Что такое наименьшее возможное число
Информатика ЕГЭ 15 задание разбор
15 задание ЕГЭ «Основные законы алгебры логики»
15-е задание: «Основные законы алгебры логики»
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 5 минут.
Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики
Плейлист видеоразборов задания на YouTube: 
Задания с множествами
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
Ответ: 12
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
Ответ: 18
Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A .
Ответ: 7
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Ответ: 1
Задания с отрезками на числовой прямой
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.
Ответ: 4
✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:
def f(a1,a2,x): return((44 maxim: maxim=a2-a1 print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина
PascalABC.net:
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Ответ: 10
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Ответ: 8
Далее возможно 2 способа решения.
✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Ответ: 19
Задания с ДЕЛ
Поиск наибольшего А, известная часть Дел ∨ Дел = 1
Для какого наибольшего натурального числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 8
Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.
Решение с помощью логических рассуждений:
Решение с помощью кругов Эйлера:
Результат: 8
✎ Решение 2 (программирование):
Python:
for A in range(1,500): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))
Поиск наименьшего А, известная часть Дел ∧ ¬Дел = 1
Для какого наименьшего натурального числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 3
Избавимся от импликации:
✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:
- Из общего выражения:
for A in range(1,50): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= (x % A == 0) 0)or (x mod 42 = 0)) = false then begin ok := 0; break; end; end; if (ok = 1) then begin print(A); break; end end; end.
Результат: 3
Для какого наименьшего натурального числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 285
✎ Решение 2 (программирование):
Python:
Из общего выражения:
Что такое наименьшее возможное число
Первый набор чисел состоит из чисел 
Второй набор состоит из чисел 
Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте — число из первого набора, а на втором — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.
а) Может ли полученная сумма делиться на 9?
б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?
в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.
а) Заметим, что все слагаемые в полученной сумме делятся на 9, кроме того слагаемого, которое содержит тройку из второго набора. Значит, и вся сумма не делится на 9.
б) Может. Пусть, например, перемножили максимальные числа из первого и второго набора, а остальные пары сформировали произвольным образом. Заметим, что 
Таким образом, уже одно из слагаемых полученной суммы больше, чем миллион, значит и вся сумма тем более больше, чем миллион.
в) Наименьшее значение суммы достигается, если умножить наибольшее число из второго набора на наименьшее из первого, второе по величине число из второго набора умножить на следующее за наименьшим числом из первого и т. д., а полученные произведения сложить. Тем самым, наименьшая возможная сумма равна
Чтобы показать, что найденное значение суммы действительно наименьшее, проведем следующее рассуждение. Рассмотрим в сумме 
слагаемое 
содержащее 
Если степень двойки 
то, в данном и предыдущем слагаемых поменяем степени тройки местами, получим из 
величину 
При этом сумма уменьшится, поскольку разность старого и нового значений положительна:
Будем продолжать, пока множитель 
не перейдёт в первое слагаемое 
Затем поступим так же с множителем 
— он перейдет во второе слагаемое 
и т. д. Указанным образом преобразуем исходную сумму в наименьшую возможную сумму 
Ответ: а) нет; б) да; в) 
Примечание Дмитрия Мухина (Москва).
Подготовленный читатель увидит в задаче перестановочное неравенство, называемое также транснеравенством. Приведем и докажем его.
Доказательство. Применим метод математической индукции. Проверим базу индукции: если 
а 
то
Полученное неравенство верно, так как множители имеют разные знаки.
Индукционный переход: предположим, что утверждение верно при 
докажем, что тогда оно верно и при 
Если 
то неравенство сводится к предположению индукции. Если 
то поменяем эти множители местами:
Здесь первое неравенство следует из предположения индукции, а второе — из базы индукции.
Тем самым, по принципу математической индукции, неравенство (1) доказано. Аналогично доказывается неравенство (2).
Наибольшее и наименьшее значение функции
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале
Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Решение:
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Из цифр двух натуральных чисел создать наименьшее возможное число, сохраняя порядок следования цифр
Требуется написать программу, которая из цифр двух натуральных чисел создает наименьшее возможное число, сохраняя при этом порядок следования цифр в этих числах.
Входной поток содержит два натуральных числа, записанных в двух строках. Числа больше нуля и меньше 10^255. (например, 125 и 34)
В единственную строку выходного потока нужно вывести наименьшее возможное число, удовлетворяющее условию задачи. (например, 12345)
12 и 21 неверно, но 21 и 12 работает 77 и 70 неверно, но 70 и 77 работает
2 ответа 2
Чтобы принять правильное решение, надо заглянуть за эти одинаковые цифры и двигаться по тому числу, у которого за этой одинаковой цифрой следует цифра меньшая, чем у другого числа.
Продолжаем. Интересный момент здесь состоит в том, что таких одинаковых цифр в числах может идти больше одного подряд. Таким образом, нам нужно «заглядывать» за такие цепочки одинаковых цифр в обоих числах.
И наконец, последний нюанс. Число может заканчиваться этой цепочкой одинаковых цифр. Если оба числа ими заканчиваются, то все одинаковые цифры просто окажутся в конце результата. Если только одно число заканчивается такой цепочкой, то надо смотреть на цифру, идущую после цепочки в другом числе. Если эта цифра меньше одинаковых цифр, то надо выводить цифры этого числа и не продвигаться в другом. И наоборот.