Что такое непозиционная система исчисления

Непозиционные системы счисления

Здравствуйте, на этой странице рассмотрим одну из важных тем в информатике – а именно непозиционные системы счисления. Здесь вы узнаете, что является непозиционными системами, и познакомитесь с основными определениями, которые относятся к этой теме. Также затронем их отличия от позиционных нумераций и приведем достоинства и недостатки.

Определение непозиционной системы счисления

Непозиционными являются нумерации, где положение цифры в числе (разряд) не влияет на её значение.

Чтобы разобраться конкретно в том, что здесь написано, выберем самое популярное исчисление, которое называется десятичным. Вы все с ним знакомы. Им пользуются люди в большинстве стран мира. Алфавит десятичной нумерации состоит из арабских знаков – чисел от 0 до 9. Данный вид записи является позиционным. Почему, спросите вы? Всё просто. В качестве примера приведем два числа – 1000 и 10. Смотрите на цифру один – в зависимости от того, какое место она занимает в числе, меняется значение, которое она обозначает. В числе 1000 – тысячи, а 10 – десятки.

В непозиционных представлениях все обстоит совсем иначе. Давайте приведем в пример Римскую нотацию. Её вы тоже видели и с ней знакомы. Вспомните – в книгах по истории с помощью неё представляются века и номера монархов. Как пример, Петр I или Иван IV Грозный. Обратите внимание на I и IV, которые в арабском виде запишутся как 1 и 4. Здесь значение единицы не изменяется от того, какое место она занимает. На первом месте она стоит или на втором – неважно.

Историками считается, что исчисления, которые называются непозиционными, ведут свои корни от глубокой древности – это первые формы для счета, которые использовал человек. Поговорим дальше про их виды и разберем недостатки.

Примеры непозиционных систем счисления

Унарная непозиционная

Еще называется непозиционной единичной. Скорее всего, вы уже догадались, почему она так называется. Дело в том, что в этой форме записи используется только один знак. Это представление применяли древнейшие люди. Для записи значений использовались насечки на костях животных или стенах пещеры. Также в обиходе были зарубки на дереве. Используется до сих пор. Вспомните сериалы, где заключенные отсчитывают свои дни в неволе. Также применяется для обучения детей счету – так называемый пальцевый метод.

Унарная сс – отметки на кости

Римская непозиционная

Её мы уже привели выше. Используется до сих пор. В качестве алфавита здесь применяются латинские буквы, такие как V, I, D, M, C, X, L. Всё остальное же получается с помощью различного написания этих символов – здесь используются принципы вычитания и сложения. Так если младший разряд записывается перед старшим, то он вычитается. Если же наоборот, то складывается. Есть у неё и еще одна особенность – нет 0, который является отсутствием числа. Ниже приведена небольшая табличка с расшифровкой римских цифр.

Римское непозиционное счисление появилось в Риме на самом пике процветания империи. Однако и после того как империя распалась этим счислением пользовались еще очень долго. Она использовалась в Европе до 1200х годов, пока великий математик Леонардо Фибоначчи не издал трактат – “Книга Абака”. В нем ученый показывал превосходство позиционных систем над непозиционными.

Египетская непозиционная

Возникла в третьем тысячелетии до нашей эры. Все значения записывались здесь с помощью иероглифов. Каких-то особых правил здесь не существовало – все числовые значения просто складывались. Также не было и правил, которые относятся к записи – последовательность могла быть записана, как слева на право, так и справа налево. Иероглифы могли занимать любой разряд. Ниже приведена табличка со значениями некоторых из них.

Алфавитные системы счисления

Стоит отметить эти формы записи. Здесь все очень просто – каждой букве алфавита сопоставлялась цифра. Стоит отметить, что эти непозиционные системы являются более совершенными, чем все предыдущие, поскольку имелись обозначения десятков и сотен. К недостаткам можно отнести их сложность. Здесь можно выбрать два популярных примера.

Славянская

Использовалась нашими предками во времена древней Руси. Первые записи о ней в летописи временных лет появляются с начала десятого века. Каждой букве глаголицы соответствовало некоторое число. Полностью вышла из использования во времена Российской Империи в восемнадцатом веке, её место заняло десятичное исчисление. Пользуемся мы им, и посей день.

Греческая

Она же называется непозиционной новогреческой или ионийской. Упоминания о ней датируются третьим веком до нашей эры. Здесь счет велся буквами, которые употреблялись в римской письменности. Пришла на смену старогреческому формату. По сути, непозиционное кириллическое представление является её копией.

Достоинства и недостатки. Возможность использования в информатике и других науках.

К достоинствам можно отнести только их простоту. Как мы уже говорили выше, та же унарная непозиционная система применяется для обучения детей. Однако недостатков у них гораздо больше и они очень существенные:

Всё эти недостатки делают их использование в математике и информатике непрактичным.

Заключение

В качестве итогов можно сказать, что после прочтения этого материала вы имеете полное представление о том, что называется непозиционными системами счисления, овладели нужным определением. Знаете виды, которые использовали разные народы в различных частях земного шара. Теперь вы имеете представление о том, как считали люди в Риме, Египте, Греции и древней Руси. Знаете их плюсы и минусы. Понимаете, почему нельзя использовать их в информатике. Как по мне тема достаточно легкая, но очень интересная. При возникновении вопросов задайте их в комментариях к этой записи. Буду рад на них ответить. Также вы можете почитать другие материалы, которые затрагивают информатику на нашем сайте.

Источник

Непозиционные системы счисления

Непозиционной называется система, в которой число представляется совокупностью узловых и алгебраических чисел. Положение цифры в записи при этом не имеет значения.

Немного истории

Непозиционная система была одной из первых, которую стали использовать люди. Самой древней из них является египетская (2,5-3 тыс. лет до нашей эры). Числа в ней записывались с помощью иероглифов, которые подчинялись «принципу сложения». Аналогичный принцип был у греческой, римской и других систем счисления древности.

Древнеегипетская система

В древнеегипетской системе счисления в качестве цифр использовались единица и десятичные разряды: 10, 100, 1000 и так далее.

Поэтому запись чисел в данной системе была еще более длинной, по сравнению с римской:

Римская система

Римские числа знакомы всем еще со школы. Алфавит этой системы счисления состоит из цифр 1, 5 и ряда десятичных разрядов:

Данные основные (узловые) числа используются для записи других чисел путем сложения ли вычитания меньшего числа из большего. При этом числа I, X, C, M не повторяются более трех раз, а V, L, D не могут идти друг за другом вовсе.

Запись больших чисел в такой системе выглядит громоздко:

2589 = 2000 + 500 + 80 + 9 = MM + D + LXXX + IX = MMDLXXXIX

И правильно прочитать его, следует мысленно разбить его на разряды.

Древнегреческая система

В основе данного вида счисления Древней Греции лежал алфавит, схожий с римским:

Затем ему на смену пришел ионийский, который предполагал использование букв греческого алфавита.

Чтобы записать какое-либо число, греки использовали принцип совокупности используемых цифр. Из прочих непозиционных систем греческая является наиболее упрощенной.

Минусы непозиционных систем

Основная сложность работы с данными системами счисления состоит в записи больших чисел. Их написание может быть слишком объемным и сложным для чтения. Если же упрощать запись за счет введения новых цифр, как в греческой системе, требуется создавать большой алфавит, что тоже неудобно.

Источник

Системы счисления. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например, чтобы цифры располагались по убыванию.

Существуют такие непозиционные системы счисления:

— Единичная система счисления,

— Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),

— Древнеегипетская система счисления,

— Вавилонская система счисления,

— Алфавитные системы счисления,

— Еврейская система счисления,

— Греческая система счисления,

— Римская система счисления,

— Система счисления майя,

Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.

Единичная система счисления.

С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная.

Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.

У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.

Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система счисления.

В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Вот некоторые из них:

Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а все символы — представление числа 10 в определенной степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:

Вавилонская шестидесятеричная система счисления.

В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:

Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Значит, число 3632 записывают так:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе. Эту систему счисления используют и сейчас, например, для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система счисления.

Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Способы определения значения числа:

Источник

Что такое непозиционная система исчисления

Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.

| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.

Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).

Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.

В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.

| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.

Египетская система счисления
Кириллическая система счисления
Римская система счисления
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.

Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:

753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.

| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.

Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:

Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».

| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).

Укажем разряд каждой цифры в числе 753:

Развёрнутая форма представления чисел

В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.

Формула развёрнутой формы представления чисел:

q – основание системы счисления;

a – цифра данного числа;

n – число разрядов в числе.

Представим число 75310 в развёрнутой форме.

1) Определим позиции каждой цифры в числе:

Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:

Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:

Запишем полученный результат.

Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!

Перевод числа в десятичную систему счисления

С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.

✒ Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.

Двоичная система счисления

Алфавит системы счисления: 0, 1.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.

Пусть дано десятичное число 21_10.

1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;

3) Повторить, пока не достигнем нуля.

В результате, мы получим следующие степени:

Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:

Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Переведите число 13₁₀ в двоичную систему счисления.

Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Переведите число 97₁₀ в четверичную систему счисления.

Перевод методом триад и тетрад

✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады. Если не хватает цифр до полной триады, её дополняют незначащими нулями.

Число 1100100110₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

| Незначащий нуль – это нули перед или после числа, дополнение которыми никак не изменяет значение самого числа.

Дополним число 11₂ до триады:

Дополним число 11,01₂ до двух триад:

✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его необходимо разбить на тетрады. Если не хватает цифр до полной тетрады, её дополняют незначащими нулями.

Число 1100101100₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Непозиционные системы счисления

1. Вычислите десятичное число, записанное в римской системе счисления:

2. Представьте данное десятичное число в римской системе счисления:

Позиционные системы счисления

3. Определите вес (позицию) цифры 3 в числе 8736.

4. Определите вес (позицию) цифры 4 в числе 4865.

5. Определите вес (позицию) цифры 2 в числе 112358.

6. Определите вес (позицию) цифры 9 в числе 9631.

7. Определите вес (позицию) цифры 5 в числе 835776.

8. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1.

9. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3.

10. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

11. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4.

12. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В.

13. Некоторое число представлено в развёрнутой форме. Запишите это число в свёрнутой форме представления и укажите основание системы счисления, в которой записано это число:

14. Запишите число в развёрнутой форме представления:

Переводы методом развёрнутой формы представления

15. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

16. Даны числа в различных системах счисления. Выполните перевод в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

17. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:

18. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:

19. Сравните числа, записанные в двоичной системе счисления:

20. Выполните перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную методом деления на новое основание:

21. Выполните перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную методом деления на новое основание:

22. Выполните перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную методом разбиения числа на триады и тетрады:

Источник