Градиент функции нескольких переменных
Градиентом функции называется вектор вида
для функции двух переменных формула градиента:
для функции трех переменных формула градиента: 
Величина градиента функции, в которой производная имеет наибольшее значение определяется по формуле:
для двух переменных:
для трех переменных:
Градиент часто обозначается символом «перевернутого треугольника» — оператор Набла: ∇
Градиент дифференцируемого скалярного поля: 
Градиент характеризует скорость изменения функции.
Пример
Найдите градиент функции двух переменных и величину градиента функции
f(x,y)=2y 3 +4x 2
в точке M(2;1).
Решение
Найдем частные производные функции первого порядка
Найдем значение функции в точке M(2;1)
Найдем величину градиента функции в этой точке
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 5
Градиент функции двух переменных
Градиент функции двух переменных
Для анализа направления изменения функции двух переменных в пространстве весьма полезной является векторная характеристика — градиент. Градиентом (или вектор — градиентом) функции 
называется вектор, координатами которого являются частные производные функции:
Здесь 
— обозначение градиента (оператор Гамильтона «набла»>. Градиент функции 
в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Зная градиент функции в нескольких точках, можно, по крайней мере, локально, строить линии уровня функции на основе следующей теоремы: пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке 
величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня (точнее, касательной к линии уровня), проходящей через данную точку.
Таким образом, линии уровня можно построить следующим образом. Предположим, мы начинаем с точки 
. Построим в ней градиент. Задаем направление, перпендикулярное градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее рассмотрим близкую точку 
и построим градиент в ней. Продолжая этот процесс, можно (с определенной погрешностью) построить линии уровня.
Как и в случае обычных векторов, длину (или модуль) вектора — градиента можно определить в каждой точке по формуле
Модуль градиента — величина максимальной скорости изменения функции в данной точке по направлению, показываемому вектором — градиентом.
Остальные темы находится на этой странице и там же можно заказать любые работы по высшей математике:
Обратите внимание на эти страниц, возможно они вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Билет №7. Градиент функции двух переменных и его свойства
Градиент функции –это вектор, координаты которого являются частными производными этой функции.
U=f(x1; x2…; xn) gradU=(u’ x1 ; u’ x2…;u’ xn)
1) Градиент показывает направление максимального возрастания функции.
2) В каждой точке области определения градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку(то есть касательной к линии уровня)
3) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору gradu, равна нулю.
C= √x^2 +y^2
Вопрос №8
Градиент и производная по направлению.
Если в пространстве R (2) в некоторой области D задана функция двух переменных u = u(x;y), то совокупность точек области D, в которых u(x;y)=с, (с 
) образуют линии, называемые линиями уровня.
Если в пространстве R (3) в некоторой области D задана функция трех переменных u = u(x;y;z), то совокупность точек области D, в которых u(x;y;z)=с, (с ) образуют поверхности, называемые поверхностями уровня.
Градиентом дифференцируемой функции u = u(x;y) (u = u(x;y;z)) называется вектор, перпендикулярный к линии (поверхности) уровня функций u = u (x;y) (u = u (x;y;z)):
 |
 |
Производная по направлению вектора 
.
Пусть в области D задана скалярная функция u = u(x;y;z) и выделена поверхность уровня u(x;y;z)=с, на которой взята точка М(х;y;z).
Спроектируем 
на плоскость 
xoy: прxoyΔl=М’М’1. Нормируем вектор ( 
):
, где 
, 
, 
, 
.
Запишем полное приращение 
Разделим приращение Δu на 
.
Переходя к пределу при → 0, будем иметь значение производной по направлению вектора в R (3) : 
.
Производная по направлению – скорость роста функции u(x;y;z) по направлению вектора .
Связь производной по направлению и градиента.
Терема. Если в области D пространства R (3) задана непрерывная дифференцируемая функция u = u(x;y;z), определены в любой точке D
то производная по направлению вектора равна проекции градиента на его направление, то есть 
.
Свойства производной по направлению.
БИЛЕТ № 9.
Определение локального экстремума функции 2-х переменных:
Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек
А если же для всех точек
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y).
Пример локального максимума, не являющегося максимумом на области определения.
Z= (x²+y²+1)×(cos( 
/2(x²+y²))
Пример точки экстремума, в которой не существует производной ни по одному направлению.
z=√x²+y² (Под корнем выражение x²+y²)
Рассмотрим точку (0;0). В этой точке направление y=kx.
Производная по x =(1/(2×√x²+(kx)²))×(2x+(k×2x)) ( Под корнем выражение x²+(kx)² )
(Корень рассматриваем арифметический). Ни по одному направлению производной не существует, хоть точка и является экстремумом.
Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры
Понятие производной по направлению
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
Величину отрезка MM 1 можно обозначить 
.
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел отношения 
при 
, если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается 
, то есть
.
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.
Примеры нахождения производной по направлению
Пример 1. Найти производную функции 
в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора 
.
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
Пример 3. Найти производную функции 
в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора 
.
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных 
, 
, 
этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.
Градиент заданной функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Определить градиент заданной функции
Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
Частные производные имеют вид:
\[\overrightarrow
Готовые работы на аналогичную тему
Определить градиент заданной функции
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
\[\left(\overrightarrow
Частные производные имеют вид:
\[\left(\overrightarrow
Записать уравнение линии уровня в условиях примера 2.
Решение:
Выражение для линии уровня имеет вид:
В условиях примера 2 получаем:
Подставив координаты точки, вычислим значение константы:
Определить градиент заданной функции
Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
Частные производные имеют вид:
\[\overrightarrow
Определить градиент заданной функции
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
\[\left(\overrightarrow
Частные производные имеют вид:
\[\left(\overrightarrow
Перечислим некоторые свойства градиента:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 04 2021
