Что такое нулевой многочлен

Что такое нулевой многочлен

Многочленом с одной переменной называется выражение вида

Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.

Число `a` называется корнем многочлена `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.

Приведём основные сведения о многочленах.

Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.

Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)` на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

Деление закончится тогда, когда степень делимого будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).

Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).

1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.

2) Число `alpha` является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.

4) Многочлен степени `n` не может иметь более `n` корней.

1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что

Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.

Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим

Первая часть доказана.

4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.

По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.

Степень остатка не превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,

`F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`. (11)

Подставим в равенство (11) `x=3` и `x=-5`:

Решая эту систему, нахоим, что `a=(11)/8`, `b=- (17)/8`.

У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13) имеет ровно один корень `x=4`.

1-й способ. Выполним деление с остатком:

Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями многочлена. То есть,

Источник

Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены

Содержание

Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:

Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто – такие примеры называют многочленами.

Многочлены – это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.

Упрощение многочленов

Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:

В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:

Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количество членов.

Стандартный вид многочленов

Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:

Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:

Мы можем получить выражение стандартного вида:

Степень многочлена

Рассмотрим многочлен стандартного вида:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:

$\color3x^<2>-xy+5y^<2>$ – степень равна двум

$\color 3x^<4>y^<2>$ – степень равна шести

$\color 3$ – степень равна нулю

Коэффициенты многочленов

Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.

Нуль-многочлены

Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:

Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Имена многочленов по степени

Следующие имена присваиваются многочленам в соответствии с их степенью:

Для более высоких степеней иногда предлагались имена, но они редко используются:

Примеры

Поведение при полиномиальных операциях

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов.

Добавление

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; это,

Умножение

Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; это,

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности представляет собой сумму их степеней:

Состав

Степень нулевого многочлена

Эти примеры показывают, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :

Вычисляется из значений функции

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:

Другая формула для вычисления степени f по его значениям:

Расширение до многочленов с двумя или более переменными

Функция степени в абстрактной алгебре

Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем степени f и g по отдельности. На самом деле держится нечто более сильное:

Поскольку функция нормы не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что он следует правилам нормы в евклидовой области.

Источник

Что такое нулевой многочлен

Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.

Выражение 5a 2 b – 3ab – 4а 3 + 7 представляет собой сумму одночленов 5a 2 b, –5ab, –4а 3 и 7. Такие выражения называют многочленами.

✅ Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х 3 у – 4х 2 + 9 являются одночлены х 3 у, –4х 2 и 9.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х 2 у – х 3 + 7у при х = –0,2, у = –1.
Имеем:
–0,3х 2 у – х 3 +7у = –0,3 • (–0,2) 2 • (–1) – (–0,2) 3 + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.

Стандартный вид многочлена

В многочлене 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9.
Имеем:
13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у – 9 = (13х 2 у – 6х 2 у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х 2 у + 8ху – 5 = 7х 2 у + 8ху – 5.

В многочлене 7х 2 у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Рассмотрим многочлен стандартного вида За 3 – 5а 3 b 2 + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример 3. Определим степень многочлена а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1.
Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1 = 2a 2 b + 1.
Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.

Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: а₀х n + а₁х n-1 + а₂х n-2 + … + а_n-2х 2 + а_n-1х + а_n, где х — переменная, а₀, a₁ а₂, …, а_n-1, а_n — произвольные числа, n ∈ N или n = 0. Коэффициент при х n называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а₀). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это а_n). Например, старший коэффициент многочлена х 4 + 2х 3 – х 2 + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.

Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.

Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Понятие многочлена. Свойства многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже знаем, что в математике приходится решать очень много прикладных задач, некоторые из них достаточно сложные. И чтобы научится делать такие сложные задания, порой приходится выполнять несколько более простых действий. Так было с одночленами. Они подвели нас к более сложному понятию – многочлены, о которых сегодня пойдёт речь.

Начнём с того, что введём новое понятие – многочлен.

Многочлен – это сумма одночленов.

Например, так могут выглядеть многочлены:

Посмотрим, как ещё могут выглядеть многочлены. Например, многочленом можно назвать и любой одночлен, в том числе и нулевой.

0 – нулевой одночлен (или нулевой многочлен).

А теперь рассмотрим свойства многочленов.

1) Члены многочлена можно менять местами. Т. е. если многочлены отличаются друг от друга только порядком членов, то такие многочлены равны.

данные многочлены равны, т. к. отличаются друг от друга только порядком членов.

2) Если прибавить к многочлену ноль, то он не изменится. Т. е., если многочлены отличаются друг от друга только слагаемым ноль, то многочлены равны.

данные многочлены равны, т. к. отличаются друг от друга только нулём.

3) В многочлене можно приводить подобные члены. Т. е., если один из многочленов получен из другого заменой подобных членов суммой, то такие многочлены равны.

многочлены равны, т. к. один многочлен получен из другого заменой подобных членов с буквенными множителями ас и кх суммой. При этом для подобных действий для наглядности лучше подчёркивать подобные члены многочлена.

А теперь применим свойства многочлена для преобразования выражения.

Выполним такое задание.

Итак, сегодня мы получили представление о многочленах, рассмотрели их свойства и научились применять свойства для преобразования выражений.

Переходим к тренировочным заданиям.

Применение свойств многочлена

Давайте рассмотрим, как применяются свойства многочлена на следующем задании. Упростите выражение и найдите его значение при а = 3.

Для того чтобы выполнить задание, нужно некоторые одночлены, входящие в состав данного многочлена, привести к стандартному виду. Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее.

Остаётся найти значение многочлена при а = 3. Подставим в полученный многочлен вместо, а число 3 и вычислим.

Разбор заданий тренировочного модуля.

2. В комнате было три полки с книгами. На первой полке лежало 4а книг, на второй с книг, на третьей в 2 раза больше, чем на второй. Сколько книг лежало на трёх полках?

Решение: Для решения данного задания составим следующую схему

Чтобы найти, сколько книг на всех полках, надо сложить все книги на полках. Но сначала найти количество книг на третьей полке, по условию их 2с, т. к. в 2 раза больше, чем на второй полке.

Теперь найдём общее количество книг и преобразуем многочлен, используя его свойства.

Источник