Что такое накрест лежащие
Внутренние накрест лежащие углы
Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.
Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.
Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).
При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.
∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.
∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.
Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.
Свойство параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Если a ∥ b, то
∠1 = ∠2
∠3 = ∠4
(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).
Признак параллельных прямых
Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
∠1=∠2.
А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,
то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).
Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.
Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.
Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;
внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;
внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.
Описанные углы видны на рисунке:
Теорема.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:
1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;
3. соответственные углы одинаковы;
4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;
5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;
Данную теорему иллюстрирует рисунок:
Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.
3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;
4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;
5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.
2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.
Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.
Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.
3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.
5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.
Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.
Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:
1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;
или 3. Соответственные углы одинаковые;
или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;
или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,
Накрест лежащие
Содержание
В евклидовой геометрии
Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается.
Свойства
В геометрии Лобачевского
Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Накрест лежащие» в других словарях:
Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… … Википедия
Анненский орден — русский орден Св. Анны, учрежден был владетельным герцогом Шлезвиг Гольштинским Карлом Фредериком в 1736 г. в честь супруги своей цесаревны Анны Петровны (дочери Петра Великого) и причислен к русским орденам императором Петром III. Орден Св. Анны … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Браковочные комиссии — для испытания охотничьих ружейных стволов учреждены во всех западно европейских государствах. Наиболее известные из них находятся в Лондоне, Бирмингеме, Люттихе, Зуле и Сент Этьене. По новым, недавно введенным в Англии правилам каждый ствол… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Колориметрия — так называется один из способов количественного определения содержания веществ в растворах; методы К. применимы к количественному определению всех тех веществ, которые дают окрашенные растворы, или могут быть, с помощью какой либо реакции,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Орден* — жалуемый за особые заслуги или отличие знак, установленной формы, носимый на ленте, цепи или иным образом. Имеются указания, что в восточной римской империи еще со времен Константина Великого императоры установляли кавалерские товарищества или… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Орден — жалуемый за особые заслуги или отличие знак, установленной формы, носимый на ленте, цепи или иным образом. Имеются указания, что в вост. римской империи еще со времен Константина Вел., императоры установляли кавалерские товарищества или ордена,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Семейство моржовые — Второе семейство этого отряда состоит из одного рода и вида моржа (Odobenus rosmarus)*, самого огромного из всех ластоногих. * Моржи имеют в анатомии черты сходства с ушастыми тюленями и также происходят от примитивного медведеобразного… … Жизнь животных
Параллелограмм — (др. греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος параллельный и γραμμή линия) это четырёхуго … Википедия
Аксиома параллельности Евклида — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащ … Википедия
Проблема параллельных — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и … Википедия
Геометрия. Урок 2. Углы
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Понятие угла
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Виды углов:
Биссектриса угла
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
Сумма углов многоугольника
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с углами
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Соответственные углы равны, то есть
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,