Что такое нод 6 класс
Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие наибольшего общего делителя
Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.
Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.
Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.
Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).
Проверить результаты вычислений можно с помощью онлайн-калькулятора НОД и НОК.
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.
Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.
Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.
Свойства наибольшего общего делителя
У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.
Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.
Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.
Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.
Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.
Доказательство
Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.
Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.
В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.
Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.
Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.
Доказательство
Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.
Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.
Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).
Доказательство
Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.
Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.
Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.
Способы нахождения наибольшего общего делителя
Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.
1. Разложение на множители
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Ответ: НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Ответ: НОД (15, 28) = 1.
Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.
Ответ: НОД (24, 18) = 6
2. Алгоритм Евклида
Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.
Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.
Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.
Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.
Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.
В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:
Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.
Ответ: НОД (140, 96) = 4
Пошаговое деление можно записать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:
Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.
Как находить наибольший общий делитель (НОД) двух чисел
Одной из задач, вызывающих проблему у современных школьников, привыкших к месту и не к месту использовать калькуляторы, встроенные в гаджеты, является нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и более чисел.
Невозможно решить никакую математическую задачу, если неизвестно, о чём собственно спрашивают. Для этого нужно знать, что означает то или иное выражение, используемое в математике.
Общие понятия и определения
Необходимо знать:
В математике приняты следующие записи:
Различные способы найти НОД
Проще всего ответить на вопрос как найти НОД в том случае, когда меньшее число является делителем большего. Оно и будет в подобном случае наибольшим общим делителем.
Например, НОД (15;45) = 15, НОД (48;24) = 24.
Но такие случаи в математике являются весьма редкими, поэтому для того, чтобы находить НОД используются более сложные приёмы, хотя проверять этот вариант перед началом работы все же весьма рекомендуется.
Способ разложения на простые сомножители
Если необходимо найти НОД двух или более различных чисел, достаточно разложить каждое из них на простые сомножители, а затем произвести процесс умножения тех из них, которые имеются в каждом из чисел.
Пример 1
Рассмотрим, как находить НОД 36 и 90:
НОД (36;90) = 1*2*3*3 = 18.
Теперь посмотрим как находить то же самое в случае трёх чисел, возьмём для примера 54; 162; 42.
Как разложить 36 мы уже знаем, разберёмся с остальными:
Таким образом, НОД (36;162;42) = 1*2*3 = 6.
Следует заметить, что единицу в разложении писать совершенно необязательно.
Рассмотрим способ, как просто раскладывать на простые множители, для этого слева запишем необходимую нам цифру, а справа станем писать простые делители.
Разделять колонки можно, как знаком деления, так и простой вертикальной чертой.
Евклидов способ
Этот вариант известен человечеству ещё со времён древнегреческой цивилизации, он во многом проще, и приписывается великому математику Евклиду, хотя весьма похожие алгоритмы применялись и ранее. Этот способ заключается в использовании следующего алгоритма, мы делим большее число с остатком на меньшее. Затем наш делитель делим на остаток и продолжаем так действовать по кругу пока не произойдёт деление нацело. Последнее значение и окажется искомым наибольшим общим делителем.
Приведём пример использования данного алгоритма:
попробуем выяснить какой НОД у 816 и 252:
Итак, по завершении нашего процесса мы получили НОД (816;252) = 12.
Действия при необходимости определения НОД если задано более двух значений
Мы уже разобрались, что делать в случае, когда имеется два различных числа, теперь научимся действовать, если их имеется 3 и более.
При всей кажущейся сложности, данная задача проблем у нас уже не вызовет. Сейчас мы выбираем два любые числа и определяем искомое для них значение. Следующим шагом отыскиваем НОД у полученного результата и третьего из заданных значений. Затем снова действуем по уже известному нам принципу для четвёртого пятого и так далее.
Заключение
Итак, при кажущейся большой сложности поставленной перед нами изначально задачи, на самом деле все просто, главное уметь выполнять безошибочно процесс делений и придерживаться любого из двух описанных выше алгоритмов.
Видео
С помощью видео вы сможете узнать, как найти наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства
Что такое общие делители
Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.
В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.
Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.
Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.
Что такое наибольший общий делитель (НОД)
Переходим к формулировке основного определения.
Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.
Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.
На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).
Основные свойства НОД и алгоритм Евклида
У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.
Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.
Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.
Докажем это утверждение.
Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.
Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.
Перейдем к другим свойствам.
Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:
Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.
Наибольший общий делитель
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Второй способ записи НОД
На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Урок 6 Бесплатно Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
Сейчас мы научимся определять наибольший общий делитель для двух или трех чисел, познакомимся с алгоритмом Евклида и узнаем много всего интересного.
Наибольший общий делитель
Самое большое натуральное число, на которое делятся нацело два или более чисел, называется их наибольшим общим делителем (НОД).
При поиске НОД, например, 36 и 24, надо:
1. Записать их в виде разложения на простые множители
3. Вычислить произведение множителей, которые остались: \(\mathbf<2\cdot2\cdot3 = 12>\)
В итоге НОД чисел 36 и 24 равен 12.
Если при нахождении НОДа среди чисел есть одно, на которое делятся все остальные, то оно и будет тем самым НОДом.
Например, у чисел 12, 36 и 48 НОД = 12
Пример 1
Найдите все общие делители чисел:
А) 70, 105
Б) 18, 24
В) 45,75
Г) 324, 111, 432
Д) 320, 640, 960
Решение
Пример 2
На новогоднем утреннике дети получили пакеты с подарками. Всего во всех пакетах находилось 159 апельсинов и 106 яблок. Сколько детей было на новогодней ёлке? Сколько в каждом пакете было яблок и сколько апельсинов?
Решение
Ребят на елке было 53 человека. В каждом пакете подарка было по 3 апельсина и 2 яблока.
Пример 3
Для выезда на природу работникам предоставили несколько автобусов. В каждом автобусе равное число мест для сидения. 184 человека выехали в лес, а 138 отправились на озеро. Так вышло, что все места в автобусах были заняты, и, стоя, никто не ехал. Сколько автобусов было и сколько пассажиров ехало в каждом из них?
Решение
В каждом автобусе было по 23 места. В лес поехало 8 автобусов, а на озеро поехало 6 автобусов. Всего было 8 + 6 = 14 автобусов.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Всё достаточно просто: взять пару положительных чисел и получить по правилу новую пару, которая будет состоять из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Повторять алгоритм до тех пор, пока числа не получатся одинаковыми. Последнее число и будет НОДом первоначальной пары чисел.
Евклид предложил алгоритм только для натуральных чисел и геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Однако в XIX веке он был обобщён на другие типы математических объектов, включая целые числа Гаусса и полиномы от одной переменной.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Взаимно простые числа
Давайте разберёмся с некоторыми натуральными числами.
Число 15 имеет делители 1, 3, 5, а число 16 имеет делители 1, 2, 4, 8
Рассмотрев этот и другие примеры, не сложно догадаться, что натуральные числа, у которых НОД равен 1, называются взаимно простые.
Пример 1
Возьмем две пары чисел 12 и 18, 13 и 21. Выясним, есть ли среди них взаимно простые числа. Для этого каждое из чисел распишем по простым делителям.
12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18
Значит, числа 12 и 18 кроме единицы имеют общие делители 2, 3, 6, поэтому они не являются взаимно простыми числами. Повторим действия с другой парой чисел 13 и 21.
Число 13 делится нацело на 1, 13, а число 21 делится нацело на 1, 3, 7, 21.
Значит, вторая пара чисел состоит из взаимно простых.
Пример 2
Пусть у нас есть два числа 45 и 32, которые являются натуральными и составными.
Первое из них 45 имеет делители 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 имеет делители 1, 2, 4, 8, 16, 32
Оба числа из этой пары имеют единственный общий делитель- 1
Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми. Запишем оба числа в виде разложения на простые множители
Числа из нашего примера, 45 и 32, в записи на множители не содержат равных чисел. Значит, разложения на простые множители двух и более взаимно простых чисел не включают одинаковых простых множителей.
Пример 3
Являются ли взаимно простыми числа:
А) 55 и 40
Б) 77 и 92
В) 14, 32 и 41
Г) 231 и 298
Д) 68 и 137
Решение:
Нет, не являются взаимно простыми числами
Да, являются взаимно простыми числами
Да, являются взаимно простыми числами
Да, являются взаимно простыми числами
Да, являются взаимно простыми числами
Пример 4
Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b, если:
Решение
Признак делимости на произведение взаимно простых чисел: если данное натуральное число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Рассмотрим этот признак на примере трех взаимно простых чисел.
Возьмем, например, 420.
Число 420 без остатка делится на 2, на 5 и на 7.
Числа 2, 5, 7 являются взаимно простыми (так как их НОД равен 1). Проверим, будет ли делиться 420 на произведение взаимно простых чисел 2, 5 и 7.
Очевидно, что 420 делится нацело на произведение чисел двух, пяти и семи.
Правило можно применять для любого количества множителей.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Алгоритм Евклида, который используется для нахождения НОДа и с которым мы познакомились выше, широко применяется при решении других математических задач. Например, он связан с цепными дробями и позволяет с их помощью уменьшать большие дроби до маленьких.
Кроме того, алгоритм используется при решении линейных диофантовых уравнений. Это такие уравнения, у которых могут быть несколько неизвестных целых величин, и все их нужно найти. Например, может быть такое уравнение:
Решением этого уравнения будет пара чисел
Могут быть и другие пары решений. Решение таких уравнений начинается обычно с нахождения НОДа чисел, стоящих перед неизвестными. В нашем случае мы бы находили \(\mathbf<НОД(2, 3)>\)
Не всегда данный алгоритм позволяет быстро решать задачи. Иногда можно потратить много времени, сделать много вычислений, прежде чем найти нужный результат. Это единственный большой минус одного из старейших численных алгоритмов.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации