Что такое гипербола парабола и прямая

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
\( = + \),
где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.

Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме
\( \left\ < \beginx &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.

Координаты фокуса
\(F \left( <\large\frac

<2>\normalsize, 0> \right)\)

Координаты вершины
\(M \left( <0,0>\right)\)

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)
\(A + Dx + Ey + F = 0\;\left( \right) \),
или в эквивалентной форме
\(y = a + bx + c,\;\;p = \large\frac<1><2a>\normalsize\)

Источник

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую.

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть.

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны!

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « − 1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика:

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Что такое гипербола парабола и прямая

Прямая, окружность, парабола и гипербола.
Некоторые приемы построения графиков функций

называется общим уравнением прямой. Мы уже знаем, что каждая прямая записывается таким уравнением и, обратно, каждое такое уравнение определяет прямую. Если уравнение прямой записано в виде у = kx + b, то число k называется ее угловым коэффициентом. При этом

т.е. совпадает с тангенсом угла наклона прямой L к оси Ох

Признаком параллельности двух прямых L и L₁ является равенство их угловых коэффициентов: k = k₁.

— уравнением прямой, проходящей через две данные точки А(х₀; у₀) и В(х₁; y1).

Задание 1.

Ответ:

Задание 2.

Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х₀; у₀) и образующей с осью Ох угол

если:

а)

б)

Ответ:

в)

Задание 3.

Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х + 3 и проходящей через точку А(-3; 2).

Ответ:

Задание 4.

Ответ:

Задание 5.

Используя общее уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, для прямой (АВ) имеем

Задание 6.

• Пусть А(х₀; у₀), B(х₁у₁) — две данные точки; тогда точка С

лежит на прямой, проходящей через точки А и В, и делит отрезок АВ пополам. Используйте этот факт при решении задний 7, 8.

Решение:

Поэтому уравнения прямых, перпендикулярных данной прямой, имеют вид

Подставляя в это равенство координаты точки М₁ (2; 1), находим

Отсюда следует нужное нам уравнение.

Ответ:

Задание 7.

Решение:

Найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнений

откуда х = 3, у = 1. Точка С(3; 1) является серединой отрезка PQ, где Р (-5; 13), a Q(x₀; у₀) — искомая точка. Поэтому

Ответ:

Задание 8.

определяет окружность радиуса R с центром в точке С(х₀; у₀).

Решение:

Следовательно, прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними, имеет уравнение 2х + Зу + 6 = 0 и проходит через точку C

где С — середина отрезка АВ. Отсюда находим

а тогда уравнение искомой прямой можно записать в виде:

Ответ:

Задание 9.

Запишите уравнение окружности, если:

б) окружность проходит через точку А(2; 6), а ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);

в) точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров этой окружности.

Ответ:

Задание 10.

Решение:

— радиус искомой окружности.

Ответ:

Задание 11.

Решение:

откуда О (2; 4). Радиус искомой окружности равен длине отрезка ОВ, т. е.

Ответ:

Задание 12.

Запишите уравнение прямой, проходящей через центры двух данных окружностей:

Ответ:

Задание 13.

Указание:

Ответ:

Задание 14.

Установите, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найдите координаты ее вершины А и координаты точек пересечения с осями координат:

Ответ:

а) А(1; 3); с осью Ох не пересекается; С (0; 7);

Задание 15.

Найдите квадратный трехчлен, наибольшее значение которого, равное 3, достигается при х = 2, если известно, что его график проходит через точку О(0; 0).

Решение:

Ответ:

Задание 16.

График квадратного трехчлена, свободный член которого равен 1, симметричен относительно прямой х + 2 = 0 и проходит через точку А(2; 7). Запишите этот квадратный трехчлен.

Ответ:

Задание 17.

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х + 1) 2 + b. Подставляя в это равенство координаты точек М₁(-2; 2) и М₂(2; 26), получаем систему

Ответ:

Задание 18.

Ответ:

Задание 19.

Находим координаты точек А и В. Решаем уравнение

Уравнение искомой параболы имеет вид у = ах 2 + bх. Подставляя в это равенство координаты точек А и В, приходим к системе:

Ответ:

Задание 20.

Решение:

Ответ:

Задание 21.

Запишите уравнение параболы, проходящей через данные точки А, В и С, если:

a, b, d — действительные числа и

называется дробно-линейной функцией. Кривая, которая служит графиком этой функции, называется гиперболой. Ниже мы установим, что график дробно-линейной функции можно получить из графика простейшей дробно-линейной функции

(графика обратной пропорциональной зависимости) с помощью параллельного переноса,
отражения и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей. График функции

изображен на рис.

Отметим, что прямые у =0 и х=0 (координатные оси) являются асимптотами гиперболы

а точка О(0; 0) — ее центром симметрии.

Указание:

Запишите уравнение искомой параболы в виде у = ах 2 + bх + с и подставьте в это равенство координаты данных в условии точек.

Ответ:

Постройте графики следующих функций и уравнений. Штриховкой укажите области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам (22—26):

Задание 22.

Ответ:

Задание 23.

Почему в заданиях 22 и 23 получаются различные заштрихованные области?

Ответ:

Задание 24.

Ответ:

Задание 25.

Ответ:

Задание 26.

(эта кривая также является гиперболой).

Ответ:

Задание 27.

Составьте уравнения касательных к гиперболе

Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков функций. При этом предполагается, что график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0) известен.

• Сдвиги (параллельные переносы) вдоль координатных осей.

Пусть построен график функции у = f(x). Тогда:

Решение:

Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения

Ответ:

Постройте графики следующих функций и уравнений (28—34):

Задание 28.

Ответ:

Задание 29.

Ответ:

Задание 30..

Ответ:

Задание 31.

Ответ:

Задание 32.

Ответ:

Задание 33.

Указание:

Преобразуйте уравнение к виду

Ответ:

Задание 34.

Указание:

Преобразуйте уравнение к виду

Ответ:

Задание 35.

Запишите уравнение образа каждой из них при параллельном переносе, если ее центр смещается в точку С(-1; 2).

Решение б):

Ответ:

Задание 36.

Запишите уравнение образа параболы у = х 2 + + 2х + 2 при параллельном переносе, если ее вершина смещается в точку A(x₀; у₀), где

Решение б).

Парабола у = х 2 + 2х + 2 = (х + 1) 2 + 1 получается из параболы у = х 2 переносом вершины в точку А (-1; 1). Если вершина этой параболы при параллельном переносе сместится в точку А (-3; 4), то ее уравнение примет вид у = (х + З) 2 + 4.

Ответ:

Задание 37.

Запишите уравнение образа гиперболы

при параллельном переносе, если ее центр симметрии смещается вточку А(-3; 1).

• Зеркальное отражение относительно координатных осей.

Пусть задан график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0). Тогда:

1) графики функций у = f(x) и у = f(-x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(-x, у) = 0) симметричны относительно оси Оу,

Постройте графики следующих функций и уравнений (38—42).

Ответ:

Задание 38.

Ответ:

Задание 39.

Ответ:

Задание 40.

Ответ:

Задание 41.

Ответ:

Задание 42.

• Растяжение (сжатие) графика вдоль координатных осей.

Пусть задан график функции у = f(x) и число k > 0. Тогда:

1) график функции у = f(kx) получается из графика функции у = f(x) сжатием вдоль оси Ох в k раз, если

2) график функции у = kf(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси Оу в k раз, если

Отметим также, что графики уравнений f(kx, у) = 0, f(x, ky) = 0 получаются из графика уравнения f(x, у) = 0 сжатием вдоль соответствующей координатной оси в k раз, если k > 1 (при k

Постройте графики следующих функций и уравнений (43—50). Отметьте штриховкой области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам.

Ответ:

Задание 43.

у = х 2 ; у = (2х) 2 ; 2у = х 2

Ответ:

Задание 44.

Ответ:

Задание 45.

(кривая, которая получается при сжатии окружности вдоль координатных осей, называется эллипсом).

Ответ:

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

Ответ:

Задание 48.

Ответ:

Задание 49.

Ответ:

Задание 50.

• При построении эскизов графиков элементарных функций часто используются и такие приемы, как сложение (вычитание) и деление (умножение) графиков.

Постройте графики следующих функций (51—57):

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Задание 52.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Ответ:

Задание 55.

Ответ:

Задание 56.

Указание:

Ответ:

Задание 57.

Указание:

Ответ:

Используя различные приемы, постройте графики следующих функций и уравнений (58—71):

Задание 58.

Ответ:

Задание 59.

Указание:

Ответ:

Задание 60.

Указание:

Ответ:

Задание 61.

Ответ:

Задание 62.

Ответ:

Задание 63.

Ответ:

Задание 64.

Указание:

Ответ:

Задание 65.

Указание:

Ответ:

Задание 66.

Указание:

Ответ:

Задание 67.

Указание:

Ответ:

Задание 68.

Ответ:

Задание 69.

Указание:

Ответ:

Задание 70.

Указание:

Ответ:

Задание 71.

Указание:

Ответ:

Найдите число различных решений уравнений в зависимости от а (72—80):

Задание 72.

Ответ:

Задание 73.

Ответ:

Задание 74.

Решение:

Положим х 2 = t. Тогда

Построим при t > 0 график функции

при t > 0, причем наименьшее значение у = 2 достигается при t = 1, то получаем: при
а уравнение

не имеет положительных решений, при а = 2 => одно решение; а > 2 => два решения. Теперь находим число решений исходного уравнения.

Ответ:

нет решений, при а = 2 => два решения; при

Задание 75.

Решение:

Построим график функции

Поэтому получаем следующий ответ.

Ответ:

одно решение; при а = 3 => два решения; при

Задание 76.

Указание:

Запишите уравнение в виде

Далее см. решение задачи 75.

Ответ:

одно решение; при а = 3 => два решения; при

Задание 77.

Запишите уравнение в виде

Ответ:

Задание 78.

Решение:

Запишем уравнение в виде

График этой функции — гипербола, принимающая все значения, кроме у = 3, по одному разу. Поскольку

нужно также исключить значение

Ответ:

Задание 79.

Решение:

Запишем уравнение в виде

Сначала найдем число решений уравнения

не меньших

Построим график функции

а наименьшее значение y(t) равно 2. Поэтому уравнение

не имеет решении, при

— имеет одно решение, а при

— два решения, удовлетворяющих условию

Отдельно рассмотрим случай

имеет одно решение (мы находим число различных решений). При всех остальных

уравнение х 2 + х + 1 = 3t будет иметь два различных решения. Теперь легко записываем ответ.

Ответ:

четыре решения; при

Задание 80.

(х 2 + 1)(х 2 + 2ах + а 2 + 1) = 2х

Указание:

Запищите уравнение в виде

и постройте графики функций

Ответ:

одно решение х = 1, при других а решений нет.

Решите системы неравенств и уравнений (81—87):

Задание 81.

Ответ:

Задание 82.

Решение:

На координатной плоскости (х, а) штриховкой отметим точки, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств

Ответ:

Задание 83.

Ответ:

при

Задание 84.

Решение:

Перепишем неравенства в виде

и штриховкой на координатной плоскости (х; а) отметим точки, координаты которых удовлетворяют этой системе неравенств

Записываем решение данной системы.

Ответ:

Задание 85.

Указание:

и (х + 1) 2 + (у + 1) 2 =1

Ответ:

Задание 86.

Указание:

Постройте графики функций

Ответ:

Задание 87.

Решение:

Запишем второе уравнение в виде

Это окружность радиуса

Пересечение с гиперболой

Ответ:

при других а решений нет.

Задание 88.

Решение:

имеют абсциссы x₁и х₂, являющиеся корнями квадратного уравнения

Ответ:

Задание 89.

Прямая проходит через точку А(1; 5) и пересекает параболу у = х 2 + х+1 в точках, сумма ординат которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.

Решение:

имеют абсциссы x₁ и х₂, являющиеся корнями квадратного уравнения

а сумма ординат точек пересечения равна

Следовательно, сумма ординат наименьшая при

Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Задание 90.

Ответ:

Задание 91.

и проходящую через точки этой линии с ординатами у = 1 и

Решение:

Находим точки В и С пересечения прямой с кривой

откуда х= 1, т.е. В (1; 1);

Записываем уравнение прямой, проходящей через точки В и С:

Вычисляем расстояние между точками А(3;-1) и D

Ответ:

Задание 92.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(5; 0) на касательную к параболе у = х 2 + 3, проведенную из точки В(0; 1).

Ответ:

Задание 93.

На оси ординат найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции

Решение:

Уравнение касательной имеет вид у = ах + b

Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения

Ответ:

Задание 94.

Указание:

Запишите уравнения касательных в виде

Далее см. решение задачи 93.

Ответ:

Задание 95.

Решение:

— это точка пересечения прямых (MN) и (А’В), где А’ — точка, симметричная A относительно прямой (MN) (см. задачу 7). Подумайте, почему это так? Теперь последовательно находим:

1) уравнение прямой (MN):

2) уравнение прямой (АА’):

3) координаты точки К, т. е. точки пересечения прямых (MN) и (АА):

4) координаты точки А (х0, у0); имеем

5) уравнение прямой (А’В):

6) координаты искомой точки С:

Ответ:

Задание 96.

Даны точка А(5; 7) и угол, уравнения сторон которого имеют вид у = 0 и у = х+5. Точки В и С лежат на разных сторонах угла. Найдите наименьшее значение периметра треугольника ABC.

Указание:

Наименьший периметр треугольника ABC равен длине отрезка PQ, где Р — точка, симметричная А относительно прямой у = 0, a Q — точка, симметричная А относительно прямой у = х + 5.

Ответ:

Задание 97.

Числа х, у и а удовлетворяют системе уравнений

При каком значении а произведение ху принимает наименьшее возможное значение?

Указание:

Сначала выясните, при каких а данная система имеет решение. Эти значения

Далее из системы выразите произведение ху через а и найдите минимум полученной функции на отрезке

Ответ

Источник