Что такое направляющий вектор

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0\left(6\right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 02 2021

Источник

Направляющий вектор прямой: определение и примеры

Важным геометрическим объектом, который изучают в плоском пространстве, является прямая. В трехмерном же пространстве, помимо прямой, появляется еще плоскость. Оба объекта удобно задавать с помощью направляющих векторов. Что это такое, как применяют эти вектора для определения уравнений прямой и плоскости? Эти и другие вопросы освещаются в статье.

Прямая и способы ее задавания

Каждый школьник хорошо представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. С точки зрения математики, прямая представляет собой набор точек, которые в случае их попарного произвольного соединения между собой приводят к получению совокупности параллельных векторов. Это определение прямой используют для написания уравнения для нее как в двумерном, так и в трехмерном пространстве.

Вам будет интересно: Шаболда — это слово с непростой судьбой

Для описания рассматриваемого одномерного объекта пользуются разными видами уравнений, которые перечислены в списке ниже:

Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по отношению к другим. Например, уравнением в отрезках удобно пользоваться при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при нахождении направления, перпендикулярного заданной прямой, а также при вычислении угла ее пересечения с осью x (для плоского случая).

Вам будет интересно: Телескопы рефлекторные: описание, устройство, история создания

Поскольку тема данной статьи связана с направляющим вектором прямой, то далее будем рассматривать только уравнение, где этот вектор является принципиальным и содержится явно, то есть векторное выражение.

Задание прямой через вектор

Предположим, что у нас имеется некоторый вектор v¯ с известными координатами (a; b; c). Поскольку координат три, то вектор задан в пространстве. Как изобразить его в прямоугольной системе координат? Делается это очень просто: на каждой из трех осей откладывается отрезок, длина которого равна соответствующей координате вектора. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскостям xy, yz и xz, будет концом вектора. Началом же его является точка (0; 0; 0).

Тем не менее приведенное положение вектора не является единственным. Аналогичным образом можно нарисовать v¯, располагая его начало в произвольной точке пространства. Эти рассуждения говорят о том, что задать конкретную прямую с помощью вектора нельзя. Он задает семейство из бесконечного числа параллельных прямых.

Вам будет интересно: Формула угла между плоскостью и прямой. Примеры использования формулы

Теперь зафиксируем некоторую точку P(x0; y0; z0) пространства. И зададим условие: через P должна проходить прямая. В этом случае вектор v¯ тоже должен содержать эту точку. Последний факт означает, что можно задать одну единственную прямую, используя P и v¯. Она запишется в виде следующего уравнения:

В координатной форме уравнение запишется так:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)

И в явном (параметрическом) виде можно записать:

Если в приведенных выражениях исключить третью координату, то мы получим векторные уравнения прямой на плоскости.

Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определяющий направление прямой вектор используется при вычислении дистанции между прямыми и точкой и прямой, для описания поведения прямой относительно плоскости.

Две прямые будут параллельными, если таковыми являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В этих типах задач достаточно рассчитать скалярное произведение рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.

В случае задач на вычисление расстояний между прямыми и точками направляющий вектор входит явно в соответствующую формулу. Запишем ее:

Отметим, что рассчитывать расстояние между прямыми имеет смысл только тогда, когда они являются параллельными или скрещивающимися. Если же они пересекаются, то d равно нулю.

Приведенная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 должна принадлежать плоскости.

Решим несколько задач, чтобы нагляднее показать, как пользоваться рассматриваемым вектором.

Задача на составление векторного уравнения

Известно, что прямая описывается следующим равенством:

Следует написать соответствующее выражение в векторной форме.

Это типичное уравнение прямой, известное каждому школьнику, записано в общем виде. Покажем, как его переписать в векторной форме.

Выражение можно представить в виде:

Видно, что если его раскрыть, то получится исходное равенство. Теперь разделим его правую часть на два вектора так, чтобы только один из них содержал иксы, имеем:

Остается вынести x за скобки, обозначить его греческим символом и поменять вектора правой части местами:

Мы получили векторную форму записи исходного выражения. Координаты направляющего вектора прямой равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

В пространстве заданы две прямые:

(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?

Ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) будут направляющими для этих прямых. Выразим в параметрической форме эти уравнения и подставим координаты первого во второе. Получаем:

Подставляем найденный параметр λ в два уравнения выше, получаем:

Параметр γ не может одновременно принимать два разных значения. Это означает, что прямые не имеют ни одной общей точки, то есть являются скрещивающимися. Параллельными они не являются, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго).

Математическое описание плоскости

Для задания плоскости в пространстве приведем уравнение общего вида:

A × x + B × y + C × z + D = 0

Здесь латинские большие буквы представляют собой конкретные числа. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если его обозначить n¯, тогда:

Этот вектор является перпендикулярным плоскости, поэтому его называют направляющим. Его знание, а также известные координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости, однозначно задают последнюю.

Если точка P(x1; y1; z1) плоскости принадлежит, тогда свободный член D рассчитывается следующим образом:

Решим пару задач с использованием общего уравнения для плоскости.

Задача на нахождение нормального вектора плоскости

Плоскость задана в следующем виде:

Как найти направляющий вектор для нее?

Из приведенной выше теории следует, что координаты нормального вектора n¯ являются коэффициентами, стоящими перед переменными. В связи с этим для нахождения n¯ следует записать уравнение в общем виде. Имеем:

Тогда нормальный вектор плоскости равен:

Задача на составление уравнения плоскости

Даны координаты трех точек:

Как будет выглядеть уравнение плоскости, содержащей все эти точки.

Через три точки, которые одной прямой не принадлежат, можно провести только одну плоскость. Чтобы найти ее уравнение, сначала вычислим направляющий вектор плоскости n¯. Для этого поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, принадлежащие плоскости, и вычислим их векторное произведение. Оно даст вектор, который этой плоскости будет перпендикулярен, то есть n¯. Имеем:

Возьмем точку M1 для составления выражения плоскости. Получаем:

Мы получили выражение общего типа для плоскости в пространстве, определив сначала направляющий вектор для нее.

Свойство векторного произведения следует запомнить при решении задач с плоскостями, поскольку оно позволяет простым способом определять координаты нормального вектора.

Источник

2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Если прямая задана общим уравнением , то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

– получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки в уравнение :

– получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Источник

Направляющие косинусы вектора.

Определение направляющих косинусов

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a :

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

2.2.5. Нормальный вектор прямой

Или вектор нормали.

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), но нам хватит одного:

Если прямая задана общим уравнением в декартовой системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Обратите внимание, что это утверждение справедливо лишь для «школьной» системы координат; все предыдущие выкладки п. 2.2 работают и в общем аффинном случае.

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:

И тут всё ещё проще: если координаты направляющего вектора приходилось аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Ведь вектор нормали ортогонален направляющему вектору и образует с ним «жесткую конструкцию».

Источник