Что такое несократимая дробь 7 класс

Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры.

В этой статье мы разберем сократимые и несократимые дроби. Здесь мы дадим определения и приведем примеры сократимых и несократимых дробей, а также рассмотрим способ, позволяющий выяснить, является ли данная дробь сократимой или нет.

Навигация по странице.

Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры

Все обыкновенные дроби подразделяются на сократимые дроби и несократимые дроби. Такое разделение дробей связано с наличием или отсутствием отличных от единицы положительных общих делителей их числителя и знаменателя.

Дадим определения сократимых и несократимых дробей, чтобы все стало понятно.

Сократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют положительный общий делитель, отличный от единицы.

Несократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют единственный общий положительный делитель – единицу, то есть, являются взаимно простыми числами.

Сократима ли данная дробь?

Определения сократимой и несократимой дроби, приведенные в предыдущем пункте, не позволяют в общем случае с первого взгляда на дробь ответить на вопрос: «Данная дробь сократимая или несократимая»?

Несомненно, в самых простых случаях признаки делимости позволяют сразу увидеть положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от единицы, откуда можно делать вывод о сократимости данной дроби.

Разберем применение этого правила при решении примера.

В заключение заметим, если в результате каких-либо вычислений получилась дробь, то ее принято записывать в несократимом виде. Иными словами, если получилась сократимая дробь, то нужно провести сокращение дроби.

Источник

Как сокращать дроби: простые примеры с подробными решениями

Содержание:

В этой статье коротко предоставим информацию о том, как сокращать дроби. Сначала приведем немного теоретической части, а затем подкрепим ее решением практических задач.

Что означает сократить дробь

Как сокращаются дроби

Как привести дробь к несократимому виду

Обычно алгебраическое решение любой задачи по сокращению дробей сводится к получению равной дроби, но в несокращаемом виде. Чтобы получить несократимую дробь, ее делят на определенное число, которое называется наибольший общий делитель (сокращенно НОД):

Практически рассмотрим, используя дробь \frac < 6 > < 12 >. Ее можно сократить на НОД, который равняется 6. Тогда 6 : 6 = 1 и 12 : 6 = 2. Следовательно:

Последняя дробь является несократимой.

Следует обратить внимание, что в большинстве случаев если требуется выполнить сокращение дробей, то это значит выполнить до получения несократимой дроби.

Как сократить большую дробь

В качестве нового примера возьмем дробь 144192. Сначала найдем наибольший общий делитель для чисел 144 и 192. Для этого можно применить метод разложения на простые множители:

144 : 2 = 72 192 : 2 = 96

72 : 2 = 36 96 : 2 = 48

36 : 2 = 18 48 : 2 = 24

18 : 2 = 9 24 : 2 = 12

Тогда наибольшим общим множителем для данных чисел будет число 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

Разделив исходную дробь на 48 получим несократимую дробь:

Разберем еще один способ, который позволяет сокращать числитель и знаменатель дроби последовательно на делитель, который без труда определяется по простейшим математическим признакам. Если требуется сократить дробь типа 40008 800, то можно сразу же определить, что здесь присутствует общий множитель 100, который можно вынести за скобку:

Далее невооруженным глазом заметно, что оба числа делятся на 2, а результат опять на 2 и т. д. В конечном итоге получаем несократимую дробь \frac < 5 > < 11 >= \frac < 4000 > < 8800 >. Теперь можно сказать, что наибольшим общим делителем для данной дроби было число 800.

В заключении заметим, что если знаменатель дроби представляет собой числитель, возведенный в квадрат, то такая дробь в несокращаемом виде всегда будет представлять собой: 1 – в числителе + число, значившееся числителем до сокращения, в знаменателе:

Источник

Сократимые дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.

Правила проверки дроби на сократимость

В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.

Готовые работы на аналогичную тему

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

Решение.

НОД вычислим по алгоритму Евклида:

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.

Правило сокращения дробей

Найти НОД числителя и знаменателя дроби.

Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.

Решение.

Воспользуемся правилом сокращения дробей:

Наиболее удобным является алгоритм Евклида:

\[231=187\cdot 1+44\]\[187=44\cdot 4+11\]\[44=11\cdot 4\]

Таким образом, НОД($187, 231)=11$.

Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ \textit<разложения дроби на простые множители>, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):

Решение.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 06 2021

Источник

Сократимые и несократимые дроби.

Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.

Сократимая дробь, определение и примеры.

Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.

Например:
Докажите, что дробь \(\frac<20><35>\) является сократимой.

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7

Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.

Из сократимой дроби \(\frac<20><35>\) получили несократимую дробь \(\frac<4><7>\).

Несократимая дробь, определение и примеры.

Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.

Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.

Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой дробью.

Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой.

Правило несократимой дроби.

Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac<55><100>\).

Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.

Ответ: получили несократимую дробь \(\frac<11><20>\).

Неправильные сократимые и несократимые дроби.

Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:

Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac<32><20>\).

Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем

Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac<16><5>\).

Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.

Определите сократима ли дробь \(\frac<16><25>\).

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.

Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac<8><25>\) б) \(\frac<6><4>\) в) \(\frac<13><5>\) г) \(\frac<36><44>\).

Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<8><25>\) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.

б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<6><4>\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac<6><4>=\frac<2 \times 3><2 \times 2>=\frac<3><2>\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.

в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<13><5>\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.

г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<36><44>\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac<36><44>=\frac<4 \times 9><4 \times 11>=\frac<9><11>\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.

Ответ: \(\frac<8><25>\) несократимая, правильная дробь.

Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.

Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.

б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.

в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от \(\frac<1><133>\) до \(\frac<132><133>\).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.

г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.

Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.

Источник

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.

Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)

Источник