Что такое добротность резонатора
Основное удобство полуконфокального резонатора, определяющее его широкую распространенность, заключается в возможности использования для вывода излучения плоских окон из частично прозрачных материалов, а также в параллельности выходящего пучка. В случае использования металлических зеркал излучение можно выводить через одно или систему отверстий в одном из них.
Частотный спектр полуконфокального резонатора может быть рассчитан с помощью метода ЭКР, и тогда получаются следующие частотные интервалы
; 
;
, поэтому в отличие от конфокального резонатора здесь расстояние между поперечными модами в два раза меньше и равно 
, однако расстояние между продольными модами внутри каждой поперечной моды остается прежним, равным 
Пространственное распределение интенсивности излучения в полуконфокальном резонаторе полностью повторяет то распределение, которое оно бы имели в одной из половин симметричного конфокального резонатора при условии, что радиусы зеркал, а так же их апертура и длина волны излучения идентичны. Поэтому для описания пространственных характеристик излучения в полуконфокальных резонаторах справедливы все формулы выведенные для симметричного конфокального резонатора:
, где 
,
— параметры конфигурации резонатора
Угол расходимости пучка
1. Добротность лазерного резонатора и её связь с потерями в резонаторе
Универсальным параметром, характеризующим накопительные свойства резонатора, является его добротность. Она определяется как величина, обратно пропорциональная скорости уменьшения энергии поля в резонаторе. Аналитически её выражают в виде отношения запасенной в резонаторе энергии к энергии, теряемой им за один период колебаний Т.
.
Воспользуемся этим выражением и получим конкретные формулы для добротности резонатора лазера.
Пусть в резонаторе объемом 
имеет место собственное колебание на частоте 
. Пусть в начальный момент времени 
в этой моде запасена энергия поля 
, где 
— начальная объемная плотность этой энергии. При распространении от зеркала к зеркалу вдоль оси резонатора данная мода испытывает потери своей энергии. Обозначив суммарные потери коэффициентом 
, приведем уравнение баланса энергии 
к следующему виду
. Интегрированием этого уравнения получим его решение в виде
, где 
.
Это решение свидетельствуем об экспоненциальном характере затухания моды резонатора с характерным временем 
— временем жизни фотона в моде.
Теперь легко получить выражение для добротности резонатора на частоте его моды . Действительно, если запасенная в начальные момент энергия равна 
, а её убыль за один период колебаний составляет
, то получим
; 
. Отсюда следует, что чем больше потери резонатора, тем меньше его добротность.
2. Неустойчивые резонаторы, их особенности и области применения
К неустойчивым относят резонаторы, для которых не выполняется условие устойчивости 
, где 
— обобщенные параметры резонатора. В последнее время они получают все большее применение. Причины этого состоят в следующем:
1. Для достижения высоких уровней мощности излучения моды лазерного резонатора должны иметь достаточно большой объем, чтобы снимать инверсию со всего активного элемента. В отличие от устойчивого, где излучение стремиться сосредоточиться вблизи оси, в неустойчивом резонаторе излучение стремиться покинуть его через боковую поверхность и распределяется по всему объему, полностью снимая инверсию
2. Поскольку в неустойчивом резонаторе излучение теряется через его боковую поверхность, то это обстоятельство можно использовать для вывода лазерного пучка. При этом появляется возможность применять зеркала из различных металлов, что существенно повышает надежность лазеров и уровень их мощности.
3. Характер связи неустойчивого резонатора со свободным пространством таков, что излучаемый пучок имеет большую апертуру и хорошо коллимируется без применения телескопической оптики
4. В неустойчивом резонаторе гораздо проще осуществить селекцию поперечных мод.
Естественно, что неустойчивые резонаторы обладают и рядом недостатков
1. Поперечное сечение пучка выходящего из резонатора имеет форму кольца. Однако это недостаток во многих случаях легко устраним за счет использования спец. Оптики
2. Распределение интенсивности в пучке излучения, выходящего из неустойчивого резонатора, является неоднородным – оно имеет несколько дифракционных колец.
В силу своих достоинств неустойчивые резонаторы получают активное применение в лазерах повышенной мощности, в частности в технологических лазерах.
1. Добротность лазерного резонатора и её связь с энергией и интенсивностью излучения
Универсальным параметром, характеризующим накопительные свойства резонатора, является его добротность. Она определяется как величина, обратно пропорциональная скорости уменьшения энергии поля в резонаторе. Аналитически её выражают в виде отношения запасенной в резонаторе энергии к энергии, теряемой им за один период колебаний Т.
.
Воспользуемся этим выражением и получим конкретные формулы для добротности резонатора лазера.
Пусть в резонаторе объемом имеет место собственное колебание на частоте . Пусть в начальный момент времени в этой моде запасена энергия поля , где — начальная объемная плотность этой энергии. При распространении от зеркала к зеркалу вдоль оси резонатора данная мода испытывает потери своей энергии. Обозначив суммарные потери коэффициентом 
, приведем уравнение баланса энергии к следующему виду
Перепишем уравнение баланса энергии резонатора так, чтобы в нём в явном виде содержалась добротность
(1)
Легко видеть, что решение этого уравнения имеет вид 
. Домножая обе части на объем резонатора , получаем выражение для затухания энергии во времени
. Аналогично решая уравнение баланса интенсивности, получим выражение для её затухания в пространстве 
.
Отсюда следует, что коэффициенты затухания энергии и интенсивности обратно пропорциональны величине добротности.
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Добротность объемного резонатора
Добротность объемного резонатора, как и добротность любого колебательного контура, эта численная мера отношения запасенной энергии к энергии, поглощаемой за один период колебаний. Чем больше это отношение, тем больше добротность. Для начала рассмотрим простейшую колебательную систему — LCR-контур.
А) Добротность LCR- контура.
Рис.6.2.1. Схема RCL колебательного контура.
Импеданс контура, изображенного на рис.6.2.1, по отношению к внешней цепи:
(6.2.1)
В случае 
резонансная частота контура 
, так что выражение для импеданса (6.2.1) можно переписать в более простом виде
(6.2.2)
Вблизи резонанса 
, где 
.
Здесь Dw отклонение частоты внешнего источника колебаний от резонансной частоты контура или другими словами – расстройка контура.
Импеданс контура вблизи резонанса как функция расстройки частоты:
Введем обозначение для добротности контура:
, (6.2.3)
Тогда выражение для импеданса контура можно представить так:
(6.2.4)
Где 
— эквивалентное резонансное сопротивление контура. Теперь можно окончательно выделить вещественную и мнимую части импеданса контура:
(6.2.5)
Формула (6.2.5) иллюстрируется рис.6.2.2. 
Рис.6.2.2. Вещественная и мнимая компоненты импеданса параллельного LCR контура как функции частоты.
Разность 
принято называть полосой пропускания контура. Характерные точки на рис. 6.2.2 определяются равенством:
, (6.2.6)
Добротность LCR-контура Q была определена формулой (6.2.3).
Б) Обобщенная формула для добротности.
Умножим числитель и знаменатель (6.2.3) на 
, где IM амплитуда тока в контуре. Получим:
Заметим, что 
, где W – Максимальная энергия, запасенная в реактивности контура. Р — Мощность, поглощаемая в контуре на частоте резонанса. Тогда
, (6.2.7)
, (6.2.8)
Где РТ — Энергия, поглощенная за один период колебаний тока в контуре.
В) Добротность объемного резонатора.
Максимальная энергия, запасаемая в резонаторе магнитным полем при H(t) = HM и электрическим полем при E(t) = EM соответственно равна:
(6.2.9)
При , где W – полная энергия, запасенная в резонаторе.
Мощность, поглощаемая стенками резонатора:
, (6.2.10)
Где 
— касательные составляющие векторов электрического и магнитного полей на стенках резонатора; Rsur – поверхностное сопротивление материала стенок. Исключив из (6.2.10) 
, получим выражение для мощности, поглощаемой в стенках и в соответствии с (6.2.7) и (6.2.10) найдем добротность объемного резонатора:
. (6.2.11)
Учтем, что 
, где 
— длина волны в вакууме. Тогда
(6.2.12)
 |
Добротность резонатора определяется интегралами от напряженности магнитного поля по объему резонатора и по поверхности стенок, а также поверхностным сопротивлением материала стенок. Из (6.2.12) следует, что добротность зависит от геометрических размеров резонатора. Принято обозначать:
(6.2.13)
Где G — геометрический фактор, или
(6.2.14)
Где g — безразмерный геометрический фактор.
(6.2.15)
— длина волны в материале, заполняющем резонатор. Для пустого объемного резонатора – это длина волны в вакууме.
Распределение силовых линий показано на рис.6.2.3. Размеры резонатора показаны на рис. 6.2.4.
 |
Рис.6.2.4. Система координат и размеры объемного резонатора к расчету геометрического фактора.
Пусть напряженность магнитного поля задана следующими соотношениями:
В результате получаем окончательное выражение для безразмерного геометрического фактора:
(6.2.16)
Зададим размеры резонатора:
B = 1,0 см; а = с = 2,0 см;
В соответствии с (6.1.8) 
, отсюда находим:
См.
Подставляя эти численные значения в (6.2.16), получаем:
.
При некоторой средней комбинации размеров объемного резонатора безразмерный геометрический фактор имеет величина порядка единицы (
), в цилиндрическом резонаторе можно получить
.
Приняв , найдем добротность медного резонатора на частоте 10 ГГц. При 10 ГГц, 300 К имеем в случае медных стенок резонатора 
= 0.025 Ом, тогда в соответствии с (6.2.14) получим:
.
Это ненагруженная (собственная) добротность объемного резонатора.
Ударный спектр и добротность колебательной системы
Ударный спектр — это график значений максимального отклика на внешнее воздействие системы резонаторов с одной степенью свободы, упорядоченный по собственным частотам резонаторов.
Определение краткое и достаточно точное, но почему-то у людей возникают дополнительные вопросы. Дополнительные вопросы возникают оттого, что людям трудно представить себе образ даже одного резонатора с одной степенью свободы, то что говорить о целой системе.
Если объяснять этот термин на пальцах, то надо подходить к этому вопросу аккуратно и последовательно, чтобы постепенно сложить в голове человека образ описываемого явления. С материальными объектами проще — их достаточно показать, чтобы человеку всё стало ясно. С информационными явлениями гораздо сложнее, но мы эту проблему решим.
Резонатор с одной степень свободы
Представим себе объект, который может совершать колебания в пространстве только в направлении одной оси. Это и будет резонатор с одной степенью свободы. Пружины и маятники — это всё примеры резонаторов с одной степенью свободы. Хотя природа их колебаний различна в теории они описываются аналогичными уравнениями. У них есть одна собственная частота и одна резонансная частота. Для удобства практического использования эти частоты объединяют в одну, но это две разные частоты. Резонансная частота — это частота действия внешней силы, на которой достигается максимальная амплитуда колебаний. Собственная частота — это частота затухающих колебаний, когда внешняя сила исчезла и система теряет энергию, возвращаясь в положение равновесия (останавливается).
Представим себе знакомый нам всем с детства маятник — качели.
Резонансная частота маятника не зависит от массы груза (то есть не разницы кто сидит на качелях хрупкая маленькая девочка или её большой тяжёлый папа), а зависит только от длины подвеса. Чем длиннее этот подвес, тем меньше резонансная частота. Чем выше качели, тем дольше период одного качания.
Ребёнок, впервые попавший на качели, поначалу прилагает много самых разных усилий с произвольной частотой, но качели почти не двигаются. Достаточно быстро он понимает темп, в котором надо делать усилия, чтобы раскачивать качели и понимает, что делать их надо в момент, когда качели замирают на одном из пиков.
Говоря сухим научным языком, когда частота действия внешней силы совпадает с частотой резонанса система начинает в этот самый резонанс входить, увеличивая амплитуду колебаний.
Сил у ребёнка немного и раскачать качели он сильно не может. В определённый момент все силы его начинают уходит не на увеличение амплитуды колебаний, а на поддержание колебаний на том же уровне. В этот момент вся энергия, которую прикладывает ребёнок, будет тратиться за один период колебаний на преодоление трения подвеса и сопротивление воздуха. Если предположить, что в каждый период колебаний качелей ребёнок прикладывает одинаковое усилие совершая работу A, то достигнув максимальных колебаний за n раз, он затратит количество энергии:
которая перейдёт в энергию качания качелей (часть этой энергии будет рассеяна, но пока это не существенно).
После этого вся его энергия будет полностью рассеиваться за один такт качения:
После понимания этого момента можно переходит к понятию добротности.
Добротность
Добротность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. В общем виде для любой колебательной системы добротность вычисляется по следующей формуле: 
f0 — резонансная частота;
W — запасённая энергия системы;
Pd — рассеиваемая мощность;
Ed — рассеиваемая энергия за один период колебаний;
A — работа, совершаемая внешней силой за один период колебаний;
n — количество колебаний, которое сделал система, прежде чем достигла максимальной амплитуды колебаний.
Из этой формулы можно сделать один очень важный вывод, который нам пригодится:
Чем выше добротность колебательной системы, тем больше колебаний сделает система под действием внешний силы, прежде чем достигнет максимальной амплитуды.
То есть, чем выше качели (чем длиннее маятник — тем выше его добротность) тем больше нужно сделать колебаний, чтобы их раскачать. От величины внешней силы зависит только амплитуда колебаний, которые может совершать система. Если ребёнок не сам качается на качелях, а его качает папа (а у папы силы больше и энергии он даёт больше), качели будут подниматься гораздо выше, но максимальной амплитуды качели достигнут примерно за то же число колебаний, если папа будет качать с одинаковым усилием. В качании на качелях самое главное не переусердствовать иначе ребёнка может укачать или качели сломаются.
Собственная частота
Когда дети становятся старше, им надоедает просто качаться на качелях и они раскачавшись прыгают с них, стараясь подлететь повыше и подальше приземлиться (хорошо что детские площадки посыпают песком). После такого прыжка на качелях не остаётся источника внешней толкающей силы, да и отцу становится «не очень интересно » толкать пустые качели. Постепенно амплитуда качения уменьшается и качели останавливаются. Интервал времени между двумя ближайшими моментами отклонения качелей (маятника, резонатора, сигнала и т.д.) называется периодом собственных колебаний, а обратная ему величина — частотой собственных колебаний.
Одни колебательные системы останавливаются быстро, всего за пару тройку колебаний (большинство качелей во дворе останавливаются не более чем за 7 колебаний), а колебания других могут затухать очень долго (колокола — это тоже колебательные системы). Скорость, с которой колебания затухают, очень важный параметр. Он называется декремент затухания.
Декремент затухания
Декремент затухания или логарифмический декремент колебаний — это безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных (или через некоторое целое количество периодов) амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону: 
Декремент затухания равен показателю экспоненты в законе затухающих колебаний: 
Из декремента затухания можно рассчитать другую величину — коэффициент демпфирования по следующей формуле: 
Коэффициент демпфирования (затухания)
При коэффициенте демпфирования меньшем единицы колебательная система будет плавно затухать. Чем меньше будет коэффициент, тем дольше будут длиться колебания. При коэффициенте равном единице или большем никаких колебаний система испытывать не будет, а просто плавно будет стремиться к нулевому положению. Так, например, дверные доводчики настраивают на коэффициент демпфирования 1 и более, чтобы дверь автоматически закрылась через некоторое время без удара о створку. Демпферы для входных дверей в метро наоборот настроены на коэффициент демпфирования меньше 1. После того как человек толкнёт такую дверь она сделает два три колебания и остановится.
Коэффициент демпфирования связан с добротностью следующей формулой: 
Из формулы следует, что чем больше добротность колебательной системы, тем меньше декремент затухания. Чем меньше декремент затухания, тем меньше теряется энергии с каждым колебанием и тем больше колебаний совершит система перед остановкой. Этот простой вывод нам пригодится для дальнейшей работы.
Если рассматривать качели, маятники и прочие системы с низкой собственной частотой (и большим периодом колебаний соответственно), то считать количество колебаний достаточно легко. Но когда мы рассматриваем колокола, балки и прочие системы с высокой собственной частотой, то «на глаз» подсчитать количество колебаний при затухании становится невозможно.
Система резонаторов
Если собрать несколько резонаторов с разными собственными частотами, но одинаковыми значениями декремента затухания, то получится та самая система резонаторов, о которой шла речь в самом начале статьи. Представьте себе площадку в парке отдыха, на которой установлены качели разных размеров, но похожие по конструкции. От размеров качелей будет зависеть собственная частота, а от конструкции и материалов декремент затухания. Таким образом, у них будут разные собственные частоты и одинаковый декремент затухания.
Если представить себе, что все качели одновременно испытывают воздействие внешней возбуждающей силы, от которой они начинают раскачиваться, то максимальная амплитуда колебаний, которую в какой-то момент достигнут качели, будет тем самым максимальным откликом. Подобным внешним воздействием может быть землетрясение. Если упорядочить значения максимальных ответов по возрастанию собственных частот соответствующих резонаторов, то полученный график называется ударным спектром. Если мы имеем дело с землетрясением, то в этом случае ударный спектр называют спектром ответа.
Как мы уже выяснили выше, максимальный отклик некоторых резонаторов может быть достигнут не тогда, когда мгновенное значение силы максимально, а в какой-нибудь другой момент. Этот момент зависит от гармоник, которые присутствуют в сигнале, и от их длительности. Даже если на систему действует гармонический сигнал с одной частотой, то раскачиваться под его воздействием будут все резонаторы. Максимального по амплитуде колебаний отклика достигнет резонатор с собственной частотой наиболее близкой к частоте колебаний, остальные будут колебаться меньше. Наглядно это демонстрирует график резонанса.
Если мы имеем дело, не с установившимися колебаниями, а с коротким воздействием, то картина будет иной. Будем на систему резонаторов действовать импульсом, состоящем из нескольких периодов синусоидального сигнала с частотой 1000 Гц от полу-периода до 10 периодов. Скажем заранее, что коэффициент демпфирования всех резонаторов равен 0,05, а добротность соответственно равна 10.
Как мы видим на графиках ударного спектра с ростом длительности воздействия увеличивается максимальный отклик системы резонаторов, причём частота, соответствующая максимальному отклику приближается к частоте сигнала генератора. На этом месте возникает уместный вопрос: «Почему от импульсов с малым числом периодов сильнее откликаются (то есть имеют большее значение) резонаторы с частотами большими частоты действующего импульса?». Для ответа на этот вопрос нужно внимательно рассмотреть график резонанса, приведённый выше.
На графике резонанса изображена зависимость ответной реакции резонатора на входное воздействие постоянной амплитуды при изменяющейся частоте входного сигнала. На графике хорошо видно, что у резонаторов с низкой добротностью резонанс наступает на частоте заметно меньшей чем собственная частота резонатора. По мере роста добротности резонатора пик резонанса становится острее и выше, а частота приближается к собственной частоте резонатора.
В ударном спектре всё наоборот. Частота входного сигнала остаётся неизменной, а варьируются собственные частоты резонаторов. Добротность каждого резонатора ограничена сверху, но длительность входного воздействия позволяет раскачать все резонаторы. Поэтому добротность каждого резонатора будет определяться количеством периодов в сигнале (но не более 10).
Если частота резонатора выше частоты входного сигнала, то соотношение wa/w0 1 и амплитуда отклика быстро падает с уменьшением частоты резонатора. То есть маятники с длинным подвесом от высокочастотных воздействия даже не трогаются с места. Соответственно, большие строения (точнее сказать, строения из крупных блоков) никак не реагируют на работу отбойного молотка на улице, будь их там даже тысячи работающих одновременно.
Если взять график резонанса соответствующий δ=0.5w0, то он будет примерно соответствовать спектру ударного отклика на полу-период синуса с той лишь разницей, что он будет отражён в другую сторону. Сигналам с большим числом периодов соответствуют графики с большей добротностью. Если совместить несколько графиков ударных спектров в одних осях, то мы увидим график напоминающий график резонанса, приведённый выше, но развёрнутый в обратном направлении.
Вывод
Подводя итог статьи необходимо сделать вывод, что ударный спектр это прекрасный показатель внутреннего состояния объекта. Так для небольших объектов при построение ударного спектра по выходному сигналу можно выяснить состояние «внутренней системы резонаторов». Усталость материи, внутренние трещины и прочие неприятности вносят изменения в эту «внутреннюю систему резонаторов». Обычно это выражается в том, что происходит изменение собственных и резонансных частот, реже происходит падение добротности колебательных контуров.
Так, например, церковные колокола со временем «понижают» свои голоса, то есть у них происходит уменьшение собственной частоты (унтертона) и высота их звука падает. Таким образом проявляется эффект «старения» бронзы [1]. Если же колокол треснет (например, в сильный мороз), то он резко потеряет чистоту звука, то есть упадёт его добротность.
Можно представить себе испытуемый объект как систему резонаторов в виде набора струн (можно представить себе рояль), определить и запомнить какие «струны» в нём звучат и как сильно. А после эксплуатации по изменению этого набора откликов можно судить об внутренних изменениях. Так, например, ГОСТы на механические испытания рекомендую измерять и сравнивать АЧХ до и после испытаний. Ещё пример, при изменении основного тона собственных колебаний здания более чем в два раза в меньшую либо в большую сторону (одна из методик контроля), МЧС делает заключение, что здание находится в аварийном состоянии.
При землетрясениях наоборот измеряют ударный спектр самого землетрясения. Таким образом учёные оценивают степень разрушения зданий и сооружений [2]. Для каждого типа сооружений вычисляется диапазон наиболее разрушительных частот. Чем выше рассчитанный спектр в определённой полосе, тем больше повреждений получит здание.
При проектировании зданий в сейсмоопасных районах в конструкцию здания закладывают системы демпфирования колебаний. Системы демпфирования рассчитывают на гашение наиболее опасных частот. Такие частоты определяются исходя из анализа сейсмограмм в данной области за всё время наблюдений. И в конце проектных работы модель здания подвергают испытаниям на модельные землетрясения [3].