Что такое наименьшее кратное число в математике 6 класс
Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК
Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Решение
Решение
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
Решение
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Решение
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
Решение
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Решение
Урок 7 Бесплатно Наименьшее общее кратное
Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.
Наименьшее общее кратное
Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.
Пример
1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5
2) из них найти общие кратные
3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5
Решение:
1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.
Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.
3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.
Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.
Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)
Как же можно найти этот НОК?
I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.
НОК (12, 18)=36
II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.
В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2
Пример 1
Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:
Решение:
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
А) 15 и 25
Б) 10 и 6
В) 100 и 84
Г) 36 и 69
Д) 74 и 12
Е) 96 и 50
Решение:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
«Крат» в древней Руси XI века значило дословно «раз».
Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».
Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства НОК
Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:
Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.
Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.
Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.
Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.
Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81
Пример 1
Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?
Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?
Найдите НОК получившегося произведения.
Решение:
Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 45 и 135; б) 34 и 170
Равно ли оно одному из данных чисел?
Решение:
Пример 3
Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.
Решение:
Надо найти НОК (75; 30).
Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, равно 150 м.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
По разобранным примерам видно, что в НОК не входит наибольший общий делитель чисел.
Получаем такое свойство: произведение любой пары натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)
Пример использования формулы:
Используем алгоритм Евклида:
Итак, можно выделить еще один, уже третий по счёту алгоритм вычисления НОК:
его можно применять для пары чисел, для которых уже найден их НОД.
Рациональнее его применять в задачах на нахождение НОД и НОК, так как тогда он даёт выигрыш во времени решения таких задач. Во всех других случаях вы потратите почти в два раз больше времени, если выберете этот алгоритм, а не предыдущие два.
Нужно найти НОД и НОК чисел 24 и 12.
Первым шагом вычислим НОД этих чисел:
Теперь для нахождения НОК чисел 24 и 12, нужно найти их произведение и полученный результат разделить на их НОД, который мы посчитали в первом шаге.
Произведение чисел 24 и 12, равно 288
288 : 12 = 24
В частном получили 24. Значит НОК чисел 24 и 12 равно 24
НОК (12; 24) = 24
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации