Что такое бесконечная периодическая десятичная дробь
Математика. 6 класс
Конспект урока
Бесконечные периодические десятичные дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятие бесконечной периодической десятичной дроби;
– преобразование обыкновенных дробей в бесконечные периодические дроби;
– действия с периодическими дробями.
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Любое рациональное число p/q можно разложить в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Обыкновенную дробь можно разложить в конечную десятичную, если в знаменателе нет простых множителей, кроме 2 и 5.
Вы уже знаете, как это сделать.
1. Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы привести к знаменателю 10, 100, 1000 и т. д.;
2. Выполнить деление числителя на знаменатель.
Пример 1. Умножили числитель и знаменатель на 2.
Пример 2. Сначала сократили дробь.
Пример 3. Выполнили деление 3 на 125.
Рассмотрим примеры, когда привести к знаменателю 10, 100 и т. д. нельзя. Возможно только деление числителя на знаменатель.
Заметим, что при делении получаются повторяющиеся остатки и, соответственно, повторяющиеся цифры в частном. Из-за этого процесс деления бесконечен. Отсюда происходит бесконечная десятичная дробь.
Рассмотрим другие примеры.
Повторяющиеся цифры 3; 27; 6 называют периодом дроби. Бесконечные десятичные дроби 0,333…; 0,2727…; 0,1666… называют периодическими.
«Нуль целых и три в периоде»
«Нуль целых и 27 в периоде»
«Нуль целых одна десятая и шесть в периоде»
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр (период дроби).
Отметим, что любое рациональное число p/q разлагается в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Замечание. При делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает.
Далее рассмотрим, как выполняются действия с периодическими дробями?
Запишем дробь 1/3 в виде бесконечной периодической дроби 0,333…
Запишем дробь 0,3 в следующем виде 0,300… Приписывая бесконечно много нулей, мы превращаем конечную дробь в равную ей бесконечную периодическую дробь с периодом 0.
Теперь можем сравнить: 0,333… > 0,300…
2. Разложите обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь, округлите до десятых.
Разбор заданий тренировочного модуля
Представьте в виде периодической дроби. В ответе укажите её период.
Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(3); 0,(5); 0,(6).
Задание 3 ⃰ (повышенного уровня сложности)
Задача: периодическую дробь 0,(1) записать в виде обыкновенной дроби.
Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби
Содержание
Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби
В десятичной записи конечной десятичной дроби после запятой стоит конечное число десятичных знаков.
В десятичной записи бесконечной десятичной дроби после запятой стоит бесконечное число десятичных знаков.
Бесконечные десятичные дроби бывают периодическими и непериодическими.
Повторяющаяся группа цифр называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби.
Для обозначения периода десятичной дроби используют круглые скобки.
Бесконечная десятичная дробь, не являющаяся периодической, называется непериодической.
Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь
Разберем алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь на примере решений следующих задач.
ОТВЕТ : 
.
ОТВЕТ : 
.
Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
Наши учебные пособия для школьников
При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
Понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Примеры бесконечной периодической десятичной дроби.
Представление рационального числа в видебесконечной периодической десятичной дроби.
Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Любое положительное рациональное число
преобразуется в положительную дробь.
Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».
Если в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На прошлом уроке мы рассмотрели условия, при которых обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.
А как поступать, когда невозможно представить её в таком виде?
Введём понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.
Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью.
Знаменатель 9 = 3 3
5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком.
Разделим числитель 5 на знаменатель 9.
Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…,
точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз.
Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Читают: « ноль целых и пять в периоде».
Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5).
Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде.
Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5).
Рассмотрим ещё пример.
Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим.
Делим уголком 4 на 15.
читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде».
В примерах мы увидели разные периодические дроби.
Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные».
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».
Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».
Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q
Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь.
Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.
45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0)
0,673 = 0,673000 = 0,673(0).
Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь.
Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q.
Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q
Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование.
Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5
В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13.
Будем делить уголком 15 на 13.
Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:
Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью.
Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной.
Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство
Умножим это равенство на 10, получим
Вычтем из равенства (2) равенство (1).
Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.)
Разбор заданий тренировочного модуля.
Подберите обыкновенную дробь, равную периодической десятичной 0,(14).
Варианты ответов: 14/99, 14/98 14/90
Обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство:
Умножим это равенство на 100, получим
Вычтем из равенства (2) равенство (1).
Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби 769/4950
Решение: Для решения задачи нужно выполнить деление уголком:
Математика. 6 класс
Конспект урока
Бесконечные периодические десятичные дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятие бесконечной периодической десятичной дроби;
– преобразование обыкновенных дробей в бесконечные периодические дроби;
– действия с периодическими дробями.
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Любое рациональное число p/q можно разложить в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Обыкновенную дробь можно разложить в конечную десятичную, если в знаменателе нет простых множителей, кроме 2 и 5.
Вы уже знаете, как это сделать.
1. Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы привести к знаменателю 10, 100, 1000 и т. д.;
2. Выполнить деление числителя на знаменатель.
Пример 1. Умножили числитель и знаменатель на 2.
Пример 2. Сначала сократили дробь.
Пример 3. Выполнили деление 3 на 125.
Рассмотрим примеры, когда привести к знаменателю 10, 100 и т. д. нельзя. Возможно только деление числителя на знаменатель.
Заметим, что при делении получаются повторяющиеся остатки и, соответственно, повторяющиеся цифры в частном. Из-за этого процесс деления бесконечен. Отсюда происходит бесконечная десятичная дробь.
Рассмотрим другие примеры.
Повторяющиеся цифры 3; 27; 6 называют периодом дроби. Бесконечные десятичные дроби 0,333…; 0,2727…; 0,1666… называют периодическими.
«Нуль целых и три в периоде»
«Нуль целых и 27 в периоде»
«Нуль целых одна десятая и шесть в периоде»
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр (период дроби).
Отметим, что любое рациональное число p/q разлагается в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Замечание. При делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает.
Далее рассмотрим, как выполняются действия с периодическими дробями?
Запишем дробь 1/3 в виде бесконечной периодической дроби 0,333…
Запишем дробь 0,3 в следующем виде 0,300… Приписывая бесконечно много нулей, мы превращаем конечную дробь в равную ей бесконечную периодическую дробь с периодом 0.
Теперь можем сравнить: 0,333… > 0,300…
2. Разложите обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь, округлите до десятых.
Разбор заданий тренировочного модуля
Представьте в виде периодической дроби. В ответе укажите её период.
Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(3); 0,(5); 0,(6).
Задание 3 ⃰ (повышенного уровня сложности)
Задача: периодическую дробь 0,(1) записать в виде обыкновенной дроби.
Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями
Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.
Что такое десятичная запись дробных чисел
Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.
Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.
Определение десятичных дробей
Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:
Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.
О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.
Как правильно читать десятичные дроби
Что такое разряды в десятичных дробях
Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:
Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.
Что такое конечные десятичные дроби
Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:
Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.
Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби
Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.
Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.
В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.
Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.
Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.
Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.
Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.
К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.
Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.
Основные действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.
Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.
Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.
Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.
Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.
Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.
Положение десятичных дробей на оси координат
Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.
Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.
Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.
Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.