Что такое верные числа
Что такое верные числа
Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними
1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях
Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.
Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.
Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.
Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.
Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.
Причинами появления погрешностей являются:
Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.
Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.
Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.
Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.
1.2 Приближенные числа
Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:
Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству
Верные знаки в приближенном числе
Если приближенное число записано без указания погрешности, то подразумевается, что значения всех разрядов известны точно – все знаки верные, а погрешность в этом случае не превышает половины единицы последнего десятичного разряда.
| Приближенное число | Число верных знаков | Погрешность не превышает |
| 1,23 | 0,005 | |
| 0,5 | ||
| 0,056 | 0,0005 | |
| 8,32´10 4 | 0,005´10 4 = 50 | |
| 1,50 | 0,005 |
Однако более грамотно записывать приближенные числа с указанием погрешности. Цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы низшего из этих цифр разряда.Цифры в последующих разрядах называют сомнительными.
| Приближенное число | Число верных знаков | Сомнительные цифры |
| 47,52±0,15 | 0,52 – разряды десятых и сотых | |
| 1,054± 0,008 | 0,054 – разряды сотых и тысячных | |
| 145±4 | 5 – разряд единиц | |
| 145±7 | 45 – разряды единиц и десятков | |
| 231,18±0,45 | 0,18 – разряды десятых и сотых |
Правила округления
При действиях с приближенными числами часто приходится отбрасывать лишние цифры (заведомо неверные) – округлять число. При этом соблюдают следующие правила.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 – оставшаяся n-я цифра не изменяется. Например: 5,764»5,76 или 423,1»423.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например:15,6»16 или 189»190.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например: 23,52» 24 или 0,3453»0,35.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять до четной цифры. Если оставшаяся n-я цифра четная – ее сохраняют, если нечетная – ее увеличивают на единицу. Примеры: 13,50»14; 275»280; 0,5450»0,54
Правила записи окончательного результата
Очень важно уметь правильно записать окончательный результат, не загромождая его лишними, заведомо неверными цифрами, но и не потерять необходимые знаки.
При записи окончательного результата в первую очередь округляют погрешность. Рекомендуемый* способ оценки погрешности предполагает ее округление до двух значащих цифр (если первая цифра меньше 5) или одной (если первая цифра больше 5). Погрешность обычно округляют в большую сторону. После этого сам полученный результат округляют до того же разряда, что и погрешность, то есть оставляют в нем два сомнительных знака. Полученное число и его погрешность приводят к одинаковому разрядному множителю и выносят этот множитель за скобки. Обязательно указать размерность.
Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры
Создатель теории приближенных вычислений А.Н.Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра – это ошибка, всякая лишняя цифра – это пол-ошибки».
Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то все его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.
Цифра десятичного разряда приближенного числа х приближения 
называется верной, если в том же десятичном разряде чисел 
и 
стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.
Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.
Пример 45.4.Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа 
.
Решение. Поскольку , запишем диапазон возможных значений 
в виде двойного неравенства: 
.
Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда – единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.
Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.
Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.
|
Ответ: 
. 
Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:
1. Оставлять в записи числа только верные цифры.
2. Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписывать.
4. Граница абсолютной погрешности числа, содержащего только верные цифры, равна единице последнего разряда
Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.
1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: = 3,45. В этом случае граница абсолютной погрешности 
.
Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.
Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 – две значащие цифры: 1 и 2. Число 3,00∙10 3 – три значащие цифры: 3, 0, 0.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Относительная погрешность. Верные цифры числа
Вычислительная математика. Погрешности. Решение задач
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
| х – а | = ∆ – абсолютная погрешность
Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью
– относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %
Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:
Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:
х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)
В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:
Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с
Какое измерение точнее?
– значит скорость света точнее
Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем
Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9
Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых
Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых
Скорость света в вакууме (в км/с):
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия
Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Верные значащие цифры. Округление чисел. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа
Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Верные значащие цифры. Известно, что любое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби
,
Например, в десятичной записи числа 2857,697
,
цена разряда, в котором стоит цифра 8, есть 10 3- 2 + 1 = 100; цифра 7 –
На практике обычно имеют дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби
.
Все сохраняемые десятичные знаки βi (i = 1, 2, 3,…, n) называются значащими цифрами числа b, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением β1). При позиционном отображении числа b в десятичной системе счисления нередко приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа, например
.
Такие нули (в приведенных примерах они подчеркнуты) не считаются значащими числами.
Определение 1. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его других цифр, не причисляются к значащим цифрам.
У Данилиной А.И. [1] дается несколько иное определение. Значащими цифрами называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.
Нули в конце числа – всегда значащие цифры (в противном случае их не пишут). Например, числа 0,00207 и 54,700 имеют соответственно 3 и 5 значащих цифр.
Определение 2. n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n – й значащей цифрой (αn), считая слева направо, т. е. выполняется неравенство
. (2)
Например, для точного числа A = 47,96 число a = 48,00 является приближением с тремя верными знаками, так как 
(здесь m =1; n = 3).
Если неравенство (2) не выполняется, то цифру αn называют сомнительной.
У Копченовой Н.В. [3] приводится более простое правило определения числа верных знаков приближенного числа.
Замечание. При выполнении неравенства (2) количество верных значащих цифр понимается в узком смысле. Наряду с таким понятием используется понятие верных значащих цифр в широком смысле.
Число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если абсолютная погрешность 
не превышает единицы десятичного разряда, в котором стоит n-я значащая цифра αn приближенного числа, т. е. выполняется неравенство
. (3)
Например, для точного числа A = 457,9678 число a = 457,967 является приближением с шестью верными знаками, так как 
(здесь m =2; n = 6).
Округление чисел. Часто возникает необходимость в округлении приближенного или точного числа a, т. е. в замене его числом a1 с меньшим количеством значащих цифр. При этом сохраняют одну или несколько цифр, считая слева направо, и отбрасывают все последующие. Число a1 выбирают так, чтобы погрешность округления 
была минимальной.
Наиболее употребительными являются следующие правила округления.
1. Если отбрасываемые цифры составляет число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.
2. Если отбрасываемые цифры составляет число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры не изменяются.
3. Если отбрасываемые цифры составляет число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).
Примеры. Округлить до трех цифр следующие числа:
а) a = 13,8658. Согласно правилу 1, получим a1 = 13,9;
б) a = 148,358. Согласно правилу 2, получим a1 = 148;
в) a = 6,86500. Согласно правилу 3, получим a1 = 6,86;
г) a = 347,50. Согласно правилу 3, получим a1 = 348;
Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. При этом руководствуются следующим практическим правилом:
При выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными.
Заметим, что абсолютная погрешность приближенного числа a1 после округления складывается из абсолютной погрешности числа a и погрешности округления
.
Связь между числом верных знаков и относительной погрешностью приближенного числа. Устанавливается на основе следующей теоремы (доказательство приведено в [2, с. 25-27]).
Теорема. Если положительное приближенное число a имеет n верных цифр в узком смысле, то относительная погрешность δ этого числа не превосходит 
, деленную на первую значащую цифру α1 данного числа,
т. е. 
.
Из этой теоремы вытекают два следствия.
Следствие 1. За предельную относительную погрешность числа a можно принять:
, (4)
Следствие 2. Если число a имеет больше двух верных цифр т. е. n ≥ 2, то справедлива формула
. (5)
Замечание. Если приближенное число a имеет n верных цифр в широком смысле, то оценки (4) и (5) следует увеличить в два раза.
Пример 1. Какова относительная погрешность, если вместо числа π взять число a = 3,14?
Решение. В данном примере α1 = 3 и n = 3. Следовательно
.
Пример 2. Сколько десятичных знаков взять при вычислении 
с относительной погрешностью 0,1%?
Вышеприведенная теорема дает возможность по числу верных знаков приближенного числа
(6)
определить его относительную погрешность δ.
Из формулы относительной погрешности 
имеем
. (7)
Учитывая старший десятичный разряд Δa, легко установить количество верных знаков данного приближенного числа a. В частности, если
,
то из формул (6) и (7) находим
,
т. е. число a имеет n верных цифр в широком смысле. Аналогично, если
,
То число a имеет n верных цифр в узком смысле.
Пример 3. Приближенное число a = 24253 имеет относительную точность 1%. Сколько в нем верных цифр?
3. Погрешности суммы и разности. Потеря точности при вычитании близких чисел [1]
Погрешность суммы. Рассмотрим точные числа A1, A2,…, An и их приближенные значения a1, a2,…, an. Пусть 
— сумма всех точных чисел, а 
— сумма их приближенных значений и известны абсолютные погрешности 
, 
,…, 
всех приближенных чисел. Необходимо оценить абсолютную погрешность суммы приближенных чисел.
.
Переходя к абсолютным величинам правой и левой частей записанного выражения и используя свойство абсолютных величин, получим
, т. е.
. (8)
Следствие. За абсолютную погрешность алгебраической суммы приближенных чисел можно принять сумму абсолютных погрешностей этих чисел
. (9)
Из последней формулы следует, абсолютная погрешность суммы не может быть меньше абсолютной погрешности наименее точного слагаемого. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда при сложении чисел различной абсолютной точности поступают следующим образом:
1) выделяют число (или числа), имеющее наибольшую абсолютную погрешность;
2) остальные числа округляют по образцу выделенных, сохраняя один запасной десятичный знак;
3) производят сложение чисел, учитывая все сохраненных знаки;
4) полученный результат округляют на один знак.
Пример. Найти сумму приближенных чисел: 345,4; 0,348; 0,1834; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры (в широком смысле).
Решение. 1) Выделяем числа наименьшей точности 345, 4 и 235,2, абсолютная погрешность которых может достигать 0,1.
2) Округляем остальные числа с точностью до 0,01: 0,35; 0,18; …;
3) Выполняя суммирование всех полученных чисел, получим
Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, находим приближенное значение суммы 602,2.
Полная погрешность Δ результата складывается из трех слагаемых:
1) суммы погрешностей исходных данных
Дата добавления: 2019-01-14 ; просмотров: 1059 ; Мы поможем в написании вашей работы!