Что такое нуль с теоретико множественных позиций

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Описание

Материалы лекции оформить в тетради. Наличие конспекта по данной теме будет проверено на следующей паре.

Оглавление

1. Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком N_а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что N_а =

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок N_а содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_а.

2) Если число х содержится в отрезке N_а и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в N_а.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

2. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = n(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n( ∅ ).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = n(А), причем А

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Установленная связь между конечными множествами и натураль­ными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом: а ⇔ ( ∃ с ∈ N) а + с = b.

Так, справедливость неравенства 3 ⊂ <1,2,3,4, 5, 6,7>.

Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b».

Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду. Однако сравнение чисел (особенно небольших) часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными множествами.

В общем виде рассмотренный подход к определению отношения «меньше» можно обосновать следующим образом: пусть а = n(А), b = n(В), и а ⊂ N_b. Последнее отношение означает, что в множестве В можно выделить собственное подмноже­ство В₁, равномощное множеству А: а = n (А), b = n(В) и а ⇔ А

Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».

Теоретико-множественный смысл неравенства 0 ∪ В), если А ∩ В = ∅ .

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства а+0=а. Если а = n(А), 0 = n( ∅ ), то, согласно теореме, а + 0 = n(А) + n( ∅ ) = n(А ∪ ∅ ). Но, как известно, А ∪ ∅ = А, следовательно, n(А ∪ ∅ ) = n(А), откуда а + 0 = а.

4. Теоретико-множественный смысл разности

Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = n(А), b = n(В) и В⊂А:

а-b=n(А)-n(В)=n(А\В), если В ⊂ А.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А\0 =А, А\А =0,то а-0=а и а-а=0.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») естественным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а · b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а · b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А₁) = n(А₂) = n(А₃) = 4, то n(А₁ ∪ А₂ ∪ А₃) = n(А₁) + n (А₂) + n(А₃) = 4 + 4 + 4 = 4 · 3. Произведение 4 · 3 является математической моделью данной задачи. Так как 4 · 3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а × b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.

6. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

C теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложи­ли в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке?»

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что n (А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (В).

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (См. рисунок). Поскольку в каждом из подмножеств содер­жится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3+3 или 3 × 2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

Источник

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от количества в них элементов, т.е. в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по сво­ей природе, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное нату­ральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное чис­ло, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например множества:

— множество букв в слове «число»;

— множество сторон в пятиугольнике.

В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества харак­теризуются числом пять. Это число характеризует свойство и дру­гих множеств этого класса.

Каждому конечному множеству соответствует только одно на­туральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.

1) «Сколько пальцев на руке?»

2) «Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором воз­можны различные варианты выполнения задания.

Число «нуль» не является натуральным.

С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривает­ся как число элементов пустого множества.

Знакомя дошкольников с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множест­ва и соотносят им изучаемое число:

— На рисунке изображены три фигуры.

— На столе лежат три яблока.

— Число «три» записывают цифрой 3, что обозначает «три предмета».

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда сум­мой натуральных чисел аиbназывают число элементов в объединении множеств А и В.

Сумма натуральных чисел всегда существует, единственно и но зависит от выбора представляющих их множеств.

Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух яблок, множеством из двух геометрических фигур и т. д.), 3 – число элементов в множестве В (В – может быть множеством из трех треугольников, множеством из трех груш и т.д.). Множества А и В не должны иметь общих элементов. Тогда 2 + 3 представляет собой число элементов в объ­единении множеств А и В. Если пересчитать их, то получим, что 2 + 3 = 5.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, слагаемыми.

Исходя из данного определения суммы, можно обосновать из­вестные законы сложения чисел:

1) переместительный, т.е. а + b = b + а для любых натуральных, чисел аиb.

Переместительный и сочетательный законы сложения распро­страняются на сложение любого числа слагаемых. Переместитель­ный закон разрешает любую перестановку слагаемых, а сочетатель­ный – любую их группировку.

Дошкольники используют эти законы при поиске удобного способа нахождения суммы. Так, считается более простым прибав­лять меньшее слагаемое к большему, удобнее складывать слагае­мые, дополняющие друг друга до 10 и т.п.

Задание 26.

Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множе­ствами. Например, чтобы установить отношение 3

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В. Если множе­ство А равномощно подмножеству множества В, то а а). Если множества А и В равномощны, то а = b.

Можно определить отношение «меньше» для чисел, не обра­щаясь к множествам. Например, было 5 яблок, добавили 1, стало 6 яблок. Яблок стало больше на 1, значит 6 больше 5, а 5 меньше 6.

Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнени­ем подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве A, b – число элемен­тов в множестве В и В – подмножество множества А. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

Например, смысл разности 5-3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадра­тов, яблок и др.).Выделим из множества А подмножество В, в ко­тором 3 элемента. Тогда 5-3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Путем пересчета мож­но установить, что 5-3 = 2.

Разность натуральных чисел а и b существует и единственна только при условии, что b

Источник

СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ

Лекция 36.Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Понятие отрезка натурального ряда. Порядковые и количественные натуральные числа. Упорядоченность множества целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественное обоснование отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в». Обоснование выбора действий при решении простых задач на «нахождение суммы», на «нахождение остатка», на «увеличение (уменьшение) на несколько единиц», на «увеличение (уменьшение) в несколько раз», на «деление на части», на «деление по содержанию».

Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснили, что счет элементов конечного множества приводит к числу количественному. Используя теоретико-множественные понятия, можно разъяснить смысл количественного натурального числа, не связывая его со счетом. Сделаем это в рамках так называемого теоретико-множественного подхода к числу. Учителю начальных классов знание этого подхода поможет понять, как построены те курсы начальной математики, которые основаны на теоретико-множественной модели системы натуральных чисел, используемой явно или неявно.

Теоретико-множественный смысл

Натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = п(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однознач­но определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о нату­ральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса мно­жеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = п(0).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е.
а = п(А), причем А

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Установленная связь между конечными множествами и натураль­ными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкова­ние отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом:

а Nа Ì Nв и Nа ¹ Nв.

Так, справедливость неравенства 3 А

В₁, где В₁ Ì В, В₁ ¹ В, В₁ ¹ Æ.

Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и симметричность этого отношения связаны с тем. что транзитивпо и асимметрично отношение «быть подмножестром».

Теоретико-множествснный смысл неравенства 0

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Математика (ЕН.01)

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

1. Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком N_а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что N_а =

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок N_а содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_а.

2) Если число х содержится в отрезке N_а и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в N_а.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Источник

Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Отрезком N натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а, т.е N = <х|х N и х а>.

Например, N это множество натуральных чисел, не превосходящих 7, т.е. N =<1,2,3,4,5,6,7>.

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N натурального ряда. Например, множество А вершин треугольника, множество В букв в слове «мир» конечные множества, т.к. они равномощны отрезку N = <1,2,3>, т.е. А

Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом – двухэлементные и т.д. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число 0 тоже имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству: n( ) = 0.

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете;
2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

Если а = n(А), b = n(B), то число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству множества В, т.е. А

Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами: а = k А

Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».

Покажем, используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше» для натуральных чисел, что 2

Сравнение чисел в начальном курсе математики осуществляется различными способами – оно основано на всех рассмотренных нами подходах к трактовке отношения «меньше».

Источник