Что такое граф эл цепи

Что такое граф эл цепи

Электрическая цепь есть соединение таких элементов электрической цепи, как резисторы, емкости, индуктивности, а также источники напряжения и тока. Каждому элементу цепи сопоставляются две переменные: переменная напряжения и переменная тока Для этих переменных необходимо определить исходные направления, так как они являются функциями времени и могут принимать положительные и отрицательные значения. Это делается указанием стрелкой, названной направлением, для каждого элемента цепи (рис. 11.1). Эта стрелка означает, что величина положительна, если ток течет по направлению стрелки.

Рис. 11.1. Представление элемента цепи.

Далее принимаем, что полярность напряжения считается положительной у оперения стрелки. Таким образом, величина является положительной, когда падение напряжения в элементе цепи направлено вдоль стрелки. Элементы цепи характеризуются физическими соотношениями между переменными тока и напряжения. Иногда может оказаться необходимым, чтобы для некоторых элементов цепи были заданы значения напряжения, а для других — значения токов. Такие элементы называются источниками напряжения и тока соответственно.

Двумя фундаментальными законами теории электрических цепей являются законы Кирхгофа, которые можно сформулировать следующим образом:

Закон Кирхгофа для токов (ЗКТ). Алгебраическая сумма токов, вытекающих из узла, равна нулю.

Закон Кирхгофа для напряжений (ЗКН). Алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю.

Например, для цепи, показанной на рис. 11.2, а, уравнения ЗКТ и ЗКН приведены ниже:

Уравнения ЗКТ

Для заданной электрической цепи N задача анализа состоит в том, чтобы определить напряжения и токи в элементах, которые удовлетворяют законам Кирхгофа, и соотношения ток — напряжение, характеризующие различные элементы, образующие цепь.

Рис. 11.2. Представление цепи ориентированным графом. а — цепь — ориентированный граф

Отметим, что уравнения, которые возникают при применении законов Кирхгофа, носят алгебраический характер и зависят только от взаимосвязи элементов в цепи, а не от их природы. Существует несколько свойств электрической цепи, которые зависят от ее структуры. Изучая такие свойства, удобнее рассматривать каждый элемент цепи как ориентированное ребро, связанное с двумя переменными: Таким образом, можно рассматривать схему электрической цепи как ориентированный граф, в котором каждому ребру сопоставлены две переменные: необходимые для выполнения законов Кирхгофа и некоторых определенных физических соотношений. Например, ориентированный граф, соответствующий цепи, представленной на рис. 11, 2, а, изображен на рис. 11.2, б.

Легко видеть, что уравнения ЗКТ и ЗКН для цепи N можно записать как соответственно, где — матрица разрезов и цикломатическая матрица ориентированного графа, сопоставленного цепи N, а и — вектор-столбцы токов и напряжений соответственно на элементах цепи N. Во всех рассуждениях в этой и последующих главах будем обозначать как электрическую цепь, так и соответствующий ей ориентированный граф одним и тем же символом. Чаще всего граф будет пониматься как цепь и наоборот. Таким образом, такие относящиеся к графу определения, как связность, цикломатическое число, ранг, оказываются применимыми и к цепи. Также будем понимать под узлом вершину.

В этой главе мы обсудим некоторые аспекты анализа цепей, которые в значительной степени зависят от теории графов. Нашей основной задачей здесь будет подчеркнуть полезность теории графов при систематическом построении уравнений цепи и раскрытии некоторых фундаментальных свойств электрических цепей.

Источник

Решение задач

Топологические графы электрических цепей

В общем случае граф есть совокупность отрезков произвольной длины и формы, называемых ветвями (рёбрами), и точек их соединения, называемых узлами (вершинами). В теории электрических цепей в основном находят применение направленные, или ориентированные графы у которых каждому ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой.

Различают направленные топологические графы и направленные графы прохождения сигналов. Направленный топологический граф является упрощенной моделью электрической цепи, отражающей только ее топологические (структурные) свойства.

Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости и определяются только числом ветвей p, числом узлов q и способом соединения ветвей между собой. Графы, имеющие одинаковые количества узлов и ветвей, соединенных между собой одинаковым образом, называются изоморфными (рис. 2.6). Изменяя длину и форму ветвей, а также взаимное расположение узлов графа на плоскости, можно получить бесчисленное множество графов, изоморфных исходному. Такие преобразования графа называются изоморфными преобразованиями. Каждый из вариантов изображения графа, полученный путем таких преобразований, называется его геометрической реализацией.

Если узел является концом ветви , то говорят, что они инцидентны. Каждая ветвь графа инцидентна двум узлам. Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ветвей графа содержит и все инцидентные им узлы, называется подграфом.

Замкнутый путь, т. е. путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают, называется контуром. Каждому из узлов контура инцидентны две ветви. Очевидно, что между контурами графа и контурами исходной цепи существует взаимно однозначное соответствие.

Добавление к дереву графа любой главной ветви образует контур. Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его главных ветвей, называются главными контурами (рис. 2.8). Таким образом, главный контур состоит из ветвей дерева и одной главной ветви. Каждому дереву соответствует своя система из n = p – q + 1 главных контуров, причем главные контуры, соответствующие определенному дереву, отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью, а именно главной ветвью, входящей в каждый из главных контуров. Каждому главному контуру обычно присваивают номер и приписывают ориентацию (направление обхода), совпадающие с номером и ориентацией соответствующей главной ветви.

Источник

Что такое граф эл цепи

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы А Н путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S 2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

.

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

I=

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Отсюда для первого узла получаем

,

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

— и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

,

откуда, например, для первого контура получаем

,

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

=

причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

Контрольные вопросы и задачи

.

Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера.

Источник

Топологический граф электрических цепей

Графом электрической цепи называется условное изображение электрической цепи, в котором каждая ветвь цепи заменяется отрезком линии. При этом идеальный источник напряжения учитывается как короткозамкнутая ветвь, а идеальный источник тока — как разомкнутая ветвь.

Ветвью графа называется отрезок линии, соответствующий ветви электрической схемы.

Узлом графа называется точка соединения трех и более ветвей.

Граф, ветвям которого заданы определенные направления, указанные стрелкой, называется направленным. Направления ветвей графа, которые указывают стрелками, совпадают с положительными направлениями токов, протекающих по соответствующим ветвям цепи. Граф, у которого не указаны направления ветвей, называется ненаправленным.

Граф строится в соответствии с эквивалентной схемой цепи путем замены каждой её ветви отрезком линии, которая рассматривается как ветвь графа. При этом каждый узел цепи преобразуется в узел графа. Нумерация ветвей и узлов графа такая же, что нумерация ветвей и узлов цепи.

Деревом графа называется его часть, содержащая все узлы, но не содержащая ни одного контура. Ветви графа, образующие дерево, называются ветвями дерева. Число ветвей дерева определяется по формуле , где — число узлов графа. В качестве ветвей дерева запрещается выбирать ветви, содержащие источник тока.

Главными ветвями графа называются ветви, не вошедшие в дерево. Число главных ветвей определяется по формуле , где — число ветвей графа.

Главными контурами графа называются контура, образованные путем последовательного добавлением к дереву графа его главных ветвей. Число главных контуров равно числу главных ветвей .

На рис. 3.4, а изображена схема электрической цепи, а на рис. 3.4, б её направленный граф. В качестве дерева выбраны ветви 2 и 4. Ветви 1, 3, 5 являются главными ветвями графа, которые совместно с ветвями дерева образуют три главных (независимых) контура I, II и III.

Таким образом, граф можно рассматривать как упрощенную модель электрической цепи, отражающую ее структуру.

Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 3459 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Содержание:

Метод сигнальных графов

Общие представления о сигнальных графах:

Решение уравнения электрического равновесия сложных цепей даже в численной форме весьма трудоемко. Задача анализа цепи становится особенно сложной тогда, когда неизвестные токи и напряжения или комплексные частотные характеристики должны быть найдены в виде аналитических соотношений. В этих случаях весьма полезным может оказаться применение метода сигнальных графов, который позволяет упростить решение уравнений электрического равновесия линейных электрических цепей в аналитическом виде (символьной форме).

Как известно, сигнальный граф, или направленный граф прохождения сигналов, представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений, описывающей процессы в электрической цепи. Узлы (вершины) такого графа соответствуют входящим в эту систему неизвестным величинам (токам и напряжениям ветвей, контурным токам, узловым напряжениям) и величинам, характеризующим внешние воздействия на цепь (токам независимых источников тока, э. д. с. независимых источников напряжения, контурным э. д. с., узловым токам). Ветви сигнального графа отображают причинно-следственные связи между величинами, соответствующими отдельным узлам. В рамках метода сигнальных графов эти величины называются сигналами. Каждой ветви сигнального графа приписывается определенное направление и присваивается весовой коэффициент, который называется передачей ветви. Узлы сигнального графа обозначают теми же буквами, что и соответствующие узлам величины; направления ветвей показывают стрелками, около которых указывают передачу ветви.

Если ветвь с передачей А направлена от узла

следовательно, при прохождении через ветвь сигнал умножается на передачу ветви. Разрешим уравнение (4.33) относительно

Сигнальный граф, соответствующий этому уравнению (рис. 4.18,6), будет отличаться от сигнального графа, соответствующего уравнению (4.33), направлением и передачей ветви. Таким образом, вид сигнального графа зависит от того,

относительно какой из величин разрешено заданное уравнение, т. е. от того, какая из величин рассматривается как причина, а какая — как следствие.

Если в узле сходится несколько ветвей (рис. 4.19, а), то значение сигнала в этом узле будет равно сумме сигналов всех входящих в него ветвей:

где N — число ветвей, направленных к узлу — передача ветви, направленной от узла к узлу Ветви, направленные от узла на сигнал в этом узле не влияют и при подсчете не учитываются. В число ветвей, направленных к рассматриваемому узлу, могут входить и ветви, начинающиеся в данном узле (рис. 4.19, б). Такие ветви называются петлями. Значение переменной в узле, к которому подключена одна или несколько петель, находится по общему правилу (4.35), например (на рис. 4.19,6)

Из выражения (4.36) видно, что при наличии петель, подключенных к какому-либо узлу, переменная, соответствующая этому узлу, входит и в левую, и в правую часть уравнения (4.35).

Рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к сигнальным графам.

Истоком называется узел сигнального графа, от которого направлены все примыкающие к нему ветви. Узел сигнального графа, к которому направлены все примыкающие к нему ветви, называется стоком. Узлы, которые имеют как входящие, гак н исходящие ветви, называются смешанными. Например, в графе (рис. 4.18, а) узел — исток, узел — сток; в графе (рис. 4.19, 6) узлы — истоки, узел — сток, узел — смешанный.

Если сигнал, соответствующий некоторому узлу сигнального графа, не выражается через сигналы других узлов, то такой узел является независимым. Если сигнал, соответствующий какому-либо узлу, выражается через сигналы других узлов, то такой узел является зависимым. К независимым узлам относятся истоки, к зависимым—стоки и смешанные узлы Очевидно, что уравнения вида (4.35) могут быть составлены только для зависимых узлов.

Пример №1

В сигнальном графе (рис. 4.20) узлы — истоки, узел — сток, узлы относятся к смешанным. Для зависимых узлов — можно составить систему уравнений

Путь между узлами сигнального графа — это непрерывная последовательность однонаправленных ветвей, связывающая узел с узлом и проходящая через каждый узел графа не более одного раза. Произведение передач ветвей, образующих путь между узлами называется передачей пути Так, между узлами сигнального графа (рис. 4.20) можно указать три пути с передачами (ветви d, g, k и р), =dgmp и = denp. Последовательность ветвей d, с, m и р не образует пути от вершины к вершине так как направление ветви с не совпадает с направлением пути.

Замкнутый путь, который начинается н заканчивается в одном узле, называется контуром. Очевидно, что петля есть частный вид контура, в который входит одна ветвь. Произведение передач всех ветвей, входящих в j-й контур, называется передачей контура На рис. 4.20 можно выделить четыре контура с передачами = be (ветви b и е), = gc (ветви g и с), = а (петля а) и = f (петля f). Ветви k и m не образуют контура, так как они не представляют собой замкнутой последовательности однонаправленных ветвей. Такие ветви называются параллельными.

Два контура или контур и путь называются соприкасающимися, если они имеют общие узлы. Если два контура или контур и путь не имеют общих узлов, то они являются несоприкасающимися. На рисунке контуры с передачами =gc и = a и =f являются иесоприкасающимися, а контуры с передачами = be и = gc, = be и = be и = а — соприкасающимися. Контур с передачей = f не соприкасается с путями но соприкасается с путем Как видно из примера 4.13, каждому сигнальному графу можно однозначным образом поставить в соответствие систему линейных алгебраических уравнений, составленных относительно сигналов зависимых узлов.

Для решения обратной задачи — построения сигнального графа, соответствующего заданной системе уравнений, эта система уравнений должна быть приведена к причинно-следственной форме, т. е. каждое из входящих в систему уравнений должно быть разрешено относительно одной из переменных (различных для каждого из уравнений). Далее, определяется общее число узлов графа N, которое равно сумме числа неизвестных переменных и числа ненулевых свободиых членов уравнений. Построение сигнального графа начинается с нанесения точек, соответствующих его узлам. Затем узлы графа, в соответствии с системой уравнений, приведенной к причинно-следственной форме, соединяются между собой ветвями так, чтобы сумма сигналов всех ветвей, сходящихся в каждом узле, равнялась бы значению сигнала этого узла.

Хотя свойства сигнального графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости чертежа, с целью повышения наглядности рекомендуется истоки располагать в левой части чертежа, стоки — в правой, а остальные узлы — между ними.

В связи с тем что одну н ту же систему уравнений можно различными способами привести к причинно-следственной форме, каждой системе уравнений можно поставить в соответствие некоторое множество графов. Различные графы, соответствующие одной и той же исходной системе уравнений, называются равносильными. Рассмотрим несколько примеров построения графов, соответствующих заданной системе уравнений.

Пример №2

Построим сигнальный граф, соответствующий системе уравнений

Приведем данную систему уравнений к причинно-следственной форме, для чего разрешим первое уравнение относительно второе — относительно а третье — относительно

Число независимых переменных в этой системе уравнений равно трем, число ненулевых свободных членов — двум, следовательно, общее число узлов сигнального графа равно пяти. Располагая в левой части чертежа независимые узлы, соответствующие свободным членам а в правой части узлы, соответствующие неизвестным величинам и соединяя их ветвями в соответствии с системой уравнений, преобразованной к причинно-следственной форме, получим сигнальный граф, изображенный на рис. 4.21, а.

Исходная система уравнений может быть приведена к причинно-следственной форме и другим способом. Прибавляя к правой и левой частям первого уравнения второго третьего и выполняя преобразования, получим

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.21, б.

Графы (рис. 4.21, а, б) имеют различную структуру и передачи ветвей, однако они соответствуют одной и той же исходной системе уравнений и поэтому являются равносильными. Очевидно, что если первое уравнение, входящее в исходную систему, разрешить не относительно а относительно то получатся другие варианты представления исходной системы уравнений в причинно-следственной форме, каждому из которых можно поставить в соответствие сигнальные графы, равносильные графам, изображенным на рис. 4.21.

Пример №3

Составим сигнальный граф, соответствующий узловым уравнениям цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Узловые уравнения данной цепи были получены при рассмотрении примера 4.4.

Разрешая первое из уравнений относительно а второе — относительно получаем

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, приведенный на рис. 4.22.

Пример №4

Используя метод контурных токов, составим систему уравнений для определения тока цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Построим также сигнальный граф, соответствующий этой системе уравнений.

Контурные уравнения рассматриваемой цепи были сформированы при рассмотрении примера 4.3. Дополняя эти уравнения соотношением, связывающим ток с контурными токами получаем

Разрешим каждое из этих уравнений относительно одной из неизвестных величин:

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.23.

Преобразования сигнальных графов

Используя правила построения сигнальных графов, соответствующих заданной системе уравнений, можно убедиться, что каждому равносильному преобразованию исходной системы уравнений соответствует некоторое преобразование сигнального графа и, наоборот, каждому преобразованию сигнального графа соответствует определенное преобразование исходной системы уравнений. На практике оказывается, что преобразования сигнальных графов выполняются проще и в более наглядной форме, чем преобразование соответствующих им уравнений. Поэтому при анализе цепей во многих случаях преобразование уравнений электрического равновесия заменяется преобразованием соответствующих сигнальных графов

Рассмотрим основные преобразования сигнальных графов.

Объединение параллельных ветвей. Две параллельные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей А + В. Действительно в соответствии с рис. 4.24, а сигнал в узле, к которому сходятся ветви с передачами А и В, исходящие из узла будет равен

Последнему уравнению соответствует сигнальный граф, имеющий одну ветвь с передачей А + В, направленную от узла к узлу (рис. 4.24, б). Правило объединения параллельных ветвей обобщается на любое число параллельно включенных ветвей, его можно применять для объединения петель, подключенных к одному узлу (рис. 4.25).

Объединение последовательности однонаправленных ветвей. Две последовательно включенные однонаправленные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей АВ.

Действительно, графу, приведенному на рис. 4.26, а может быть поставлена в соответствие система уравнений

Исключая из (4.37) переменную получаем

Уравнению (4.38) соответствует сигнальный граф, содержащий одну ветвь с передачей АВ (рис. 4.26, б). Рассмотренное преобразование представляет собой частный случай устранения смешанного узла сигнального графа.

Устранение промежуточного узла. Смешанный узел, к которому подключено несколько не образующих контуров ветвей, причем только одна из ветвей направлена к узлу (рис. 4.27, а) или только одна из ветвей направлена от узла (рис. 4.27, в), называется промежуточным.

Для устранения промежуточного узла первого типа, в которой входит только одна ветвь, составим систему уравнений

и исключим из нее переменную

Системе уравнений (4.39) соответствует граф, не содержащий промежуточного узла (рис. 4.27, б). Аналогичным образом устраняется промежуточный узел, в который входит несколько ветвей, а выходит только одна (рис. 4.27, г).

Устранение контура. Сигнальному графу, изображенному на рис. 4.28, а, может быть поставлена в соответствие система уравнений

Подставляя первое из этих уравнений во второе, получаем

Уравнению (4.40) соответствует преобразованный граф, приведенный на рис. 4.28, б.

Исключение петли. Исключение петли с передачей А, подключенной к какому-либо узлу сигнального графа, сопровождается умножением передач ветвей, входящих в этот узел, на 1/(1 — А).

Действительно, для сигнального графа, приведенного на рис. 4.29, а, можно составить систему уравнений

Приводя в первом из этих уравнений подобные члены н разрешая его относительно получаем

Как видно из соответствующего системе уравнений (4.41) сигнального графа (рис. 4.29, б), после устранения петли передачи ветвей, входящий в узел оказались умноженными на 1/(1-С), а передача ветви, выходящей из узла осталась без изменения.

Применяя операцию устранения петли, преобразовавшей граф (см. рис. 4.28, б) можно заменить одной ветвью (см. рис. 4.28, в).

Инверсия (изменение направления) ветви. Рассмотрим некоторый граф (рис. 4.30, а), которому соответствует система уравнений

Пусть необходимо изменить направление какой-либо ветви, например, направленной из вершины в вершину С этой целью разрешим первое из уравнений (4.42) относительно

Системе уравнений (4.43) соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.30, б. Как видно из сравнения рис. 4.30, а и б, инвертирование ветви, направленной от узла к узлу сопровождается изменением передач и точек подключения всех ветвей, ранее направленных к узлу

Ветвь с передачей А, направленная от узла к узлу заменяется направленной от узла к узлу с передачей l/А. Все ветви, ранее направленные к узлу заменяются ветвями, направленными к узлу передачи этих ветвей умножаются на —1/А. Ветви, не направленные ранее к узлу при инвертировании ветви, направленной к остаются без изменений.

Расщепление узла. В связи с тем что сигнал в каждом узле сигнального графа определяется только сигналами входящих в него ветвей, любой узел сигнального графа может быть расщеплен на два узла: один — содержащий все ветви, направленные к узлу, другой — направленные от узла. Так, узел графа, изображенного на рис. 4.31, а, может быть расщеплен на два узла (рис. 4.31, б). Узел, который содержит только исходящие из него ветви (исток), может быть расщеплен на произвольное количество узлов, не превышающее числа исходящих из него ветвей (рис. 4.31, в).

Удлинение узла. В ряде случае возникает необходимость во введении в сигнальный граф дополнительного узла, сигнал в котором совпадает с сигналом в одном из узлов сигнального графа. Такая операция называется удлинением узла . Для удлинения узла этот узел должен быть соединен с вновь вводимым узлом ветвью, передача которой равна единице. Например,

для удлинения узла (рис. 4.32, а) введем новый узел и соединим его с узлом ветвью, передача которой равна единице (рис. 4.32, б).

Совместное проведение описанных преобразований позволяет, как правило, существенно упростить структуру сигнального графа. Конечной целью преобразований обычно является получение наиболее простого графа, не допускающего дальнейших упрощений. Такой граф называется конечным. Конечный граф не содержит смешанных узлов, а включает в себя только стоки и истоки.

Пример №5

Упростим сигнальный граф, изображенный на рис. 4.23. Для этого последовательно исключим контур (рис. 4.33, а), петлю (рис. 4.33, б), промежуточный узел (рис. 4.33, в) и объединим параллельные ветви (рис. 4.33,г). Преобразованный граф, (рис. 4.33, г) не содержит смешанных узлов и не подлежит дальнейшему упрощению. Этот граф является конечным.

Применение сигнальных графов к анализу цепей

Применение метода сигнальных графов при анализе цепей оказывается весьма эффективным в тех случаях, когда требуется определить ток или напряжение только одной из ветвей цепи, а также найти ее комплексные частотные характеристики.

Как отмечалось, используя различные преобразования, исходный сигнальный граф можно привести к конечному. Если истоками графа являются узлы, сигналы которых есть комплексные изображения величин, характеризующих внешние воздействия на зажимах i—i’, а стоками — узлы, сигналы которых представляют собой комплексные изображения искомых токов или напряжений ветвей, подключенных к зажимам j—j’, то, используя конечный граф, можно записать соотношения, в явной форме выражающие зависимость искомых неизвестных токов и напряжений от величин, характеризующих внешние воздействия. Передача ветви конечного графа, связывающей исток со стоком будет равна комплексной частотной характеристике цепи измеренной в режиме, когда все источники внешнего воздействия, за исключением выключены.

Трудоемкость преобразования сигнального графа к конечному во многом определяется выбором исходной системы уравнений электрического равновесия и тем, каким образом осуществлен переход от исходной системы уравнений к сигнальному графу. Для уменьшения числа узлов сигнального графа в качестве исходной системы уравнений рекомендуется применять систему уравнений электрического равновесия цепи, составленную по методу узловых напряжений или контурных токов, дополнив ее уравнениями, связывающими искомые токи и напряжения с контурными токами или узловыми напряжениями.

Пример №6

Определим ток цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а, преобразуя сигнальный граф этой цепи (см. рис. 4.23) в конечный.

Граф, приведенный на рис. 4.23, соответствует контурным уравнениям рассматриваемой цепи, дополненным уравнением, выражающим связь искомого тока с контурными токами (см. пример 4.16). Преобразование этого графа в конечный было проведено в примере 4.17. Непосредственно по виду конечного графа записываем выражение для искомого тока

которое совпадает с выражениями для этого тока, полученными с использованием метода наложения (см. пример 4.8) и теоремы об эквивалентном источнике (см. пример 4.12).

Передача ветви, связывающей исток J и сток равна комплексному коэффициенту передачи цепи по току от зажимов 5—5′ к зажимам 6—6′ (номера зажимов совпадают с номерами ветвей) в режиме, когда источник закорочен:

Передача ветви, направленной от истока к стоку равна передаточной проводимости цепи в режиме, когда ветвь с источником тока разомкнута:

Следует отметить, что сведение исходного сигнального графа к конечному, особенно для сложных цепей, может оказаться трудоемким. Кроме того, если необходимо определить несколько неизвестных величин, эту процедуру приходится выполнять несколько раз. Поэтому в таких случаях для нахождения комплексных частотных характеристик цепи и неизвестных токов и напряжений целесообразно воспользоваться формулой Мейсона, которая позволяет вычислять передачи ветвей конечного графа непосредственно по исходному сигнальному графу, не прибегая к его преобразованиям.

Формула Мейсона имеет вид

где — определитель сигнального графа, численно равный определителю исходной системы уравнений; — передача k-гo пути от истока к стоку — алгебраическое дополнение k-гo пути. Суммирование производится по всем возможным путям из узла в узел Определитель сигнального графа

где —сумма передач всех контуров сигнального графа; — сумма произведений передач всех возможных пар несоприкасающихся контуров; —сумма произведений передач всех несоприкасающихся троек контуров и т. д. Алгебраическое дополнение k-гo пути также вычисляется по формуле (4.45), но при этом учитываются только контуры, не касающиеся пути

Пример №7

Используя формулу Мейсона, определим передаточную проводимость цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а).

Сигнальный граф, составленный с использованием контурных уравнений цепи, был приведен на рис. 4.23 (см. пример 4.16). Этот граф содержит единственный контур, передача которого

Используя выражение (4.45), найдем определитель сигнального графа

Между узлами существует единственный путь, проходящий по ветвям с передачами — и —1. Передача этого пути Единственный контур сигнального графа имеет общую вершину с данным путем, поэтому = 1.

Подставляя полученные значения в формулу Мейсона, получаем

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с выражениями для полученными другими методами (см. примеры 4.8, 4.12, 4.18).

Пример №8

Используя формулу Мейсона, определим комплексный коэффициент передачи по току цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Сигнальный граф рассматриваемой цепи изображен на рис. 4.23. Выражение для определителя этого графа было получено в примере 4.19. Между узлами существуют два пути с передачами

Алгебраическое дополнение первого пути

Алгебраическое дополнение второго пути равно единице. Используя формулу Мейсона, находим

Нетрудно убедиться, что полученное выражение совпадает с выражениями для найденными другими методами.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник