Что такое независимые события в теории вероятности
Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей
Теоремы сложения вероятностей
Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).
Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.
Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.
Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события
Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).
Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:
Зависимые и независимые события. Условная вероятность
Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.
Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.
Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.
Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:
Формулы умножения вероятностей
Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.
Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором — черный (событие ) и при третьем — синий (событие ).
Формула полной вероятности
При этом события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.
Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.
Формула Байеса
Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем
Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.
Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:
Независимые события
Содержание
Основные определения [ править ]
| Определение: |
| Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math] p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) [/math] |
| Определение: |
| Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются несовместными (англ. mutually exclusive), если [math] A \cap B = \emptyset [/math] |
| Определение: |
| События называются независимыми в совокупности (англ. mutually independent), если для [math]\forall I\subset \<1, \ldots, k\>[/math] [math]p(\bigcap\limits_ A_) = \prod\limits_ p(A_)[/math] |
| Определение: |
| События [math]A_<1>, \ldots,A_ |
[math] \Leftarrow [/math] :
Примеры [ править ]
Игральная кость [ править ]
[math] A = \<2,4,6\>\ p(A)=\dfrac<1> <2>[/math] — вероятность выпадения чётной цифры
[math] B=\<1,2,3\>\ p(B)=\dfrac<1> <2>[/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
Карты [ править ]
[math] A = \<(1,j)\>\ p(A)=\dfrac<1> <4>[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти
[math] B=\<(i,1)\>\ p(B)=\dfrac<1> <13>[/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства
[math] p(A \cap B)=p(\<(1,1)\>)=\dfrac<1><52>[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
Честная монета [ править ]
[math] A = \<0\>\ [/math] — выпадение орла
[math] B=\<1\>\ [/math] — выпадение решки
Тетраэдр Бернштейна [ править ]
Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.
[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет
[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет
[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет
Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:
Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac <1> <4>[/math]
[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac<1><2>\cdot\dfrac<1><2>=\dfrac<1><4>[/math]
Все события попарно независимы, так как:
[math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math]
[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]
[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]
Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac<1><4>[/math]
[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac<1><2>\cdot\dfrac<1><2>\cdot\dfrac<1><2>=\dfrac<1><8>[/math]
Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)[/math]
Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.
Теория вероятности. Часть 2
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет 
, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: 
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – 
. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: 
.
Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.
Теория вероятности. Часть 2
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .
Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.
Теория вероятностей (ЕГЭ 2022)
Есть какая-то вероятность, что ты сорвешь в лотерее джек-пот. Для этого нужно купить один лотерейный билет.
Кстати, а какова вероятность выиграть, купив один лотерейный билет? А что если купить 2 билета? На сколько повысится вероятность того, что ты выиграешь джек-пот?
А если купить 100 или 1000 билетов? (спойлер: твои шансы сильно не увеличатся, так что если покупаешь билет, бери один).
Вот об этом сегодняшняя статья.
Теория вероятности — коротко о главном
Вероятность – это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Независимые события
Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна \( 1\) (\( 100\%\)).
Вероятность того, что событие не произойдет, равна \( 1\) минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий
Несовместные события
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Вероятности несовместных событий складываются.
Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ»
Вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.
Теория вероятности — подробнее
Что такое вероятность?
Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от \( 1\) до \( 6\).
Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало \( 5\) или \( 6\). И нам выпадает \( 5\).
В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие.
Если бы выпало \( 6\), событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.
А сколько неблагоприятных?
Раз всего возможных событий \( 6\), значит, неблагоприятных из них \( 6-2=4\) события (это если выпадет \( 1,\text< >2,\text< >3\) или \( 4\)).
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.
Обозначают вероятность латинской буквой \( p\) (видимо, от английского слова probability — вероятность).
Принято измерять вероятность в процентах (см. темы «Дроби, рациональные числа» и «Проценты»).
Для этого значение вероятности нужно умножать на \( 100\%\).
В примере с игральной костью вероятность \( p=\frac<благоприятных><всего>=\frac<2><6>=\frac<1><3>\).
А в процентах: \( p=\frac<1><3>\cdot 100\%=\frac<100><3>\%\approx 33,3\%\).
Примеры
Ответы:
И еще события бывают зависимыми друг от друга и независимыми. Начнем с зависимых событий.
Зависимые события
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой \( 3\) двери на выбор.
Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры \( 3\), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.
Но каков этот шанс?
Дверей \( 3\), нужная дверь \( 1\). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: \( \frac<1><3>\). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.
Мы хотим узнать, позвонив \( 1\) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
1. Ты позвонил в 1-ю дверь
2. Ты позвонил в 2-ю дверь
3. Ты позвонил в 3-ю дверь
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:
а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью
Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.
Как видишь, всего возможно \( 9\) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.
А благоприятных исходов всего \( 3\). То есть \( 3\) раза из \( 9\) ты угадаешь, позвонив в дверь \( 1\) раз, т.е. \( \frac<3><9>=\frac<1><3>\).
Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.
Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:
Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за \( \displaystyle <
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на \( 100\%\):
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы».
Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.
Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.
Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что \( \displaystyle \frac<1><3>\), то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:
1. Позвонить в 1-ую дверь
2. Позвонить во 2-ую дверь
Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):
а. Друг за 1-ой дверью
б. Друг за 2-ой дверью
Давай снова нарисуем таблицу:
Как видишь, всего есть \( 4\) варианта, \( 2\) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна \( \displaystyle \frac<2><4>=\frac<1><2>\).
А почему не \( \displaystyle \frac<1><3>\)?
Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.
Независимые события
Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Хрестоматийный пример – бросание монетки.
Бросаем монетку \( 1\) раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел?
Правильно: \( \displaystyle \frac<1><2>\), ведь вариантов всего \( 2\) (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только \( 1\).
Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же \( \displaystyle \frac<1><2>\).
Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на \( \displaystyle 1001-й\) раз будет все также \( \displaystyle \frac<1><2>\).
Вариантов всегда \( 2\), а благоприятных – \( 1\).
Отличить зависимые события от независимых легко:
Если эксперимент проводится \( 1\) раз (\( 1\) раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают \( 5\) раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет – независимые.
Ошибка игрока или ложный вывод Монте-Карло
Знаешь, то, что я описал сверху, очень хорошо отражает явление под названием ложный вывод Монте-Карло.
Попробуй придумать и записать на листочке результаты подбрасывания монетки.
А потом попробуй действительно подбрасывать монетку и записывать результат.
Спорим, я без труда определю, какую последовательность ты выдумал?
В реальной последовательности может абсолютно спокойно выпасть 18 решек подряд. А вот ты, составляя последовательность, когда-нибудь точно подумаешь: «Так, что-то многовато решек уже, пора бы и орлу появиться»
В этом и заключается ложный вывод Монте-Карло. В знаменитом казино Монте-Карло люди часто думают, что следующее событие как-то связано с предыдущим, например, ставят на красное, если ранее много раз выпало черное.
В действительности это не так.
А теперь давай немного потренируемся определять вероятность.
Пример 1
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?
Решение
Рассмотрим все возможные варианты:
Как видишь, всего варианта \( 4\). Из них нас устраивает только \( 1\). То есть вероятность:
Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на \( 100\%\).
Ответ: \( \displaystyle 0,25\)
Пример 2
В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из \( 20\) конфет – \( 6\) с орехами, \( 5\) с коньяком, \( 4\) с вишней, \( 3\) с карамелью и \( 2\) с нугой.
Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.
Решение:
Сколько всего возможных исходов? \( 6+5+4+3+2=20\).
То есть, взяв одну конфету, она будет одной из \( 20\), имеющихся в коробке.
А сколько благоприятных исходов?
\( 6\), потому что в коробке только \( 6\) конфет с орехами.
\( \displaystyle p=\frac
Ответ: \( \displaystyle 30\)
Пример 3
В коробке \( 20\) шаров. \( 12\) из них белые, \( 8\) – черные.
Решение:
1. В коробке всего \( \displaystyle N=20\) шаров. Из них \( \displaystyle <
2. Теперь шаров в коробке стало: \( \displaystyle N=20+10=30\).
А белых осталось столько же: \( \displaystyle <
\( \displaystyle p=\frac<<
Ответы:
Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна \( 1\) (\( 100\%\)).
Действительно, если мы будем считать, что все события для нас благоприятны, вероятность благоприятного исхода будет равна \( \displaystyle 1(100\%)\).
Допустим, в ящике \( \displaystyle 4\) красных и \( \displaystyle 5\) зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?
Вероятность вытащить красный шар:
Красный или зеленый шар:
Как видишь, сумма всех возможных событий равна \( 1\) (\( \displaystyle <
_<к>>+<
_<з>>=\frac<4><9>+\frac<5><9>=\frac<9><9>\)).
Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.
Пример 4
В ящике лежит \( \displaystyle 10\) фломастеров: \( \displaystyle 3\) зеленых, \( \displaystyle 2\) красных, \( \displaystyle 2\) синих, \( \displaystyle 2\) желтых, \( \displaystyle 1\) черный.
Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?
Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Всего их \( 3+2+2+1=8\). \( \displaystyle <
Так мы учились считать раньше, но сейчас, зная что такое полная вероятность, можно поступить немного проще.
Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер – \( \displaystyle 1-\frac<2><10>=0,8\).
Ответ: \( \displaystyle 0,8\)
Вероятность того, что событие НЕ произойдет, равна \( \displaystyle 1\) минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Что такое независимые события ты уже знаешь.
А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Можно конечно посчитать, но есть способ проще.
Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку \( 2\) раза, мы два раза увидим орла?
Мы уже считали: \( p=0,25\).
А если бросаем монетку \( 3\) раза? Какова вероятность увидеть орла \( 3\) раза подряд?
Всего возможных вариантов \( 8\):
Не знаю, как ты, но я \( 3\) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только \( 1\) вариант (первый).
Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.
Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.
Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий
Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в \( 1\) испытании? \( \displaystyle \frac<1><2>\). Теперь мы бросаем монетку \( 5\) раз.
Какова вероятность выпадения \( 5\) раз подряд орла?
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.
Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при \( 3\) бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка – \( \displaystyle \frac<1><2>\), орла – \( \displaystyle \frac<1><2>\).
Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
Можешь проверить сам, составив таблицу.
Примеры:
Решения:
Правило сложения вероятностей несовместных событий
Так стоп! Новое определение.
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента.
Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её \( 3\) раза. Возможные варианты:
Так вот, несовместные события – это определенная, заданная последовательность событий. \( 1),\text< >2),\text< >3),\text< >4)\ldots \text< >8)\) – это несовместные события.
Вероятности несовместных событий складываются.
Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий, то мы складываем вероятности этих событий.
Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события.
Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности \( 1\)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно \( 1\) раз, т.е. варианты \( 4),\text< >6)\) и \( 7)\), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов \( 8\), нам подходит \( 3\).
То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.
Правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:
Опишите, что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ». Затем вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.
Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку \( 3\) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла \( 1\) раз.
Что должно произойти?
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
\( \displaystyle \left( \frac<1><2>\cdot \frac<1><2>\cdot \frac<1> <2>\right)+\left( \frac<1><2>\cdot \frac<1><2>\cdot \frac<1> <2>\right)+\left( \frac<1><2>\cdot \frac<1><2>\cdot \frac<1> <2>\right)=\frac<1><8>+\frac<1><8>+\frac<1><8>=\frac<3><8>\)
Давай рассмотрим несколько примеров.
Пример 8
В коробке лежит \( 16\) карандашей. \( 2\) красных, \( 4\) зеленых, \( 5\) оранжевых и \( 3\) желтых и \( 2\) черных.
Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?
Решение:
Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).
Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:
Ответ: \( \displaystyle 0,375\)
Пример 9
Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?
Решение.
Как мы можем получить \( 8\) очков?
(\( 6\) и \( 2\)) или (\( 5\) и \( 3\)) или (\( 4\) и \( 4\)) или (\( 3\) и \( 5\)) или (\( 2\) и \( 6\)).
Вероятность выпадения одной (любой) грани – \( \displaystyle p=\frac<1><6>\).
Ответ: \( \displaystyle \frac<5><36>\)
Тренировка
Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.
Примеры:
Возьмем карточную колоду, в которой \( 52\) карты, из них \( 13\) пик, \( 13\) червей, 13 треф и 13 бубен. От \( 2\) до туза каждой масти.
Ответы:
Приме 11. \( \displaystyle p=\frac<13><52>\cdot \frac<13><52>=\frac<1><4>\cdot \frac<1><4>=\frac<1><16>=0,0625\)
Пример 12. \( \displaystyle p=\frac<13><52>+\frac<13><52>=\frac<1><4>+\frac<1><4>=\frac<1><2>=0,5\)
Пример 13. В колоде \( 4\) карты каждого достоинства, значит: \( \displaystyle p=\frac<4><52>+\frac<4><52>+\frac<4><52>+\frac<4><52>=\frac<16><52>=\frac<4><13>\)њ
Пример 14. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»).
Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально \( 16
\left( 4+4+4+4 \right)\), а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже \( 51\) карта, из них \( 15\) картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
Ответ: \( \displaystyle \frac<20><221>\)
Пример 15. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
Не забываем про уменьшение количества карт в колоде! \( \displaystyle p=\frac<4><52>\cdot \frac<12><51>+\frac<12><52>\cdot \frac<4><51>=\frac<12><13\cdot 51>+\frac<12><13\cdot 51>=\frac<24><663>=\frac<8><221>\)
Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!
Задачи смешанного типа
Пример 16.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?
Решение.
Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.
Есть простое правило для таких ситуаций.
Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ».
Например, в данном случае:
Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).
Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» – сложение:
Попробуй сам:
Решения:
Пример 17. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): \( p=\left( \frac<1><2>\cdot \frac<1> <2>\right)+\left( \frac<1><2>\cdot \frac<1> <2>\right)=\frac<1><4>+\frac<1><4>=\frac<1><2>=0,5\).
Пример 18. Какие есть варианты? \( 6+4,\text< >5+5\) и \( 4+6\). Тогда:
Выпало (\( 4\) и \( 6\)) или (\( 5\) и \( 5\)) или (\( 6\) и \( 4\)): \( p=\left( \frac<1><6>\cdot \frac<1> <6>\right)+\left( \frac<1><6>\cdot \frac<1> <6>\right)+\left( \frac<1><6>\cdot \frac<1> <6>\right)=\frac<1><36>+\frac<1><36>+\frac<1><36>=\frac<3><36>=\frac<1><12>\).
Пример 19. Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу?
Это же просто: все время летят решки, значит
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ
Теория вероятности. ЕГЭ №4 (54 задачи)
Что вы узнаете на этом уроке?
80% урока — решение задач
Математическая статистика
Мы вам рекомендуем также ознакомиться с нашей статьей по родственной теме — математическая статистика.
В статье вы найдете основные определения математической статистики и способы графического изображения данных.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
Слово самому лучшему — тебе!
Сегодня ты узнал много нового! И теперь ты можешь решить любую задачу по теории вероятностей. Главное – сосредоточься и пойми, что к чему. Ты справишься!
А теперь мы хотим узнать твое мнение. Напиши нам в комментариях ниже!
Понравилась ли тебе статья? Какая задача показалась тебя самой сложной? Разобрался ли ты с ней?
Если у тебя остались вопросы, то не стесняйся спрашивать! Там же, в комментариях. Мы обязательно тебе ответим.
Добавить комментарий Отменить ответ
3 комментария
все очень супер понятно. Спасибо! удачи!
Спасибо, Nadzey! И вам удачи!
Руслан
13 марта 2020
Здравствуйте. Разъясните пожалуйста, казалось бы простую вещь. В коробке бесконечное множество карандашей, половина красные, половина зеленые. Не будем считать что карандаши убавляются, то есть события в принципе не зависимые. Если я достал по очереди три красных карандаша, то какова вероятность что я достану четвертый карандаш тоже красным. 50%?
Алексей Шевчук
20 марта 2020
Руслан, верно, 50%. Как с монеткой, один в один.
Александр
02 июля 2020
Если предположить, что задача решается, как с монеткой, то речь идет о выпадении четвертого раза одного из двух вариантов подряд, нет? То есть вероятность вытащить красный карандаш, как описано в примере выше — 50%, вытащить второй раз подряд красный карандаш — 25%, вытащить третий раз подряд красный карандаш — 12,5%. соответственно вероятность вытащить четвертый раз подряд красный карандаш — 6,25%, нет? P.S. С бесконечными карандашами странная аналогия — проще представить казино — красное и черное) Какова вероятность в казино, поставив четыре раза подряд на красное — выиграть?)
Алексей Шевчук
07 июля 2020
Ваши расчёты (6,25%) — это решение другой задачи: какова вероятность вытянуть 4 красных карандаша подряд, если мы пока что ещё ничего не вытаскивали. Но если мы знаем на 100%, что первыми тремя вытащим именно красные, наши расчёты ведь изменятся, верно? Аналогия с бесконечными карандашами вполне нормальная, это же просто математическая модель. Если хотите, можно просто каждый взятый караднаш возвращать обратно в коробку, чтобы их снова становилось поровну.
Алексей Шевчук
07 июля 2020
А с казино ситуация действительно очень похожая, за исключением одного маленького нюанса — сектора зеро. В рулетке 18 красных, 18 чёрных секторов, и один зеро — следовательно, вероятность выпадения красного не 1/2, а 18/37. Это нужно обязательно учитывать при расчёте вероятностей. Например, благодаря зеро не работает популярная когда-то стратегия: ставим рубль на красное, если он выпадает, забираем выигрыш, если нет, то удваиваем ставку. Теперь если выиграем, казино нам даст 2 рубля, что покроет предыдущий проигрыш и даст «заработок» в 1 рубль. Если снова не повезло — снова удваиваем ставку, таким образом, покрывая все прошлые проигрыши. Как только выиграли, возвращаемся к начальной ставке в 1 рубль. Весь расчёт здесь строится на том, что вероятность выиграть, умноженная на размер выигрыша, равна нашей ставке, поэтому мы как минимум ничего не теряем, а если вовремя остановиться, то и выигрываем. Но это не так (казино и рулетку не дураки придумали): именно благодаря зеро вероятность чуть меньше 1/2, но выигрыш всё равно в 2 раза больше ставки. Поэтому, играя много игр, мы проигрываем в среднем 1/37 поставленных денег — недостаточно много, чтобы мы что-то заподозрили, но достаточно, чтобы казино осталось в плюсе) Хорошо, что есть математика, и мы можем всё заранее расчитать, правда?
Александр (админ)
07 июля 2020
С казино стратегия удвоения не работает не только по причине зеро. В каждом казино есть минимальный и максимальный размер ставки и поэтому удваивать получится не больше 4-5 раз. Рано или поздно игрок проиграет все, если будет придерживаться этой стратегии.