Что такое двойное неравенство 7 класс алгебра

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

Квадратные неравенства

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Графическая интерпретация решения:

№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения:

Графическая интерпретация решения:

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем методом интервалов.

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Источник

Урок ОНЗ «Двойное неравенство».

Тема урока: двойное неравенство

Тип урока : открытие нового знания

Цель урока : ознакомление учащихся с понятием «двойное неравенство» и способами его решения.

· умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить двойные неравенства ;

· овладение основами логического и алгоритмического мышления;

· умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями;

· ознакомить учащихся с составом двойного неравенства;

· совершенствовать навыки работы над неравенствами.

Личностные универсальные учебные действия:

· интерес к новому содержанию;

· понимание причин успеха в учебной деятельности;

· умение определять границы своего незнания.

Регулятивные универсальные учебные действия:

· принимать и сохранять учебную задачу;

· планировать этапы решения задачи;

· адекватно воспринимать оценку сверстников и учителя.

Познавательные универсальные учебные действия:

· анализировать информацию, выбирать рациональный способ решения задачи;

· устанавливать зависимости, соотношения между объектами в процессе наблюдения и сравнения;

· находить сходства, различия, закономерности.

Коммуникативные универсальные учебные действия:

· умение формулировать собственное мнение;

· задавать вопросы для организации собственной деятельности;

· совершенствовать математическую речь.

· совершенствовать навык работы над неравенствами;

· ознакомить с понятием «двойное неравенство»;

· воспитывать интерес к изучаемому предмету;

· развивать приемы умственной деятельности, логическое мышление,память, внимание, воображение, навыки коммуникативной работы, математическую речь;

· формировать умение читать двойные неравенства.

· Проектор, мультимедийная приставка, ноутбук, презентация;

· карточки с заданием;

· Листки с тестами для КОД (контрольно-оценочной деятельности);

Этапы урока, содержание (задания)

Деятельность учителя (описание, прямая речь)

Деятельность учащихся (описание, предполагаемые ответы)

Формы, методы и приемы обучения

1. Организационный момент.

Приветствует учащихся. Проверяет готовность к уроку.

Проверьте, чтобы у вас на партах был учебник и рабочая тетрадь.

Начинается урок,
Он пойдет ребятам впрок.
Постарайтесь все понять,
Учитесь тайны открывать,
Ответы полные давать,
Чтоб за работу получать
Только лишь отметку «пять»!

Приветствуют учителя. Проверяет свою готовность к уроку.

КУУД – вступать в диалог с учителем

2. Актуализация знаний.

Давайте проверим ваши знания с прошлых уроков.

Что такое неравенство?

Что мы называем множеством решений неравенства?

Давайте вспомним, какие виды решений неравенства существуют. Множество решений, бесконечное множество решений и пустое множество решений.

— Что значит пустое множество?

Теперь я вам представлю три неравенства, скажите в каком неравенстве множество решений, в каком бесконечное множество решений, а в каком пустое множество решений?

Я буду говорить неравенства словами, а вы будете записывать его цифрами.

а) 15 меньше или равно 34

б) 72 больше или равно 27

Какие знаки используются при решении неравенств?

Внимательно слушают учителя.

Отвечают на вопросы.

— выражение, показывающее, что одна величина больше или меньше другой

Во множестве нет элементов.

— пустое множество решений

— бесконечное множество решений

Слушают учителя. Выполняют задание.

Выходят к доске желающие и записывают неравенства под диктовку.

— Используются знаки « », «=» и «≤», и «≥».

Словесный (беседа, рассказ), наглядный (доска, рабочая тетрадь), практический (работа у доски, в тетради; ответы на вопросы)

КУУД – формулировать собственное мнение, вступать в диалог с учителем, учитывать мнение других;

РУУД – принимать и сохранять учебную задачу, планировать свои действия;

ЛУУД – интерес к новому содержанию;

Давайте запишем число и классная работа.

Обратите внимание, сейчас я запишу на доске выражение :

Ребята, а что я записала?

А что в нем не так?

Правильно, ребята! Как вы думаете, как называются такие неравенства, в которых два знака?

Кто сможет назвать тему нашего урока?

Правильно. Мы будем говорить о двойном неравенстве.

Отвечают на вопросы учителя:

— В нем два знака неравенства.

Словесный (беседа), наглядный (интерактивная доска)

КУУД – формулировать собственное мнение;

4. Изучение нового материала.

Ознакомляет с новым материалом с помощью практической работы.

Откройте учебник на странице 10. Давайте прочитаем 1 задание. Я читаю, слушайте внимательно.

О чем говорится в задании?

Отметьте на числовом луче эти числа.

Какие это числа? Назовите их.

Правильно. Напишите карандашиком в учебнике эти числа. Как вы думаете, как можно записать это множество с помощью знаков неравенства? Числа 4, 5, 6 можно заменить буквой х, то есть она будет обозначать числа от 4 до 6. Это будет выглядеть так:

Запишите себе это неравенство в тетрадь.

Теперь давайте, ознакомимся с правилом в учебнике в рамочке.

Я читаю, вы слушаете. Прочитайте каждый про себя данное правило.

— Кто может объяснить: Что такое двойное неравенство?

Почему неравенство называется двойным?

Как читают двойное неравенство, например, из нашего правила.

Какие числа будут являться решением неравенства?

Почему именно эти числа?

Правильно. Обратите внимание на линейку, мы видим, что нам нужны числа больше 5, но меньше 10. Еще раз назовите эти числа.

А что происходит, если в записи двойного неравенства используется, к примеру, знак «больше или равно»? Да, конечно. Обратите внимание на двойные неравенства, что мы видим?

Открывают учебник на нужной странице и внимательно слушают чтение задания учителя.

— Нам нужно отметить на числовом луче множество чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 7.

Слушают учителя и записывают выражение в тетрадь.

Учащиеся смотрят на страницу 10 и слушают правило, прочтенное учителем. Далее читают каждый про себя данное правило.

— Например, арбуз. В правиле сказано, что он тяжелее одной 5-килограммовой гири, но легче двух таких гирь. Как показано на картинке. Значит масса арбуза заключена в промежутке от 5 кг до 10 кг. И чтобы не писать два неравенства, пишут одно двойное неравенство.

— Потому что в нем объединили два неравенства.

— х больше пяти и меньше десяти.

Потому что они входят в промежуток между числами 5 и 10.

Смотрят на линейку в правиле и отвечают: 6, 7, 8, 9.

— Множество решений расширяется.

— Что когда появляется знак «меньше или равно», то число, которое меньше, тоже входит во множество решений данного неравенства.

Словесный (беседа, рассказ, рассуждение), наглядный (учебник, доска, презентация), практический (выполнение заданий по новому материалу

КУУД – вступать в диалог с учителем и одноклассниками, формулировать собственное мнение, учитывать мнение других;

РУУД – принимать и сохранять учебную задачу, планировать этапы решения задачи;

— устанавливать зависимости, соотношения между объектами в процессе наблюдения и сравнения;

— находить сходства, различия, закономерности;

ЛУУД – интерес к новому содержанию.

Учитель показывает движения со словами:

Поворот, наклон, прыжок,

Улыбнись давай, дружок.

Еще попрыгай: раз, два, три!

На соседа посмотри,

Руки вверх и тут же вниз

И за парту вновь садись.

Организует выполнение гимнастики для глаз

Повторяют движения за учителем под стихотворение.

Выполняют гимнастику для глаз по упражнениям презентации

Словесный (беседа), наглядный (действия учителя), практический (выполнение упражнений)

КУУД – вступать в диалог с учителем;

РУУД – принимать и сохранять учебную задачу.

6. Практическая работа

Давайте выполним задание на странице 10, №2. Прочитай неравенства. Первый ряд начинает читать, остальные слушают.

Молодцы! Справились с заданием. Следующее задание №3. Прочитайте задание про себя.

Что от нас требуют в задании?

Хорошо. Два человека идут к доске, остальные решают у себя в тетради и позже мы проверим, что у вас получилось. Итак, что получилось у ребят? Проверяем.

Молодцы! Присаживайтесь. Справились с трудным заданием. Впереди ждет еще одно задание под номером 5. Прочитайте задание.

Что нужно сделать в задании?

Хорошо. Два человека выходят к доске и записывают неравенства. Один под буквами а и б, другой – под буквами – в и г. Каждый выполняет задание в тетради, и потом мы проверим, что у вас получилось. Приступайте. Смотрим на доску и проверяем.

У всех такие равенства получились?

Молодцы! Мы справились с еще одним трудным и интересным заданием.

Открывают учебник на странице 10. Читают неравенства по цепочке.

— а больше 7 и меньше 12;

— b больше 15 и меньше или равно 96 и т.д.

— Замени двойное неравенство двумя неравенствами.

— Заменить двойные неравенства двумя неравенствами.

Двое идут к доске и пишут неравенства.

— Первое неравенство делится на: х больше или равно 9, а второе: х меньше 18.

— у больше 3 и второе: у меньше или равно 11.

Смотрят и читают задание №5.

— Записать двойные неравенства.

Выходят к доске и работают, остальные выполняют задание в тетради.

— 5 “больше или равно» k

— 10 m “меньше или равно» 25 и т.д.

Словесный (беседа, рассказ), наглядный (учебник, доска, дидактический материал), практический (выполнение заданий в учебнике и в тетради)

КУУД – формулировать собственное мнение;

РУУД – принимать и сохранять учебную задачу, планировать этапы решения задачи;

ЛУУД – интерес к новому содержанию.

7. Самостоятельная работа.

Теперь я проверю, как вы усвоили наш сегодняшний материал, самостоятельно задание 5.

Получают карточки, подписывают их и решают задания.

Словесный (беседа), наглядный (дидактический материал), практический (выполнение заданий)

8. Подведение итогов.

— Что нового мы узнали на уроке?

— Какие задания мы выполняли на уроке?

Да, мы сегодня много с вами сделали.

— Мы узнали, что такое двойное неравенство.

— Составляли двойные неравенства, читали их.

— Из двойного неравенства делали два неравенства.

Словесный (беседа), наглядный (презентация)

КУУД – формулировать собственное мнение, учитывать другие мнения; ЛУУД – интерес к новому содержанию.

Мне хочется узнать, как вы оцените свою работу. В этом мне помогут смайлики разного цвета.

На партах лежат смайлики разных цветов.

Я рада, что вы честно оценили свою работу.

Дети оценивают свою работу на уроке.

Словесный (беседа), наглядный (дидактический материал), практический (работа с карточками)

КУУД – вступать в диалог с учителем; РУУД – адекватно воспринимать оценку учителя и сверстников, принимать и сохранять учебную задачу

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА «РАБОЧАЯ ПРОГРАММА для индивидуальных занятий по математике с одарёнными учащимися для 7-8 классов»

Презентация на тему «Особенности работы с учащимися ОВЗ при обучении математике в 5-6 классах»

Презентация » Приемы развивающего обучения на уроках математики»

Рабочая программа «Математика» (1, 2 курс)

Исследовательская работа по теме: «Лабиринты»

Презентация по математике на тему «Натурал сонларни туб кўпайтувчиларга ажратиш» (5 класс)

«Общеразвивающая программа дополнительного образования

Презентация по математике на тему «Решение уравнений» (6 класс)

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5423913 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Хабаровске родители смогут заходить в школы и детсады только по QR-коду

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В российских школах могут появиться «службы примирения»

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

• ← Что такое однозначность в русском языке
• Что такое буккроссинг для детей в школе →