Что такое буквенное выражение 5 класс математика
Урок 15 Бесплатно Числовые и буквенные выражения
Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.
Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.
Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.
Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.
Математические выражения делят на числовые и буквенные.
На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.
Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.
Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.
Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.
Числовые выражения
Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.
В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.
Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.
Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.
Рассмотрим примеры числовых выражений.
Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.
Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.
Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.
Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.
Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.
Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.
Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.
Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше « 4 не является числовым выражением, это неравенство.
Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.
Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.
У числового выражения значение только одно.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Порядок выполнения математических операций очень важен для получения верного значения числового выражения.
В математике порядок выполнения действий в выражении определяют сами арифметические операции и скобки, содержащиеся в данном выражении.
Таким образом, если в числовом выражении стоят скобки, то математическая операция, стоящая в них, выполняется в первую очередь.
Следующими выполняются последовательно слева направо операции умножения и деления, если такие присутствуют в выражении.
Последними выполняются действия сложения и вычитания так же в порядке их следования друг за другом слева направо.
Более подробно порядок выполнения арифметических операций будет рассмотрен несколькими уроками позже.
Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.
Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.
Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».
Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».
Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».
Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.
Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.
Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.
Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.
Чаще всего используют такие формы записи решения задач:
1. По действиям с пояснениями.
При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Запишем кратко условие задачи:
Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.
Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.
Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.
Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.
Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.
Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).
1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.
Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.
Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.
2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.
Составим числовое выражение для решения нашей задачи.
Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:
12 + (12 + 2).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Попробуем решить вторую задачу.
Задача 2.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.
Остальные условия задачи остались прежние.
Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.
Таким образом, имеем следующие данные:
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:
12 + (12 + 5).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 29 кг.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Буквенные выражения
Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.
Тогда получим следующую задачу:
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.
Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».
По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).
Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.
Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.
Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.
Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.
Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.
1. Буквенные выражения используют для математических доказательств, для описания свойств, правил, законов.
Например, переместительное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + (b + c) = (a + b) + c.
Сочетательное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + b = b + а.
2. Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений, называется формулой.
Формула подобно универсальной заготовке позволяет описывать различные процессы, действия, состояния и др.
Формула устанавливает взаимосвязь между величинами.
Например, формула для определения периметра треугольника, записанная с помощью буквенных выражений, выглядит так: P = a + b + c, где
P— это периметр треугольника
а, b, c— это стороны треугольника.
В данном случае буквенная запись позволяет определить периметр (Р) любого треугольника, независимо от размеров его сторон.
3. Умение составлять буквенные выражения и находить их значения при заданном значении переменной используют при решение различных задач
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Числовые и буквенные выражения
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Числовые выражения: что это
Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.
Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.
Например:
Это простые числовые выражения.
Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:
Это сложные числовые выражения.
Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».
Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.
Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.
11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.
При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:
Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)
Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.
Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.
Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2
14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2
Буквенные выражения
Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.
В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.
Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.
Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.
У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:
Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.
Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).
Выражения с переменными
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.
Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.
Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.
5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a
Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.
Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.
Задание раз.
Задание два.
Составьте буквенное выражение:
Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.
Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.
Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?
150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.
Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.
Числовые и буквенные выражения. Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
Например, это НЕ математические выражения:
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Велосипедист едет со скоростью \(v_<1>\) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_=3\cdot v_<1>\);
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_
= v_<1>-15\).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.3 / 5. Количество оценок: 8
Числовые и буквенные выражения
Что такое числовые и буквенные выражения
Математические выражения записывают с помощью различных символов: чисел, букв и арифметических знаков.
Выражения могут быть простыми — записаны с использованием одного арифметического знака. Решаются в одно действия.
Сложные выражения содержат несколько действий: например, два простых выражения объединяют знаком арифметического действия в одно.
Числовыми называют такие выражения, в которых содержаться только числа и математические знаки действий.
Примеры числовых выражений:
Если в выражении содержаться букв, то такое выражение называют буквенным.
Вместо буквы подставляют числа. Такие числа называют значениями этой буквы.
Чтобы найти значение буквенного выражения, нужно найти значения букв и выполнить необходимые действия.
Примеры буквенных выражений:
Числовые и буквенные выражения переводят речь на математический язык — язык цифр, знаков и других символов.
Слово буква можно заменить термином переменная. Тогда буквенное выражение станет выражением с переменной.
Переменная — это буква в математическом выражении.
Значение переменной — значение буквы — число в выражении, которое подставляют вместо переменной — вместо буквы.
Математическая запись выражения только из букв и арифметических знаков называется формулой.
Чем они отличаются
Числовые выражения отличаются от буквенных тем, что в числовых выражениях содержаться только числа. В буквенных выражениях помимо букв могут содержаться числа.
Числовые выражения:
Буквенные выражения:
В числовом выражении для вычисления значения соблюдают строгий порядок действий:
Числовые выражения можно сравнить. Для этого находят значения каждого из выражений и сравнивают полученные результаты.
Сравните выражения: 14-5 и 34+1.
Сначала находят значения выражения 14-5. Оно равно 9.
Потом вычисляют 34+1. Получают 35.
И сравнивают полученные значения: 9 и 35.
Для вычисления значения буквенного выражения придерживаются алгоритма:
Преобразование числовых и буквенных выражений
Числовые и буквенные выражения можно преобразовывать.
Расставляем порядок действий.
Третье действие: складываем результаты первого и второго действий.
Краткое решение в одну строку: ( 19 + 20 ) + ( 34 + 21 ) = 39 + 55 = 94
Находим значение выражения по действиям.
Первое действие: сумма в первых скобках.
Второе действие — разность в скобках.
Третье действие: из результата первого действия вычитаем результат второго действия.
Запишите выражение: разность 7 и a.
Разность обозначаем минусом. Получаем, что 7 — уменьшаемое, а — вычитаемое.
Получаем выражение: 7-a.
Найдите значение выражения (c-25)+47, если c=73.
c=73, значит, в выражение вместо буквы c подставляем 73.
И считаем: (73-25)+47=95.
Вся цепочка решения: (c-25)+47=(73-25)+47=95.
Вычислите значение выражения a-(26+b), если a=69, b=17.
Если a=69, значит, вместо буквы a в выражение подставляем 69.
Если b=17, то вместо b подставляем 17.
Получаем: a-(26+b)=69-(26+17).
Вся цепочка решения: a-(26+b)=69-(26+17)=69-43=26.
Решите уравнение: x+47=94.
Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни. Или доказать, что корней нет. Получить при этом тождественно равные выражения.
В этом выражении нужно найти значение, которое принимает буква x.
x в этом уравнении — неизвестное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы — 94 — вычесть известное слагаемое — 47.
Чтобы проверить, верно ли нашли корень уравнения, подставим в него значение буквы.
Получим 47+47=94 — верное равенство или тождество (верное числовое равенство), значит, x=47 — корень уравнения.
Задания для самостоятельной работы
Задание из курса математики 5 класса.
Расставляем порядок действий.
Первое действие — деление: 45 делим на 5.
Второе действие — умножение: 35 умножаем на 2.
Третье действие: к результату первого действия прибавляем результат второго действия.
Вначале находим частное: 325 делим на 5.
Потом находим произведение: 34 умножаем на 3.
И вычисляем сумму: к результату первого действия прибавляем результат второго действия.
Маше b лет, а Свете на 3 года старше Маши. Сколько лет Свете? Составьте выражение и найдите его значение при b=7.
Запишем краткое условие задачи.
Если Света старше Маши, тогда возраст Светы (b+3) лет.
Найдем возраст Светы, если Маше 7 лет.
Вместо буквы b в выражение b+3 подставим 7.
Значит, Свете 10 лет.
Решите уравнение: 147-n=49.
Решить уравнение = найти его корни или доказать, что корней нет.
Нам дана разность. Неизвестный компонент обозначен буквой n.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит из 147 нужно вычесть 49.
Считаем: n=147-49; n=98.
Чтобы проверить правильность решения, в исходное уравнения вместо буквы n подставим 98.
Проверка: 147-98=49 — верное равенство. Значит, n=98 — корень уравнения.
Решите карточку 5 класса.
У Васи a карандашей, а у Димы на m карандашей меньше. Сколько карандашей у обоих мальчиков? Составьте буквенное выражение и найдите его значение, если a=12, m=7.
Составим краткое условие задачи.
| Карандаши | |
| Вася | a |
| Дима | на m меньше, чем у Васи |
Если у Димы на m карандашей меньше, чем у Васи, то у Димы a-m карандашей.
| Карандаши | |
| Вася | a |
| Дима | a-m |
Чтобы найти, сколько карандашей у мальчиков, нужно сложить количество карандашей у Димы и Васи. Получим буквенное выражение: a+(a-m).
Теперь вместо буквы a подставим в выражение 12, а вместо буквы m подставим 7.
Получим числовое выражение: 12+(12-7).
Находим значение полученного числового выражения: 12+(12-7)=12+5=17.