Что такое нок числа

Наименьшее общее кратное

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.

Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.

Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

2 2 · 3 · 7 2 = 12 · 49 = 980.

Ответ: НОК (12, 49) = 980.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3,

12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Калькулятор НОК

Источник

Наименьшее общее кратное: как найти

Наименьшее общее кратное — что это такое

Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».

Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.

К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.

Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.

Вычисление НОК, правила в математике

Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.

Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.

К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;

К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.

Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.

Поэтому НОК (4, 6) — 12.

Как найти НОК через НОД

Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).

В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.

Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.

Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.

Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:

8 делится на 1, 2, 4, 8;

36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.

Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.

В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.

Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.

Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.

Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.

На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.

Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:

НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).

Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.

Как найти НОК через разложение чисел

Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.

Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.

После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:

После разложения 12-ти получается ряд:

После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.

Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.

В качестве проверки произведем действия:

На практике записывают: НОК (9, 12)=36.

Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.

Найти НОК чисел 50 и 180.

Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.

Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.

Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.

Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.

Следовательно, НОК (50, 180)=900.

Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.

Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,

Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.

В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:

Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a₁), 9 (a₂), 54 (а₃), 250 (а₄).

Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.

Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.

Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.

По аналогии вычисляем m₃ (=3780) и m₄ (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.

Источник

Наименьшее общее кратное НОК.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

— Коммутативность:

— Ассоциативность:

— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

— В частности, если и — взаимно-простые числа, то:

— при

— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

— Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

— .

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).

— , что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p₁. p_k — различные простые числа, а d₁. d_k и e₁. e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

2) записать степени всех простых множителей:

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

Источник

Наименьшее общее кратное НОК.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

— Коммутативность:

— Ассоциативность:

— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

— В частности, если и — взаимно-простые числа, то:

— при

— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

— Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

— .

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).

— , что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p₁. p_k — различные простые числа, а d₁. d_k и e₁. e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

2) записать степени всех простых множителей:

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

Источник

Базовые понятия

Для вычисления НОК (наименьшее общее кратное) необходимо разобраться с терминами и определениями. Если любое натуральное число делится на Х без остатка, это число считается кратным Х. Например, 14, 49, 63 кратны 7.

Любое число в математике может иметь бесконечное множество кратных. А вот количество делителей для него самого ограничено. У простых чисел их всего 2 — это единица и само простое число.

НОК может быть общим сразу для нескольких величин. Если какая-то из них делится без остатка сразу на 2 числа, она называется общим кратным этой пары. Например, 10 кратно одновременно 2 и 5, то есть его можно разделить нацело на 2 и на 5. Однако для 2 и 5 кратным может быть не только 10, но и другие величины — 20, 50, 100 и так далее. С математической точки зрения, важно определить меньшую из этих величин.

Наименьшее общее кратное или НОК для величин А и В — это самое маленькое число, которое одновременно делится на А и на В. То есть оно кратно сразу А и В.

Вместо переменных можно подставлять любые числа и искать для них этот показатель.

Методы нахождения

Чтобы найти НОК 2 чисел, в математике используются три способа. Каждый из них может быть применен для проведения вычислений. Если все операции совершены правильно, в результате получится один и тот же ответ при всех методах.

Первый способ

При этом способе применяется метод простого подбора. Для многих учеников он самый простой. Порядок вычисления будет такой:

Пример: необходимо найти НОК для 6 и 8. Сначала составляется ряд кратных 6. Он будет выглядеть так: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 и так далее. Для числа 8 ряд кратных будет иметь вид: 8, 16, 24, 32, 40. 48, 56, 64, 72, 80 и так далее. Если изучить оба ряда, можно обнаружить 2 одинаковых числа — 24 и 48. Меньшим из них является 24. Это и есть НОК для 6 и 8. Для проверки делят 24 на эти величины. В обоих случаях получаются целые величины без остатка.

Второй вариант

Для вычисления вторым способом нужно разложить на простые множители обе величины. Простым множителем в математике принято называть число, которое делится без остатка только на 1 и на себя.

Следующий шаг — выписываются все множители из первого ряда. Затем добавляются те цифры, которых не было в первом ряду, но были во втором. Получится цепочка из нескольких простых чисел. Их необходимо перемножить между собой, в результате чего получится НОК.

Пример: требуется найти НОК для 8 и 12. Для начала нужно разложить на простые множители 8. Получится 2, 2 и 2. Дальше раскладывается аналогичным образом число 12. Получается 2, 2 и 3. Выписываются множители из первого разложенного ряда 2х2х2. Далее добавляются цифры из второго ряда, которых нет в первом — 2х2х2х3.

После перемножения этих величин получается 24. Это и будет НОК для 12 и 8, поскольку оно делится нацело на оба числа. Фактически все действие сводится к разложению на простые множители двух величин одновременно.

Третий алгоритм

Существует еще один метод нахождения НОК. Решать примеры с его помощью можно только для двух чисел. Необходимо заранее знать наибольший общий делитель — НОД. Так принято называть самое большое число, на которое 2 какие-либо переменные делятся без остатка. Вместо переменных можно ввести конкретные данные. НОД возможно вычислить не только для 2, но и для большего количества величин. В математике это понятие принято записывать кратко НОД (х, у).

Пример: требуется рассчитать НОД для 90 и 117. При разложении на простые множители 90 получается ряд 2,3,3,5. Ту же операцию проводят с числом 117 — получается 3,3,13. Для вычисления НОД умножают общие для двух рядов множители — 3х3=9. Значит, НОД (90,117) = 9.

Часто получается, что наибольший общий делитель равняется одному из чисел. Так бывает, если на него можно разделить все остальные. Например, для 10, 20 и 30 наибольшим делителем будет 10.

Если в задаче необходимо найти одновременно НОД и НОК, применяют третий способ вычисления. Алгоритм работы следующий:

Пример: требуется найти НОД и НОК для чисел 115 и 175. Вначале вычисляется НОД. В этом случае он будет равняться 5. Затем 25 и 40 перемножают, получается 20125.

Полученный результат делят на 5, в итоге НОК 15 и 40 равно 4025.

Чтобы проверить достоверность результата, можно вычислить НОК первым или вторым методами.

Например, нужно найти НОК (25, 40).

Наибольшим делителем для них будет 5. Тогда (25х40):5 = 200.

Проверка вторым способом:

Такой же результат будет получен и при решении вторым методом.

Особые случаи

Не во всех случаях вычисление проводится стандартными способами. Существуют пары чисел с особыми свойствами, для которых найти НОК можно без громоздких вычислений.

К таким случаям относятся следующие:

Большинство учащихся быстро усваивают, как найти НОК двух чисел.

Однако некоторых вводят в растерянность ситуации, когда требуется вычислить НОК или НОД для трех или более исходных. В этом случае необходимо последовательно находить кратное для каждой пары из имеющегося ряда.

Для этих случаев в математике есть особая теорема. Если имеется числовой ряд с формулой А1, А2, А3… Ах, то НОК для всех показателей вычисляется последовательно. Вначале НОК (А1, А2), затем для А2, А3 и так далее.

Однако такой путь может оказаться довольно трудоемким.

Чтобы сэкономить время, можно воспользоваться другим методом поиска:

Применение онлайн-калькулятора

Современные технологии позволяют не рассчитывать нужные данные на бумаге. Любой пользователь может найти в интернете НОД и НОК калькулятор, работающий в онлайн-режиме. Такой онлайн-сервис особенно удобен, если нужно найти делитель и кратное для 3 и более чисел.

Чтобы получить нужные расчеты, достаточно ввести в окошки калькулятора исходные данные и выбрать НОД или НОК. Поскольку между этими понятиями существует тесная связь, обычно они вычисляются вместе. Внизу находится кнопка «найти», которую нужно нажать. Через 2−3 секунды внизу появится ответ. Кроме того, некоторые сервисы выдают не только конечные результаты, но и пошаговый порядок расчетов. Здесь же можно найти онлайн-тесты на заданную тему.

Таким образом, учащийся может понять алгоритм действий и усвоить правило при вычислении НОК онлайн. Это всегда проще сделать на практическом примере.

Источник