Что такое нервная дробь

Дроби

Что такое дробь

Дроби нужны для обозначения нецелых количеств. Они образуются как результат деления натуральных чисел, когда делимое не кратно делителю.

Дробная черта равносильна знаку деления. То есть \(4:6=\frac46\) (четыре шестых), \(7:2=\frac72\) (семь вторых). Числитель дроби играет роль делимого, а знаменатель — делителя.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Знаменатель дроби не может быть нулем.

Основные свойства дробей

Несократимой называют дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме 1 (-1).

Существует два вида дробей: правильные и неправильные.

Неправильные дроби всегда больше правильных: \(\frac <39>

Правильные дроби

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя.

Правильная дробь называется так, поскольку выражает «правильную» часть единицы, то есть часть, которая меньше целого: \( \frac25

Таким образом, отличить правильную дробь от неправильной можно при сравнении дробей с единицей. Это различие не влияет на арифметические действия, но важно при сравнении дробей.

Смешанные дроби

Неправильные дроби не принято оставлять в результате вычислений. Лучше преобразовывать их в смешанные числа. Любую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа.

Смешанное число — это число, содержащее целую и дробную часть.

Для составления смешанной дроби необходимо:

Записать неправильную дробь \(\frac<18>4\) в виде смешанной.

Тогда искомая смешанная дробь \(\frac<18>4=4\frac24.\) Эту дробь можно сократить, поделив числитель и знаменатель дробной части на общий делитель 2:

Смешанное число можно записать в виде неправильной дроби. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части. К полученному числу нужно прибавить числитель дробной части. Эту сумму записать в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Смешанное число \(6\frac25\) записать в виде неправильной дроби.

Как перевести правильную дробь в неправильную

Перевести правильную дробь в неправильную или наоборот невозможно. Это разные категории чисел.

Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби: \(2=\frac21.\)

Дробь с числителем p и знаменателем 1 — это другая форма записи натурального числа p. Это правило можно представить в виде формулы: \(p=\frac p1.\)

Действия с дробями, как решать примеры

Приведение к общему знаменателю

Чтобы решать большинство примеров с дробями, необходимо приводить их к общему знаменателю. Чтобы привести дроби \(\frac ab\) и \(\frac cd\) к общему знаменателю, необходимо:

Сравнение

Чтобы сравнить обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Дробь с большим числителем больше.

\(\frac34>\frac13,\) поскольку \(\frac9<12>>\frac4<12>.\)

Если сравниваются смешанные числа, в первую очередь необходимо смотреть на целую часть. Больше то число, целая часть которого больше.

К примеру, \(8\frac16>5\frac23.\)

Если целые части смешанных чисел равны, то сравнивают дробные части по правилу сравнения обыкновенных дробей. Число с наибольшей дробной частью будет больше: \(5\frac23>5\frac13.\)

Сложение и вычитание

Чтобы сложить обыкновенные дроби, необходимо привести их к общему знаменателю, сложить числители, а знаменатели оставить без изменений. При необходимости привести дробь в вид смешанного числа.

При сложении смешанных чисел целые и дробные части складываются отдельно.

Чтобы вычесть одну дробь из другой, также необходимо привести их к общему знаменателю, после чего вычесть числители, а знаменатели оставить без изменений.

Умножение и деление

Чтобы умножить обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели.

\(\frac ab\cdot\frac cd=\frac\)

Умножить дробь \(\frac35\) на \(\frac23.\)

При умножении дроби на натуральное число, нужно умножить числитель на это число, а знаменатель оставить тем же. Так происходит, поскольку любое натуральное число можно представить в виде \(p=\frac p1.\)

\(\frac ab\cdot p=\frac ab\cdot\frac p1=\fracb.\)

Чтобы умножить смешанные числа, необходимо сперва представить их в виде обыкновенных дробей и лишь затем совершать действие.

Чтобы поделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй. При этом оба знаменателя и числитель второй дроби не должны быть равны нулю.

\(\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac.\)

Поделить дробь \(\frac34\) на \(\frac23.\)

При делении смешанных чисел, как и при умножении, их необходимо сперва привести к виду обыкновенной дроби.

Источник

Обыкновенные дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение обыкновенной дроби

Обыкновенные дроби используют для описания числа долей. Рассмотрим пример, с помощью которого можно дать определение обыкновенной дроби.

Приведем общее определение обыкновенной дроби.

Примеры обыкновенных дробей:

Числитель и знаменатель

Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя.

Готовые работы на аналогичную тему

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Дробная черта как знак деления

Обыкновенная дробь дает возможность записывать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело.

Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей

Результатом сравнения двух обыкновенных дробей может быть или их равенство, или их не равенство. При равенстве обыкновенных дробей их называют равными, в другом случае обыкновенные дроби называют неравными.

\[3\cdot 13\ne 17\cdot 4;\] \[39\ne 58.\]

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, которые отвечают обыкновенным дробям, можно отобразить на координатном луче.

Чтобы отобразить на координатном луче дробное число, нужно единичный отрезок разделить на части.

Аналогично, точка с меньшей координатой будет лежать левее точки с большей координатой.

Источник

Обыкновенные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

Источник

Неправильная дробь

Что такое неправильная дробь

Неправильной называется дробь, числитель которой по своей величине превышает знаменатель либо одинаков с ним.

Основные математические действия с неправильными дробями

Неправильная дробь — полноценный представитель числового множества, поэтому с ней можно производить основные математические действия:

Сравнение

6 / 5 7 / 5 ; 9 / 7 > 8 / 7 ; 5 / 5 = 5 / 5

Однако, бывает необходимо вычислить, насколько значение неправильной дроби больше (либо меньше) значения другой неправильной дроби с иным знаменателем.

Сложение

Определить сумму двух неправильных дробей с одинаковым знаменателем легко: 5/4+7/4=12/4=3

Схематически это можно записать с помощью формулы:

Сложение неправильных дробей с различными знаменателями. Для таких случаев существует два варианта: перевести дроби в смешанные либо использовать правило для перехода к общему знаменателю.

Переход к смешанным дробям осуществляется путем деления числителя на знаменатель (бывает, что с остатком):

Тактика приведения к общему знаменателю при сложении неправильных дробей (и их вычитании) следующая:

Аналогичным образом поступают, когда необходимо провести вычитание с неправильными дробями.

Умножение

При умножении друг на друга двух неправильных дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей первоначальных дробей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Деление

При делении неправильных дробей деление имеет обратное свойство. Делитель необходимо записать наоборот: числитель и знаменатель поменять местами. Когда это проведено, делимое умножают на делитель и получают искомый результат.

Перевод неправильной дроби в смешанную дробь и обратно

Неправильную дробь можно легко перевести в смешанную, произведя следующие действия:

Например, необходимо превратить в смешанную дробь 13/8.

Разделив 13 на 8, получаем 1 и 5/8. Разделив 5 на 8, получаем 0,625. В итоге 1,625.

Бывают случаи, когда нужно произвести обратное действие: превратить смешанную дробь в неправильную. Объяснение изложено в следующей формуле:

Подставим в эту формулу значения. 21 / 3 = ( 1 + 2 * 3 ) / 3 = 7 / 3

Примеры задач

Рассмотрим приведенные выше правила на примерах.

Сложение с одинаковым знаменателем: 8 / 5 + 7 / 5 = 15 / 5 = 3

Объяснение: приводим слагаемые к общему знаменателю. Для этого на знаменатель правой дроби умножаем числитель левой, а знаменатель левой — на числитель правой. В знаменателе дроби-произведения стоит произведение обоих знаменателей. После проведения расчетов получается смешанная дробь 3,625.

Объяснение: приводим вычитаемые к общему знаменателю. Для этого на знаменатель правой дроби умножаем числитель левой, а знаменатель левой — на числитель правой. В знаменателе дроби-частного стоит произведение обоих знаменателей. После проведения расчетов получается смешанная дробь 3,875.

Задача на умножение:

7 / 5 * 9 / 4 = 63 / 20

8 / 6 * 10 / 9 = 80 / 54

Объяснение: умножаем числитель на знаменатель и получаем искомое произведение.

4 / 7 : 2 / 5 = 4 / 7 * 5 / 2 = ( 4 * 5 ) / ( 7 * 2 ) = 20 / 14 = 16 / 14

Поменяв местами числитель и знаменатель в делителе, производим действие умножения двух дробей. После этого в числителе итоговой дроби ставится произведение двух числителей, а в ее знаменателе — произведение двух знаменателей.

Источник

Дроби обыкновенные правильные и неправильные, смешанные и составные.

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные.

Числитель дроби — число, показывающее количество взятых долей (находится в верхней части дроби – над чертой). Знаменатель дроби — число, показывающее, на сколько долей разделена единица (находится под чертой – в нижней части). Обыкновенные дроби, в свою очередь делятся на: правильные и неправильные, смешанные и составные. Обыкновенные дроби тесно связаны с единицами измерения. 1 метр содержит в себе 100 см. Что означает, что 1 м разделён на 100 равных долей. Таким образом, 1 см = 1/100 м (один сантиметр равен одной сотой метра).

или 3/5 (три пятых), здесь 3 — числитель, 5 — знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной:

Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной:

Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному:

Если деление выполняется с остатком, то (неполное) частное дает искомое целое число, остаток же становится числителем дробной части; знаменатель дробной части остается прежним.

Число, содержащее целую и дробную части, называется смешанным. Дробная часть смешанного числа может быть и неправильной дробью. Тогда можно из дробной части выделить наибольшее целое число и представить смешанное число в таком виде, чтобы дробная часть стала правильной дробью (или вовсе исчезла).

К подобному виду обычно и приводят смешанные дроби.

Составные дроби.

Многоэтажной, или составной дробью является дробь, которая содержит в себе несколько горизонтальных (либо реже — наклонных) черт:

либо либо .

Источник