Что такое геометрическая прогрессия определение

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Общий вид геометрической прогрессии

Члены прогрессии:

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена ( b_n )

2. Знаменатель прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b₁, b₂, b₃ … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

Также данное свойство можно представить в таком виде:

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1 ):

5. Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

Источник

Геометрическая прогрессия онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов геометрической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которого начиная со второго равен произведению предыдующего числа и некоторого постоянного q.

Из определения следует, что q≠0.

Пусть − геометрическая прогрессия. Тогда частное () при любом n равно одному и тому же числу q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

При q>0 все члены геометрической прогрессии имеют тот же знак, что и первый член, а при q 0 и q>1, то (a_n) является возрастающей последовательностью, а при 0 1, то геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью, а при 0 Утверждение 1. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда n— ый член последовательности задана формулой

где c и u некоторые отличные от нуля числа, причем u является знаменателем геометрической прогрессии.

Рассмотрим, далее, свойство геометрической прогрессии. Из определения геометрической прогрессии следует:

,

где отличные от нуля числа. Тогда

, .

Таким образом имеет место следующее свойство:

Свойство 1. Если последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Свойство 2. Пусть задана последовательность (a_n) с членами, отличными от нуля. Если для членов последовательности (a_n) справедливо равенство , (), то данная последовательность является геометрической прогрессией.

Действительно. Пусть выполнено равенство (4) при любом n, причем отличные от нуля числа. Тогда . Последнее означает, что отношение любого члена последовательности к предыдующему члену равно одному и тому же числу. А это означает, что эта последовательность геометрическая прогрессия.

Равенство (4) равносильно равенству

т.е. модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов.

Из вышеизложенного можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся геометрической прогрессией:

Свойство 3. Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов (или квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов).

Свойство 3 называется характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство объясняет название «геометрическая прогрессия».

Пример 1. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

Для последовательности (5) можем записать:

, .

(7)

Из (6) и (7), следует, что

т.е. последовательность (5) является геометрической прогрессией.

Пример 2. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

Для последовательности (8) можем записать:

, .

(10)

Из (9) и (10), следует, что

т.е. последовательность (8) является геометрической прогрессией.

Решение. Знаменатель данной геометрической прогрессии равно

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется формулой:

Подставим значения первого члена, знаменателя и число 486 в качестве n-го члена в (11):

Рассмотрим, существует ли натуральное число n такое, что выполнено (12). Подставляя n=6, в (12) получим тождество. Следовательно число 486 встречается среди членов геометрической прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Пусть (a_n) геометрическая прогрессия и пусть q знаменатель этой прогрессии. Обозначим через S_n сумму первых n членов геометрической прогрессии, т.е.

Умножим обе части равенства (13) на q:

Из определения 1 следует:

Тогда, учитывая (15), равенство (14) можно записать так:

Вычтем из (16) равенство (13):

Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для q≠1. Формулу (17) можно записать и в другом виде, учитывая, что :

При q=1 все члены геометрической прогрессии равны первому члену a₁, следовательно, в этом случае

Пример 4. Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, если , , .

Решение. Воспользуемся формулой (17′):

.

Ответ: .

Пример 5. Сколько членов геометрической прогрессии

надо сложить, чтобы полученная сумма была 3066?

Решение. Во первых найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Поскольку в данной геометрической прогрессии , то используя формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии:

, .

Ответ: .

Пример 6. Найти сумму в которых слагаемые составляют геометрическую прогрессию:

Решение. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Найдем, далее, количество членов в прогрессии (18). Так как

Найдем, наконец, сумму n членов геометрической прогрессии:

.

Ответ: .

Источник

Что такое геометрическая прогрессия определение

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

Или b_n+1 = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то

Заметим, что если 0

Это конспект по математике на тему «Геометрическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Сумма членов геометрической прогрессии

b₁ — первый член прогрессии,

q — знаменатель прогрессии,

Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Просто введите данные и получите результат.

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения – человек, а те в свою очередь, заразили еще

Общий вид геометрической прогрессии

Члены прогрессии:

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| , называется геометрической прогрессией. Число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Примеры геометрических прогрессий.

Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем — геометрическая прогрессия со знаменателем Тогда для всех натуральных справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

Выразим члены геометрической прогрессии через и и : Тогда система запишется в виде

Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно, Следовательно,

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

При – прогрессия называется бесконечно убывающей.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:

Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и :

Справился? Вот какой график получился у меня:

Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.

Источник

Геометрическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

Рассмотри на примерах применение формулы b n = b 1 q n − 1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b 4 = b 1 q 4 − 1 = b 1 q 3

b 6 = b 1 q 6 − 1 = b 1 q 5 = 2 × ( − 3 ) 5 = − 486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b 2 n = b n − 1 × b n + 1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b 2 5 = b 5 − 1 × b 5 + 1 = b 4 × b 6 = 32 × 128 = 4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅= √ 4096 =64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у= √ 24 × 96 = √ 2304 =48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель: Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами. Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3. Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

Способ №2 (вторая формула).

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Источник