Что такое горизонтально проецирующая прямая

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

Упражнение

Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).

Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой АВ // π₁, равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

Источник

Статьи о радиотехнике, технологиях, чертежах, 3D-моделировании

Публикации для людей, интересующихся наукой и техникой

Начертательная геометрия является технической учебной дисциплиной, изучаемой в ВУЗах. Она изучает и объясняет способы изображений пространственных форм (линий, поверхностей, тел) на области и способы решений вопросов геометрического характера по заданным изображениям указанных форм.

СПЛОШНАЯ ТОЛСТАЯ ЛИНИЯ (стл) – отображение ортогонального и аксонометрического чертежа. Это результат прямоугольного проецирования видимых зрителю ребер объёмного объекта и контуров его кривых поверхностей. Согласно гост 2.303-68 стл используется для изображения линий рамки и основной надписи чертежа.

СПЛОШНАЯ ТОНКАЯ ЛИНИЯ (стнл) – вертикальные и горизонтальные линии чертежа, соединяющие между собой следов смежных проекционных плоскостей какой-либо вершины трехмерного объекта. Стнл используются на учебных чертежах, на производственных чертежах и называются проекционными линиями связи.

ШТРИХОВАЯ ЛИНИЯ (шл) – изображение на ортогональном и аксонометрическом чертежах контуров кривых поверхностей трехмерного объекта, не видимых зрителю. Гост 2.303-68 предлагает толщину шл на половину тоньше линий видимого контура объекта, изображаемого стл. При изображении шл понимается черточка короткий отрезок.

ШТРИХПУНКТИРНАЯ ЛИНИЯ (шпл) – рисунок на ортогональном и аксонометрическом чертеже предполагаемых линий: осей вращения, координат, симметрии. Указанные линии не являются частью конструкции проецируемого объекта, они не имеют реальной материализации. Использование на чертеже различных осей уточняет графическую историю о устройстве и технологии производства 3D объекта. Подробнее о выполнении чертежей и 3D объёмного моделирования можно узнать тут. Например, изображение шпл обращает призор на симметричность частей объекта, а изображение оси вращения кривой поверхности цилиндрического отверстия указывает направление движения оси бора при изготовлении этого отверстия. Шпл представляет собой чередование коротких линий и точек. Штрих понимается как черточка, короткий отрезок, а пунктир – (.). Применение на чертеже данной линии регламентируется гостом 2.303-68, в соответствии которому линия выступает за изображение от 2 до 7 мм.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ – это траектория движущейся в пространстве (.). Выделяют: кривые и прямые линии.

ВОСХОДЯЩАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ (вплоб) – пл, восходящая по мере удаления от зрителя. На чертеже размер координаты Z начала такой прямой всегда меньше, чем у точки окончания траектории этой прямой. В зависимости от того, где расположен конец вплоб, различают восходящую вправо и восходящую влево пл.

НИСХОДЯЩАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ (нплоп) – пл, убывающая по мере удаления от зрителя. На чертеже размер координаты Z начала такой прямой всегда больше, чем у точки окончания этой прямой. В зависимости от того, где расположен финиш восходящей прямой относительно наблюдателя, различают нисходящую вправо и нисходящую влево пл.

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ (плчп) – пл, ориентированы определенным образом относительно плоскостей проекций: ∥ и ⟂ принадлежащие плоскостям проекций.

ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (ппл) – пл, ⟂ плоскости проекций и при этом ∥ двум другим плоскостям проекций. Проекция прямой линии обращается точку на той плоскости, относительно которой отрезок ⟂, а на плоскостях проекций, которым она ∥, проецируется в натуральную величину (нв). Различают: горизонтально проецирующие, фронтально проецирующие, профильно проецирующие пл.

ГОРИЗОНТАЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (гппл) – пл, ⟂ горизонтальной плоскости проекций П₁ и при этом ∥ фронтальной П₂ и профильной П₃ плоскостям проекций. Фронтальная и профильная проекции (фпп) ортогонального чертежа этой прямой равны ее нв и расположены ∥ оси координат Z, а горизонтальная проекция – (.). Размеры одноименных координат Y и X всех точек такой пл равны, а размеры координаты Z отличаются друг от друга.

ФРОНТАЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (фппл) – пл, ⟂ фронтальной плоскости проекций П₂ и при этом ∥ горизонтальной П₁ и профильной П₃ плоскостям проекций. Гпп ортогонального чертежа этой пл равны ее нв и расположены ∥ оси координат Y, а фронтальная проекция – (.). Все (.) такой прямой имеют равные одноименные размеры координат X и Z.

ПРОФИЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (пппл) – пл, ⟂ профильной плоскости проекций П₃ и при этом ∥ горизонтальной П₁ и фронтальной П₂ плоскостям проекций. Горизонтальная и фронтальная проекции ортогонального чертежа этой прямой линии равны ее натуральной длине и расположены параллельно оси координат X, а профильная проекция – (.). Все точки такой пл имеют равные одноименные координаты Y и Z.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ УРОВНЯ (плу) – пл, ∥ одной из плоскостей проекций, на которую она проецируется без изменения, и проекция которой устанавливает углы наклона этой прямой к двум другим плоскостям проекций. При этом пл уровня не ∥ и не ⟂ двум другим плоскостям проекций и проецируется на эти плоскости с изменением размера длины. Делятся на: горизонтальную, фронтальную и профильную прямые линии уровня.

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ УРОВНЯ (гплу) – это пл, ∥ горизонтальной плоскости проекций П₁ и при этом не ∥ и не ⟂ фронтальной П₂ и профильной ₃ плоскостям проекций. Используется сокращенное название горизонтальное расстояние уровня, либо ее называют горизонталью и на чертеже обозначают буквой h. Так как все точки этой прямой линии равноудалены от плоскости проекций П₁, то фпп прямой соответственно ∥ координатным осям X и Y. На плоскость проекций П₁ горизонталь h проецируется без изменения своей длины и размеров углов наклона к плоскостям проекций П₂ и П₃.

ФРОНТАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ УРОВНЯ (фплу) – это пл, ∥ фронтальной плоскости проекций П₂. Используется сокращенное название фронталь и на чертеже обозначают f. Так как все точки этой пл равноудалены от плоскости проекций П₂, то гпп данной прямой соответственно ∥ координатным осям X и Z. На плоскость проекций П₂ без искажения проецируется длина отрезка прямой f и углы наклона этой прямой линии к плоскостям проекций П₁ и П₂.

ПРОФИЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ УРОВНЯ (пплу) – это пл, ∥ профильной плоскости проекций П₃. Используется сокращенное название профильная пу, которая на чертеже обозначается p. Так как все точки этой прямой линии равноудалены от плоскости проекций П₃, то гфп данной прямой соответственно параллельны координатным осям Y и Z. На плоскость П₃ проецируются без искажения отрезок этой прямой p и углы наклона прямой к плоскостям проекций П₁ и П₂. Если пплу, удаляясь от наблюдателя, поднимается, то называют восходящей. Если же пплу от наблюдателя удаляется вниз, то она считается нисходящей.

ЛИНИИ НУЛЕВОГО УРОВНЯ (лну) – пл, принадлежащие плоскостям проекций. Это частный случай горизонтальных, фронтальных и профильных прямых линий уровня. Они обозначаются: h₀, f₀, p₀. Так как данные линии находятся на поверхностях плоскостей проекций, то одна из координат (.) этих прямых равна 0. На эпюре две проекции лну конкурируют с осями координат, а третья проекция дает возможность определить нв этой прямой и углы наклона к плоскостям проекций.

СЛЕД ПРЯМОЙ ЛИНИИ (спл) – (.), в которой она пересекается с плоскостью проекций, т.е. (.), принадлежащая одновременно и прямой и плоскости проекций. Следы прямой являются (.) частного положения, в них пл переходит из одного октанта в другой. В общем случае пл может пересекать все три плоскости проекций и иметь три следа. Так как спл принадлежит плоскости проекций, одна из его координат равна 0. Различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой.

ВЗАИМНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (ппл) – это пл, имеющие одну общую (.). Проекция (.) пересечения прямых линий есть (.) пересечения проекций этих прямых. Проекции (.) пересечения пл на смежных плоскостях проекций лежат на одной проекционной линии связи, перпендикулярной оси координат.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (спл) – это пл, не пересекающиеся и не ∥ между собой, лежащие в двух ∥ плоскостях. На эпюре точки пересечения проекций этих прямых линий не лежат на одном отрезке проекционной связи. Для определения какая из изображенных на чертеже пл выше другой или ближе другой к наблюдателю анализируют положение конкурирующих (.) этих прямых.

Если через спл можно провести проецирующие плоскости, то тогда тени этих прямых будут ∥ на плоскости проекций, которой были ⟂ вводимые плоскости.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (ппл) – пл, расположенные в одной плоскости на не меняющемся расстоянии друг от друга на всем своем протяжении. ппл пересекаются только в несобственной (.). Проекции ппл на любую плоскость проекций – ∥. Особый случай представляют собой пл, ∥ одной из плоскостей проекций. Для оценки взаимного положения таких пл следует построить эпюр.

КОНКУРИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (кпл) – пл, расположенные в одной проецирующей плоскости, т.е. в плоскости ⟂ какой-либо плоскости проекций. На чертеже кпл проецируются в одну линию на одной из плоскостей проекций. Конкурирующими могут быть пересекающиеся или ∥ прямые, но не скрещивающиеся. В зависимости от положения проецирующей плоскости, в которой расположены пл, разделяют их на: горизонтально конкурирующие, фронтально конкурирующие и профильно конкурирующие пл.

ГОРИЗОНТАЛЬНО КОНКУРИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (гкпл) – пл, расположенные на поверхности плоскости ⟂ горизонтальной плоскости проекций П₁. Горизонтальные проекции таких пл конкурируют с горизонтальным следом плоскости, которой они принадлежат.

ФРОНТАЛЬНО КОНКУРИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (фкпл) – пл, расположенные на поверхности фронтально проецирующей плоскости. Фп таких пл совмещены с фронтальным следом плоскости, которой они принадлежат.

ПРОФИЛЬНО КОНКУРИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (пкпл) – пл, расположенные на поверхности профильной проецирующей плоскости. Пп таких пл совмещены с профильным следом плоскости, которой они принадлежат.

ТЕОРЕМА ОБ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ ПРЯМОГО УГЛА: если одна из сторон прямого угла ∥ плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется ортогонально на эту плоскость проекций без искажения, т.е. прямым углом.

Если ни одна из сторон прямого угла не является линией уровня, то необходимо преобразование чертежа, например, заменой плоскостей проекций.

Источник

Горизонтально – проецирующая прямая

Прямая, параллельная плоскостям π₂ и π₃, т.е. перпендикулярная к π₁, называется горизонтально-проецирующей. На рисунках 13 изображен отрезок прямой MN_┴π₁.

Рис. 13

Прямая, параллельная плоскостям π₁ и π₃, т.е. перпендикулярная к π₂, называется фронтально-проецирующей. На рисунках 14 изображен отрезок прямой KL_┴π₂.

Рис.14

У фронтально-проецирующей прямой проекцией на фронтальную плоскость будет являться точка. На горизонтальную и профильную плоскости проекций она спроецируется в отрезки, равные по длине самому отрезку прямой (K′ L′ = K′′′ L′′′ = [KL]).

Прямая, параллельная плоскостям π₁ и π₂, т.е. перпендикулярная к π₃, называется профильно–проецирующей. На рисунках 15 изображен отрезок прямой GF_┴π₃.

Рис. 15

У профильно-проецирующей прямой проекция на профильную плоскость проекций представит собой точку. На горизонтальную и фронтальную плоскости она спроецируется в отрезки прямых, параллельных между собой и равных по длине самому отрезку (G′F′=G′′F′′=[GF]).

Прямые, параллельные двум плоскостям проекций и перпендикулярные к третьей называются проецирующими.

Прямые уровня и проецирующие называют прямыми частного положения.

Прямая общего положения

Прямая, непараллельная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунках 16 изображен отрезок прямой ВС – общего положения.

У прямой общего положения ни одна из проекций не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней. Каждая из проекций меньше самого отрезка, (В′С′ о – это угол, который образует профильно – проецирующая плоскость α с горизонтальной плоскостью проекций.

Главные линии плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относят горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций Горизонтали принято обозначать на чертежах буквой h (рис. 29).

На рисунке 29 построены горизонтали плоскостей α и β (∆АВС).

Т. к. горизонталь плоскости есть прямая, параллельная плоскости π₁, то фронтальную проекцию h′′ строят параллельно оси х. Плоскость α на рисунке 29 задана следами и горизонтальный след этой плоскости есть ее нулевая горизонталь. Горизонтальная проекция горизонтали h′ параллельна горизонтальному следу плоскости h_оα.

Построенная прямая АК на рисунке 29 является горизонталью плоскости β (∆АВС); эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки ей принадлежащие и параллельна плоскости π₁.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π₂.

Фронтали принято обозначать на чертежах буквой f (рис. 30).

Построение фронталей начинают с построения горизонтальной проекции – f ′.

Т. к. фронталь плоскости есть прямая параллельная плоскости π₂, то горизонтальную проекцию f ′ строят паралельно оси х. Фронтальный след плоскости α есть ее нулевая фронраль, поэтому фронтальная проекция фронтали – f ′′ (рис. 30) параллельна фронтальному следу плоскости – f_оα.

Построенная на рисунке 30 прямая AК является фронталью плоскости ∆АВС; эта прямая лежит в плоскости, т. к. проходит через точки А и К, принадлежащие ей, и параллельна плоскости π₂.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник