от лада, в котором предстояло на ней играть.

Но для античного мыслителя было мало установить численные значения изучаемых величин. Пифагорейский глаз и ум привыкли не только измерять, но и соизмерять, т. е. раскрывать внутренние связи между изучаемыми предметами, другими словами, устанавливать пропорциональные отношения. Архит был истинным пифагорейцем, и он установил пропорциональные отношения между основным совершенным консонансом — октавой, квинтой и квартой. Решение это было получено Архитом в связи с желанием разделить октаву на благозвучные интервалы. Вероятно, Архит исходил из того интуитивно очевидного предположения, что вместе с тонами f₁ и f₂ = 2f₁, дающими основной консонанс — октаву, должно дать консонанс и их среднее арифметическое f₃ = (f₁ + f₂)/2. Но тогда длина струны l₃ выразится через длины струн l₁ и l₂ согласно (6.2) следующим образом:

т. е. l₃ есть среднее гармоническое l₁ и l₂ (см. 5.1). Легко обнаружить и обратное: среднее гармоническое для частот f₁ и f₂ переходит в среднее арифметическое для длин l₁ и l₂:

Вспоминая, что мы вместе с Архитом приходим к важному выводу:

(6.3)

(6.4)

т. е. квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l₁ и октавы l₂, а кварта — среднее арифметическое l₁ и l₂.

Но произведение среднего арифметического на среднее гармоническое равно произведению исходных чисел:

(6.5)

(6.6)

т. е. октава есть произведение квинты на кварту.

(6.7)

которую называли «музыкальной»: октава так относится к квинте, как кварта к основному тону.

Деление струны монохорда (l₁) на части, образующие с ней совершенные консонансы: октаву (l₂), квинту (l₃) и кварту (l₄) и соотношения между ними. Интервалы, которые целая струна монохорда образует со своими частями, показаны красными стрелками

Легко получить еще два соотношения:

(6.8)

т. е. октава делится на два неравных консонансных интервала — квинту и кварту. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением. Таким образом, квинта есть обращение кварты и наоборот.

Наконец, найдем интервальный коэффициент между струнами квинты l₃ и кварты l₄, который вместе со своим интервалом называется тоном (не нужно путать тон-интервал и тон-звук данной высоты):

(6.9)

т. е. тон-интервал равен отношению квинты к кварте.

Заметим, что в отличие от обычного расстояния на прямой r₂₁ = х₂ — x₁ определяемого как разность координат конца и начала, интервальный коэффициент — высотное расстояние — определен как отношение составляющих его тонов Тогда три тона f₁ 3 /₂ и среднее гармоническое 4 /₃ и составляет из этих чисел музыкальную пропорцию (6.7):

Произведение средних членов этой пропорции равно данному числу 2, а их разность меньше, чем разность нулевого приближения 2 — 1 = 1. Следовательно, можно рассматривать как приближенные значения .

Проделав ту же процедуру над первыми приближениями, получим вторые приближения:

а затем — и третьи приближения:

Поскольку данную процедуру можно повторять неограниченно, то ясно, что число иррациональное. Попутно мы убеждаемся в справедливости пифагорейской мысли о том, что чем больше целые числа в отношении, тем точнее они выражают иррациональное число (см. с. 96). Наконец, вспоминая, что значение равно 1,414213. мы видим, что «музыкальный» метод Архита очень быстро сходится к точному значению и уже третье приближение дает пять верных знаков после запятой!

* (Интервал тона (полутона) в теории музыки принят в качестве единицы арифметического измерения интервалов, а сами интервалы тона и полутона в отличие от их интервальных коэффициентов называют большой и малой секундами.)

Ясно, что имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда:

дорийский: полутон — тон — тон;

фригийский: тон — полутон — тон;

лидийский: тон — тон — полутон.

Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу.

Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Мы уже выяснили, что октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки называли «гармония». Именно в античной теории музыки слово «гармония» обрело свое современное значение — согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получалось три:

* («Почти» потому, что в сравнении с натуральным минором (1 — 1/2 — 1 — 1 — 1/2 — 1 — 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской — повышена шестая.)

Пифагоров строй лидийской гаммы и его математические характеристики

Зная размеры интервалов, образующих, например, лидийскую гармонию и правила действия с ними, легко получить математическое выражение этой гаммы, т. е. построить ее пифагоров строй. Приняв частоту нижнего тона за единицу f₁ = 1, oнаходим первый тетрахорд: f₁ = 1, f₂ = 9 /₈, f₃ = 9 /₈* 9 /₈= 81 /₆₄, f₄= 4 /₃. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f₅ = 3 /₂f_l = 3 /₂, f₆ = 3 /₂f₂ = 27 /₁₆, f₇ = 3 /₂f₃ = ₂₄₃/₁₂₈, f₈ = 3 /₂f₄ = 2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

(6.14)

Это и есть канон Пифагора. По преданию, канон Пифагора впервые нашел практическое применение при настройке лиры легендарного Орфея.

Существовал и другой способ расположения тетрахордов в октаве. Античные теоретики «склеивали» тетрахорды так, что верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком второго. Тогда дополняющий до октавы тон помещали внизу или наверху такой системы. Если этот тон помещался внизу, то к названию тетрахорда прибавляли приставку гипо-(под-), а если наверху — приставку гипер- (над-). Так получалось еще 6 гармоний, среди которых две пары (гипо-фригийская — гиперлидийская и гиподорийская — гиперфригийская) оказывались совершенно одинаковыми. Отбросив две лишние гаммы, оставалось семь основных ладов. Эти лады имели огромное значение не только в античной музыке, но и через тысячу лет продолжали жить в средневековых ладах, а через две тысячи лет живут в современных натуральных ладах. Правда, средневековые монахи перепутали названия своих ладов в сравнении с античными, что часто порождает различные недоразумения. В таблице 1 собраны все основные античные лады, указан порядок следования в них интервалов, считая, что нижний звук расположен слева, а верхний — справа, приведены их древнегреческие и средневековые названия и указано их наклонение. Разделительный тон обведен кружком.

Таблица 1. Порядок следования интервалов тон (1) и полутон (1/2) в античных ладах (снизу вверх), древнегреческие и средневековые названия ладов и их наклонения

Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание. Каждый лад греки наполняли определенным этико-эстетическим содержанием, его «этосом», устанавливая ясную связь между музыкальными образами и состояниями души. Музыке приписывали магические и даже врачебные Функции, но особенное значение придавалось музыке как средству воспитания.

Пляшущая менада. Рельеф

Так, развивая в работе «Государство» теорию идеального государства, Платон исключительное значение придает воспитательной роли музыки. Примечательно, что здесь Платон перекликается с другим выдающимся мыслителем, жившим на другом конце Земли за двести лет до Платона,- древнекитайским философом Конфуцием (ок. 551-479 гг. до н. э.), сказавшим: «Если хотите знать, как страна управляется и какова ее нравственность — прислушайтесь к ее музыке». Платон для мирной жизни оставляет один строгий дорийский лад, считая его подлинно греческим, мужественным, деятельным. Для чрезвычайного события, каковым, например, является война, Платон оставляет фригийский лад как наиболее страстный. Лидийский же лад он называет печальным, погребальным, соответствующим женской, а не мужской психике и потому неуместным в идеальном государстве. Остальные лады как слишком утонченные Платон также отбрасывает, неукоснительно проводя в воспитании принцип строгости и простоты. Безусловно, это не означает, что Платон плохо разбирался в музыке. Напротив, в музыке он находил чистый и возвышенный, «платонический» идеал прекрасного, идеал, лишенный вычурности, размягченности, грубых и разнузданных страстей.

Аристотель в «Политике» судит о ладах, пожалуй, еще строже Платона, признавая только дорийский лад как лад, способный тренировать психику. Тем не менее Аристотель делает подробную «этическую» классификацию ладов, различая лады, которые вызывают психическое равновесие (дорийский), напротив, нарушают его (гипофригийский — «застольный» лад), возбуждают волю и стремление к действию (гиподорийский — лад греческой трагедии), вызывают восторженное и экстатическое состояние (фригийский, гиполидийский).

Впрочем, стоп! Нет ли здесь противоречия? Дорийский лад называется воинственным, а ведь это, по существу, наш минор! Поскольку именно дорийский лад считался истинно греческим, то получается, что основной характер греческой музыки печальный, минорный. Для греков же дорийский лад является выражением бодрости, жизнерадостности и даже воинственности. Вот как объясняет это кажущееся противоречие выдающийся современный знаток античности, последний философ русского «серебряного века» профессор А. Ф. Лосев (1893-1988) * : «Греческое искусство — неизменное жизнеут-верждение. Благородная сдержанность и даже печаль не оставляют грека и тогда, когда он веселится, когда он бодро строит жизнь, когда он воюет и погибает. „Веселые“ же лады так или иначе тяготеют к этому прекрасному, благородному, бодрому, важному и в то же время величественно-печальному ладу — дорийскому. Дорийский лад — это скульптурный стиль греческой музыки… Так задумчива, печальна и благородна вся греческая скульптура».

* (Судьба Алексея Федоровича Лосева счастлива и трагична. Счастлива, потому что до последнего дня своей 95-летней жизни Лосев сохранил поразительную работоспособность и успел завершить главный труд — восьмитомную «Историю античной эстетики». Трагична, потому что другие восемь томов его сочинений, написанных на полвека ранее (1927 — 1930), были преданы анафеме, а сам автор, будучи незаконно репрессирован, продолжил свои философские изыскания на строительстве Беломорско-Балтийского канала, откуда он писал: «Я закован в цепи, когда в душе бурлят непочатые и неистощимые силы». Одна из этих работ Лосева — «Музыка как предмет логики» — могла бы служить путеводной звездой к этой книге. И все-таки судьба А. Ф. Лосева счастлива, ибо рукописи не горят. Сегодня огромное философское наследие А. Ф. Лосева обретает свое второе рождение. )

Ну а лидийский лад? Ведь это в точности наш мажор, тогда как Апулей называет его грустным, а Платон — погребальным! Что ж, в оценке лидийского лада с Платоном не соглашался уже Аристотель, находя в лидийском ладу наивную детскость и прелесть и относя его к ладам, вызывающим психическое равновесие. С течением времени лидийский лад утратил плачевный характер, и античные теоретики стали чаще говорить о «сладкой лидийской мелодии» или о «разнообразной лидийской мелодии».

До сих пор мы ничего не говорили о «самом совершенном консонансе» — приме (унисоне) (l₂/l₁ = 1, т. е. две струны издают звук одинаковой высоты), ибо с точки зрения математики этот интервал не представляет интереса. Однако в оркестре этот простейший интервал играет огромную роль, придавая данному звуку объемность и яркость.

Следующий совершенный консонанс — октава. При одновременном звучании октава также дает впечатление объемности звука, а при последовательном — ощущение простора и широты. Прекрасной тому иллюстрацией является «Песня о Родине» композитора И. О. Дунаевского (1900-1955). В ее запеве («От Москвы до самых до окраин. ») дважды звучит восходящая октава (l₁/l₂ = 2), рисуя необъятные просторы нашей Родины. Здесь же после двух октав идет восходящая квинта. Квинта (l₁/l₂ = 3/2) также звучит широко, но более рельефно и динамично, чем октава.

Мелодии многих революционных песен и гимнов начинаются интервалом восходящей кварты (l₁/l₂ = 4/3), например «Интернационал», «Гимн Советского Союза», «Марсельеза». Здесь интервал кварты звучит решительно и активно, как призыв к действию.

Особый «этос» у интервала секунды: при одновременном звучании он диссонирует и неприятен, но при последовательном предыдущий звук как бы переливается в последующий, образуя естественное течение мелодии от одного звука к другому. В мелодии интервалы между двумя опорными звуками часто заполняются последовательными секундовыми интервалами. Например, песня «Во поле береза стояла» начинается интервалом квинты, заполненным последовательными секундами, что создает впечатление спокойного и величавого течения мелодии, как величавы и спокойны картины русской природы.

А наиболее неприятным и неблагозвучным является интервал тритон или полуоктава (l₁/l₂ = ). Своей неблагозвучностью этот интервал «подсказал» Архиту «музыкальное доказательство» иррациональности .

Источник