Что такое неопределенный интеграл определение

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Определение первообразной

Определение неопределенного интеграла

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )

∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C

∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )

Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

Проверим полученный результат дифференцированием.

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.

Ранее нами была рассмотрена задача о нахождении мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движения. Если \(s=s(t)\) — путь, пройденный точкой за время \(t\) от начала движения, то мгновенная скорость \(v\) в момент \(t\) равна производной функции \(s(t)\), то есть
$$
v=s'(t).\nonumber
$$
В физике встречается обратная задача: по заданной скорости \(v=v(t)\) найти закон движения, то есть найти такую функцию \(s(t)\) производная которой равна \(v(t)\).

Первообразная.

Пусть функции \(f(x)\) и \(F(x)\) определены на интервале \((a,b)\). Если функция \(F(x)\) имеет производную на интервале \((a,b)\) и если для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство
$$
F'(x)=f(x),\label
$$
то функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\).

Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка).

Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции \(f(x)\) и \(F(x)\) определены на отрезке \([a,b]\), причем функция \(F\) дифференцируема на интервале \((a,b)\), непрерывна на отрезке \([a,b]\) и для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство \eqref, то функцию \(F(x)\) назовем первообразной для функции \(f(x)\) на отрезке \([a,b]\).

Если \(F(x)\) — первообразная для функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\), то функция \(F(x)+C\) при любом значении \(C=\operatorname\) также является первообразной для \(f(x)\).

Справедливо и обратное утверждение.

Если \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\) — две первообразные для функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\), то для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство
$$
F_2(x)=F_1(x)+C,\label
$$
где \(C\) — постоянная.

\(\circ\) Обозначим \(\Phi(x)=F_2(x)-F_1(x)\). По определению первообразной в силу условий теоремы для всех \(x\in (a,b)\) выполняются равенства
$$
F_1′(x)=f(x),\quad F_2′(x)=f(x),\nonumber
$$
откуда следует, что функция \(\Phi(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и для всех \(x\in(a,b)\) имеет место равенство
$$
\Phi'(x)=0.\nonumber
$$
Согласно первому следствию из теоремы Лагранжа \(\Phi(x)=C=\operatorname\) для всех \(x\in (a,b)\) или \(F_2(x)-F_1(x)=C\), то есть справедливо равенство \eqref. \(\bullet\)

Таким образом, для данной функции \(f(x)\) ее первообразная \(F(x)\) определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первообразную \(F_1(x)\), достаточно указать точку \(M_0(x_0,y_0)\), принадлежащую графику функции \(y=F(x)\).

Для функции \(f(x)=\displaystyle \frac<1>\) найти такую первообразную \(F_1(x)\), график которой проходит через точку \((1,2)\).

\(\triangle\) Совокупность всех первообразных функции \(\displaystyle \frac<1>\) описывается формулой
$$
F(x)=-\frac<1>+C.\nonumber
$$

По условию \(F_1(1)=2\), то есть \(2=-1+C\), откуда \(C=3\). Следовательно, \(F_1(x)=3-\displaystyle \frac<1>\). \(\blacktriangle\)

В дальнейшем (гл. VII, § 36) будет доказано, что первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (или интервале).

Понятие неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных для функции \(f(x)\) на некотором промежутке \(\Delta\) называют неопределенным интегралом от функции \(f\) на этом промежутке, обозначают символом \(\displaystyle \int f(x)dx\) и пишут
$$
\int f(x)dx=F(x)+C.\label
$$

Здесь \(F(x)\) — какая-нибудь первообразная функции \(f\) на промежутке \(\Delta\), \(C\) — произвольная постоянная. Знак \(\displaystyle \int\) называется знаком интеграла, \(f\) — подынтегральной функцией, \(f(x)dx\) — подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение можно записать в виде \(F'(x)\) или в виде \(dF(x)\), то есть
$$
f(x)dx=dF(x).\label
$$

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, то есть формулу вида \(F'(x)=f(x)\), можно записать в виде \eqref.

Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства \((\sin x)’=\cos x\) следует, что \(\displaystyle \int\cos x dx=\sin x+C\).

Свойства неопределенного интеграла.

\(\circ\) Из равенства \eqref следует, что
$$
d\left(\int f(x)dx\right)=d(F(x) + C) = dF(x),\nonumber
$$
так как \(dC = 0\). \(\bullet\)

Согласно формуле \eqref знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

\(\circ\) Равенство \eqref следует из равенств \eqref и \eqref. \(\bullet\)

Соотношение \eqref показывает, что и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимно уничтожается (если отбросить постоянную \(C\)).

Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых \(\alpha\in R, \ \beta\in R\) таких, что \(\alpha^2+\beta^2\neq 0\), функция \(\varphi(x) = \alpha f(x)+\beta g(x)\) также имеет первообразную на этом промежутке, причем
$$
\int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x).\label
$$

\(\circ\) Пусть \(F\) и \(G\) — первообразные для функций \(f\) и \(g\) соответственно, тогда \(\Phi=\alpha F + \beta G\) — первообразная для функции \(\varphi\), так как \((\alpha F(x)+\beta G(x))’=\alpha f(x)+\beta g(x)\). Согласно определению интеграла левая часть \eqref состоит из функций вида \(\Phi(x)+C\), а правая часть — из функций вида \(\alpha F(x)+\alpha C_1+\beta G(x)+\beta C_2=\Phi(x)+\alpha C_1+\beta C_2\). Так как \(\alpha^2+\beta^2\neq 0\), то каждая функция вида \(\Phi(x)+C\) принадлежит совокупности функций \(\Phi(x)+\alpha C_1+\beta C_2\), и наоборот, то есть по заданному числу \(C\) можно найти \(C_1\) и \(C_2\), а по заданным \(C_1\) и \(C_2\) — число \(C\) такое, чтобы выполнялось равенство \(C=\alpha C_1+\beta C_2\). \(\bullet\)

Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.

Найти \(\displaystyle \int f(x)dx\), если:

Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, можно получить, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и правилом дифференцирования произведения двух функций.

Метод замены переменного (метод подстановки).

Пусть функция \(t=\varphi(x)\) определена и дифференцируема на промежутке \(\Delta\) и пусть \(\Delta_i=\varphi(\Delta)\) — множество значений функции \(\varphi\) на \(\Delta\).

Если функция \(U(t)\) определена и дифференцируема на \(\Delta_i\), причем
$$
U'(t)=u(t),\label
$$
то на промежутке \(\Delta\) определена и дифференцируема сложная функция \(F(x)=U(\varphi(x))\) и
$$
F'(x)=\left[U(\varphi(x))\right]’=U'(\varphi(x))\varphi'(x)=u(\varphi(x))\varphi'(x).\label
$$

Из равенств \eqref и \eqref следует, что если \(U(t)\) — первообразная для функции \(u(t)\), то \(U(\varphi(x))\) — первообразная для функции \(u(\varphi(x))\varphi'(x)\). Это означает, что если
$$
\int u(t) dt = U(t) + C,\label
$$
то
$$
\int u(\varphi(x))\varphi'(x)dx=U(\varphi(x)) + C,\label
$$
или
$$
\int u(\varphi(x))d\varphi(x)= U(\varphi(x)) + C.\label
$$

Формулу \eqref (или формулу \eqref) называют формулой интегрирования заменой переменного. Она получается из формулы \eqref, если вместо \(t\) подставить дифференцируемую функцию \(\varphi(x)\).

Формула \eqref дает возможность найти интеграл \(\displaystyle f(x)dx\), если функция \(f(x)\) представляется в виде \(f(x) = u(\varphi(x))\varphi'(x)\) и если известна первообразная функции \(u(t)\), то есть известен интеграл \eqref.

Отметим важные частные случаи формулы \eqref.

Приведем примеры применения формул \eqref-\eqref.

Источник

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Первообразная

Определение первообразной функции

Можно прочесть двумя способами:

Правила вычисления первообразных

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Неопределенный интеграл

Определение:

Свойства неопределённого интеграла

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция

Первообразная

F(x) + C

Неопределенные интегралы

\int f(x) dx = F(x) + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

Источник