Что такое выпуклые многоугольники 8 класс

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

Выпуклый многоугольник

Что такое выпуклый многоугольник? В чём отличие выпуклого многоугольника от многоугольника, который не является выпуклым?

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий в одной полуплоскости от каждой прямой, содержащей его сторону.

То есть ни одна из прямых, проходящих через две соседние вершины выпуклого многоугольника, не разрезает этот многоугольник на две части.

1) ABCDEF — выпуклый шестиугольник, так как он лежит в одной полуплоскости относительно каждой из прямых AB, BC, CD, DE и EF.

2) MNKFEL — не выпуклый шестиугольник,

Он не лежит в одной полуплоскости относительно прямых KF и FE.

Не выпуклый многоугольник можно разбить на конечное число выпуклых многоугольников. Поэтому в курсе геометрии средней школы изучают только выпуклые многоугольники.

Важнейшие виды выпуклых многоугольников

Источник

Урок геометрии на тему «Многоугольники». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение.

Оборудование: компьютер, проектор, экран

Ход урока

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков A₁ A₂; A₂ A₃;…; A_n-1 A_n (рис. 1–3). Точки A₁ и A_n могут быть различными, а могут совпадать. Соседние отрезки не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной, а отрезки, из которых она состоит – звеньями.

— Как вы думаете, на каком рисунке изображена замкнутая ломаная?

— На каких рисунках ломаная простая?

Ломаная называется простой, если ее несоседние звенья не имеют общих точек.

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.

Любой многоугольник разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю области.

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

— Какие из фигур, изображенных на рисунке, являются многоугольниками?

— Изобразите многоугольники в тетради и отметьте точки во внешней и внутренней областях многоугольника.

2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Выпуклый многоугольник Невыпуклый многоугольник

— Назовите номера выпуклых многоугольников

— Перечертите любой выпуклый многоугольник в тетрадь и обозначьте его вершины

Задание. Начертите выпуклый восьмиугольник и проведите все его диагонали из какой-нибудь вершины. Сколько при этом получилось треугольников? Найдите сумму углов восьмиугольника.

Получилось шесть треугольников, то есть

— Как вы думаете, как вычислить сумму углов выпуклого n-угольника?

—

Задача. Можно ли выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников?

Решение. — сумма углов стоугольника

— сумма углов треугольника

Ответ: выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников нельзя.

Этот материал учащиеся осваивают самостоятельно (п. 41 учебника).

4. Если есть время, то можно предложить учащимся выполнить упражнения 364(а); 365 (а; б) учебника.

Домашнее задание. П. 39–41. № 363; 364(б); 365(в)

Источник

8 класс. Геометрия. Многоугольники.

8 класс. Геометрия. Многоугольники.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Мно­го­уголь­ни­ки

1. Понятие «многоугольник»

В курсе гео­мет­рии мы изу­ча­ем свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур и уже рас­смот­ре­ли про­стей­шие из них: тре­уголь­ни­ки и окруж­но­сти. При этом мы об­суж­да­ли и кон­крет­ные част­ные слу­чаи этих фигур, такие как пря­мо­уголь­ные, рав­но­бед­рен­ные и пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Те­перь при­шло время по­го­во­рить о более общих и слож­ных фи­гу­рах – мно­го­уголь­ни­ках.

С част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков мы уже зна­ко­мы – это тре­уголь­ник (см. Рис. 1).

В самом на­зва­нии уже под­чер­ки­ва­ет­ся, что это фи­гу­ра, у ко­то­рой три угла. Сле­до­ва­тель­но, в мно­го­уголь­ни­ке их может быть много, т.е. боль­ше, чем три. На­при­мер, изоб­ра­зим пя­ти­уголь­ник (см. Рис. 2), т.е. фи­гу­ру с пятью уг­ла­ми.

Рис. 2. Пя­ти­уголь­ник. Вы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Опре­де­ле­ние.Мно­го­уголь­ник – фи­гу­ра, со­сто­я­щая из несколь­ких точек (боль­ше двух) и со­от­вет­ству­ю­ще­го ко­ли­че­ства от­рез­ков, ко­то­рые их по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют. Эти точки на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, а от­рез­ки – сто­ро­на­ми. При этом ни­ка­кие две смеж­ные сто­ро­ны не лежат на одной пря­мой и ни­ка­кие две несмеж­ные сто­ро­ны не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Опре­де­ле­ние.Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник – это вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны и углы равны.

Любой мно­го­уголь­ник раз­де­ля­ет плос­кость на две об­ла­сти: внут­рен­нюю и внеш­нюю. Внут­рен­нюю об­ласть также от­но­сят кмно­го­уголь­ни­ку.

Иными сло­ва­ми, на­при­мер, когда го­во­рят о пя­ти­уголь­ни­ке , имеют в виду и всю его внут­рен­нюю об­ласть, и гра­ни­цу. А ко внут­рен­ней об­ла­сти от­но­сят­ся и все точки, ко­то­рые лежат внут­ри мно­го­уголь­ни­ка, т.е. точка тоже от­но­сит­ся к пя­ти­уголь­ни­ку (см. Рис. 2).

Мно­го­уголь­ни­ки еще ино­гда на­зы­ва­ют n-уголь­ни­ка­ми, чтобы под­черк­нуть, что рас­смат­ри­ва­ет­ся общий слу­чай на­ли­чия ка­ко­го-то неиз­вест­но­го ко­ли­че­ства углов (n штук).

Опре­де­ле­ние. Пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка – сумма длин сто­рон мно­го­уголь­ни­ка.

Те­перь надо по­зна­ко­мить­ся с ви­да­ми мно­го­уголь­ни­ков. Они де­лят­ся на вы­пук­лые и невы­пук­лые. На­при­мер, мно­го­уголь­ник, изоб­ра­жен­ный на Рис. 2, яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а на Рис. 3 невы­пук­лым.

Рис. 3. Невы­пук­лый мно­го­уголь­ник

2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Опре­де­ле­ние 1. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при про­ве­де­нии пря­мой через любую из его сто­рон весь мно­го­уголь­ник лежит толь­ко по одну сто­ро­ну от этой пря­мой. Невы­пук­лы­ми яв­ля­ют­ся все осталь­ные мно­го­уголь­ни­ки.

Легко пред­ста­вить, что при про­дле­нии любой сто­ро­ны пя­ти­уголь­ни­ка на Рис. 2 он весь ока­жет­ся по одну сто­ро­ну от этой пря­мой, т.е. он вы­пук­лый. А вот при про­ве­де­нии пря­мой через в че­ты­рех­уголь­ни­ке на Рис. 3 мы уже видим, что она раз­де­ля­ет его на две части, т.е. он невы­пук­лый.

Но су­ще­ству­ет и дру­гое опре­де­ле­ние вы­пук­ло­сти мно­го­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние 2. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при вы­бо­ре любых двух его внут­рен­них точек и при со­еди­не­нии их от­рез­ком все точки от­рез­ка яв­ля­ют­ся также внут­рен­ни­ми точ­ка­ми мно­го­уголь­ни­ка.

Де­мон­стра­цию ис­поль­зо­ва­ния этого опре­де­ле­ния можно уви­деть на при­ме­ре по­стро­е­ния от­рез­ков на Рис. 2 и 3.

Опре­де­ле­ние. Диа­го­на­лью мно­го­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся любой от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две не со­сед­ние его вер­ши­ны.

3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника

Для опи­са­ния свойств мно­го­уголь­ни­ков су­ще­ству­ют две важ­ней­шие тео­ре­мы об их углах: тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка и тео­ре­ма о сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка. Рас­смот­рим их.

Тео­ре­ма. О сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон).

До­ка­за­тель­ство 1. Изоб­ра­зим на Рис. 4 вы­пук­лый n-уголь­ник.

Рис. 4. Вы­пук­лый n-уголь­ник

Из вер­ши­ны про­ве­дем все воз­мож­ные диа­го­на­ли. Они делят n-уголь­ник на тре­уголь­ни­ка, т.к. каж­дая из сто­рон мно­го­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет тре­уголь­ник, кроме сто­рон, при­ле­жа­щих к вер­шине . Легко ви­деть по ри­сун­ку, что сумма углов всех этих тре­уголь­ни­ков как раз будет равна сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка. По­сколь­ку сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка – , то сумма внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­тель­ство 2. Воз­мож­но и дру­гое до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы. Изоб­ра­зим ана­ло­гич­ный n-уголь­ник на Рис. 5 и со­еди­ним любую его внут­рен­нюю точку со всеми вер­ши­на­ми.

Мы по­лу­чи­ли раз­би­е­ние n-уголь­ни­ка на n тре­уголь­ни­ков (сколь­ко сто­рон, столь­ко и тре­уголь­ни­ков). Сумма всех их углов равна сумме внут­рен­них углов мно­го­уголь­ни­ка и сумме углов при внут­рен­ней точке, а это угол . Имеем:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

По до­ка­зан­ной тео­ре­ме видно, что сумма углов n-уголь­ни­ка за­ви­сит от ко­ли­че­ства его сто­рон (от n). На­при­мер, в тре­уголь­ни­ке , а сумма углов . В че­ты­рех­уголь­ни­ке , а сумма углов – и т.д.

4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника

Тео­ре­ма. О сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон), а , …, – внеш­ние углы.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим вы­пук­лый n-уголь­ник на Рис. 6 и обо­зна­чим его внут­рен­ние и внеш­ние углы.

Рис. 6. Вы­пук­лый n-уголь­ник с обо­зна­чен­ны­ми внеш­ни­ми уг­ла­ми

Т.к. внеш­ний угол свя­зан со внут­рен­ним как смеж­ные, то и ана­ло­гич­но для осталь­ных внеш­них углов. Тогда:

.

В ходе пре­об­ра­зо­ва­ний мы вос­поль­зо­ва­лись уже до­ка­зан­ной тео­ре­мой о сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка .

Из до­ка­зан­ной тео­ре­мы сле­ду­ет ин­те­рес­ный факт, что сумма внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равна от ко­ли­че­ства его углов (сто­рон). Кста­ти, в от­ли­чие от суммы внут­рен­них углов.

Далее мы более по­дроб­но будем ра­бо­тать с част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков – че­ты­рех­уголь­ни­ка­ми. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с такой фи­гу­рой, как па­рал­ле­ло­грамм, и об­су­дим его свой­ства.

Источник