Что такое геометрическая прогрессия определение

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Общий вид геометрической прогрессии

Члены прогрессии:

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена ( b_n )

2. Знаменатель прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b₁, b₂, b₃ … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

Также данное свойство можно представить в таком виде:

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1 ):

5. Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

Источник

Геометрическая прогрессия онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов геометрической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которого начиная со второго равен произведению предыдующего числа и некоторого постоянного q.

Из определения следует, что q≠0.

Пусть − геометрическая прогрессия. Тогда частное () при любом n равно одному и тому же числу q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

При q>0 все члены геометрической прогрессии имеют тот же знак, что и первый член, а при q 0 и q>1, то (a_n) является возрастающей последовательностью, а при 0 1, то геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью, а при 0 Утверждение 1. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда n— ый член последовательности задана формулой

где c и u некоторые отличные от нуля числа, причем u является знаменателем геометрической прогрессии.

Рассмотрим, далее, свойство геометрической прогрессии. Из определения геометрической прогрессии следует:

,

где отличные от нуля числа. Тогда

, .

Таким образом имеет место следующее свойство:

Свойство 1. Если последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Свойство 2. Пусть задана последовательность (a_n) с членами, отличными от нуля. Если для членов последовательности (a_n) справедливо равенство , (), то данная последовательность является геометрической прогрессией.

Действительно. Пусть выполнено равенство (4) при любом n, причем отличные от нуля числа. Тогда . Последнее означает, что отношение любого члена последовательности к предыдующему члену равно одному и тому же числу. А это означает, что эта последовательность геометрическая прогрессия.

Равенство (4) равносильно равенству

т.е. модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов.

Из вышеизложенного можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся геометрической прогрессией:

Свойство 3. Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов (или квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов).

Свойство 3 называется характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство объясняет название «геометрическая прогрессия».

Пример 1. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

Для последовательности (5) можем записать:

, .

(7)

Из (6) и (7), следует, что

т.е. последовательность (5) является геометрической прогрессией.

Пример 2. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

Для последовательности (8) можем записать:

, .

(10)

Из (9) и (10), следует, что

т.е. последовательность (8) является геометрической прогрессией.

Решение. Знаменатель данной геометрической прогрессии равно

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется формулой:

Подставим значения первого члена, знаменателя и число 486 в качестве n-го члена в (11):

Рассмотрим, существует ли натуральное число n такое, что выполнено (12). Подставляя n=6, в (12) получим тождество. Следовательно число 486 встречается среди членов геометрической прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Пусть (a_n) геометрическая прогрессия и пусть q знаменатель этой прогрессии. Обозначим через S_n сумму первых n членов геометрической прогрессии, т.е.

Умножим обе части равенства (13) на q:

Из определения 1 следует:

Тогда, учитывая (15), равенство (14) можно записать так:

Вычтем из (16) равенство (13):

Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для q≠1. Формулу (17) можно записать и в другом виде, учитывая, что :

При q=1 все члены геометрической прогрессии равны первому члену a₁, следовательно, в этом случае

Пример 4. Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, если , , .

Решение. Воспользуемся формулой (17′):

.

Ответ: .

Пример 5. Сколько членов геометрической прогрессии

надо сложить, чтобы полученная сумма была 3066?

Решение. Во первых найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Поскольку в данной геометрической прогрессии , то используя формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии:

, .

Ответ: .

Пример 6. Найти сумму в которых слагаемые составляют геометрическую прогрессию:

Решение. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Найдем, далее, количество членов в прогрессии (18). Так как

Найдем, наконец, сумму n членов геометрической прогрессии:

.

Ответ: .

Источник

Что такое геометрическая прогрессия определение

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

Или b_n+1 = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то

Заметим, что если 0

Это конспект по математике на тему «Геометрическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Сумма членов геометрической прогрессии

b₁ — первый член прогрессии,

q — знаменатель прогрессии,

Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Просто введите данные и получите результат.

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения – человек, а те в свою очередь, заразили еще

Общий вид геометрической прогрессии

Члены прогрессии:

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| , называется геометрической прогрессией. Число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Примеры геометрических прогрессий.

Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем — геометрическая прогрессия со знаменателем Тогда для всех натуральных справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

Выразим члены геометрической прогрессии через и и : Тогда система запишется в виде

Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно, Следовательно,

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:

Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и :

Справился? Вот какой график получился у меня:

Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.

Источник

Геометрическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

Рассмотри на примерах применение формулы b n = b 1 q n − 1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b 4 = b 1 q 4 − 1 = b 1 q 3

b 6 = b 1 q 6 − 1 = b 1 q 5 = 2 × ( − 3 ) 5 = − 486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b 2 n = b n − 1 × b n + 1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b 2 5 = b 5 − 1 × b 5 + 1 = b 4 × b 6 = 32 × 128 = 4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅= √ 4096 =64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у= √ 24 × 96 = √ 2304 =48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель: Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами. Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3. Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

Способ №2 (вторая формула).

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Источник