Что такое сумма точек экстремума
Связь производной с точками экстремума функции
В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).
\(\blacktriangleright\) \(\color
Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.
Пример: в точке \(A\) производная равна нулю и эта точка является точкой максимума; в точке \(C\) производная не “равна нулю”, а не существует, при этом точка \(C\) также является точкой максимума.
\(\blacktriangleright\) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Итоговый экзамен по математике для выпускников 11-х классов обязательно включает задания на поиск точек максимума и минимума функциональных зависимостей. Их решение проводится аналитически – методом дифференцирования. Применение производной для исследования функции на экстремум сокращает время анализа и позволяет представить общий вид графика зависимости еще до выполнения построений.
Обучающий ресурс «Школково» позволит учащимся освежить в памяти главные моменты темы – уточнить теоретические знания и отработать их в решении ряда задач. Наш подход к обучению в отношении поиска точек экстремума функции через производную в типовых заданиях ЕГЭ основан на принципе глубокой взаимосвязи теории и практики. Сначала ученик читает правила «Теоретической справки», потом смотрит видео с объяснениями учителя, а затем работает с реальным педагогом. В процессе просмотра предлагаемых на сайте вебинаров можно задать интересующие вопросы и получить помощь в решении конкретных задач.
В разделе «Каталог» имеются подборки тематических заданий на нахождение точек экстремума функции с помощью производной, а также нахождения производной угла наклона касательной. Каждый пример содержит готовое решение и правильный ответ, с которыми можно ознакомиться после окончания самостоятельной работы. «Конструктор» примерных вариантов ЕГЭ позволит провести исследование экстремумов функций с помощью производных в ходе пробного выполнения экзаменационной работы.
Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Точки экстремума, экстремумы функции
Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
После чего необходимо найти производную:
Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
Перейдем к вычислению минимумов:
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
Второй признак экстремума функции
Для начала находим область определения. Получаем, что
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
Третье достаточное условие экстремума
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.
Максимумы, минимумы и экстремумы функций
Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.
\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).
Понятие экстремума функции
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Необходимое условие экстремума
(Необходимое условие экстремума)
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Первое достаточное условие экстремума
(Первое достаточное условие экстремума)
Решение. Находим производную заданной функции:
Второе достаточное условие экстремума
(Второе достаточное условие экстремума)
Понятие экстремума функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Решение. Находим первую производную заданной функции:
Находим точки, в которых первая производная равна нулю:
Вторая производная заданной функции:
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).
Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.
Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.
Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать следующим образом:
Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:
Сократим данное уравнение на 4:
Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:
Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:
Это же уравнение может выглядеть так:
Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:
В этом случае х = 1
Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.
После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:
Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.
Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:
Подставляем приведенные в задании значения и получаем:
Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:
Упростим уравнение и получим:
Избавимся от минусов в уравнении:
Отсюда следует, что:
Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.
Запишем производную данной функции:
А затем приравняем ее к 0:
Это позволяет сделать вывод о том, что:
Получается, что, если x 3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.
x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.
Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.
Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.
Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:
Приравняем производную функции к 0:
f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.
sin2x= 3 2 не имеет решения
Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.
Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.
Связь производной с точками экстремума функции
В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).
\(\blacktriangleright\) \(\color
Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.
Пример: в точке \(A\) производная равна нулю и эта точка является точкой максимума; в точке \(C\) производная не “равна нулю”, а не существует, при этом точка \(C\) также является точкой максимума.
\(\blacktriangleright\) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
Итоговый экзамен по математике для выпускников 11-х классов обязательно включает задания на поиск точек максимума и минимума функциональных зависимостей. Их решение проводится аналитически – методом дифференцирования. Применение производной для исследования функции на экстремум сокращает время анализа и позволяет представить общий вид графика зависимости еще до выполнения построений.
Обучающий ресурс «Школково» позволит учащимся освежить в памяти главные моменты темы – уточнить теоретические знания и отработать их в решении ряда задач. Наш подход к обучению в отношении поиска точек экстремума функции через производную в типовых заданиях ЕГЭ основан на принципе глубокой взаимосвязи теории и практики. Сначала ученик читает правила «Теоретической справки», потом смотрит видео с объяснениями учителя, а затем работает с реальным педагогом. В процессе просмотра предлагаемых на сайте вебинаров можно задать интересующие вопросы и получить помощь в решении конкретных задач.
В разделе «Каталог» имеются подборки тематических заданий на нахождение точек экстремума функции с помощью производной, а также нахождения производной угла наклона касательной. Каждый пример содержит готовое решение и правильный ответ, с которыми можно ознакомиться после окончания самостоятельной работы. «Конструктор» примерных вариантов ЕГЭ позволит провести исследование экстремумов функций с помощью производных в ходе пробного выполнения экзаменационной работы.