Что такое нулевой одночлен

Одночлены

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена. Буквенные множители иногда называют переменными.

Примеры одночленов и их коэффициентов

Приведение одночлена к стандартному виду

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов нестандартного вида : 2acа, 4xy 2 · 3, x 4 y &middot (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри одночлена действуют все законы умножения, в том числе переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Что такое степень одночлена

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Примеры степеней одночленов

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени! Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324 ).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е. 123 = 123 · a 0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно представить как 1 через нулевую степень.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены

Перечень рассматриваемых вопросов:

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).

Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.

Правило приведения одночлена к стандартному виду:

Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:

Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».

И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.

Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.

Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.

Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.

Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).

А одночлены 14ac 5 ax и 3k4k 2 записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.

Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.

Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

12a 2 bc 3 – одночлен 6-й степени.

xy 4 – одночлен 5-й степени

1,2cp 8 – одночлен 9-й степени

Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.

Это одночлены 0 степени.

У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.

Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.

• перемножить все числовые множители;

• поставить полученный коэффициент на первое место;

• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.

Привести одночлен 4ac(-3)a 2 ck к стандартному виду.

Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.

Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.

Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.

Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:

1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;

2. привести все одночлены к стандартному виду;

3. сложить (вычесть) их коэффициенты;

4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.

Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.

Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.

Сумма подобных одночленов:

Разность подобных одночленов:

Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.

Действия над одночленами.

Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:

-(-7)aaa · (bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.

Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.

Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a 8 b 3 c 6 k 5

Второй одночлен записан в стандартном виде.

А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.

-(-7)aaa · 2(bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a = 448a 8 b 3 c 6 k 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 14a 8 b 3 c 6 k 5 = (448 + 2 – 14)a 8 b 3 c 6 k 5 = 436a 8 b 3 c 6 k 5

Таким образом, мы привели подобные одночлены.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах

Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.

Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Одночлен; свойства одночленов.

• Числовые и буквенные множители.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Наверное, вы слышали достаточно известную фразу: «знание – источник, который надо постоянно пополнять». Поэтому сегодня мы пополним свои знания об алгебраических выражениях ещё одним термином – одночлены.

Мы знаем, что алгебраические выражения бывают буквенные и числовые.

Например, слева находятся выражения буквенные, так как в них содержатся буквы, а справа – числовые выражения, т.к. в них нет букв.

Обратите внимание на алгебраические выражения 12 · х и 124.

В них нет таких знаков арифметического действия, как сложение, вычитание или деление. Такие выражения называют одночленами.

Итак, одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Буквы и числа называют множителями одночлена.

10 · х · с – одночлен,

где 10 – числовой множитель одночлена,

x; c – буквенные множители одночлена.

Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называют числовыми множителями одночлена, а множители, обозначенные буквами, называют буквенными множителями. При этом стоит отметить, что знак умножения между числовыми и буквенными множителями или между буквенными множителями очень часто не пишут.

Стоит отметить, что одночлен может состоять и только из буквы или цифры.

0 – нулевой одночлен.

Сформулируем некоторые свойства одночленов.

1 свойство. Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

2 свойство. Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением.

3 свойство. Одночлен считается равным нулю, если среди его множителей есть число ноль.

Пример: 2х · 0с = 0 – нулевой одночлен.

(-24)kx – ненулевой одночлен, т.к. среди его множителей нет нуля.

И, наконец, рассмотрим последнее свойство.

4 свойство. Два одночлена считаются равными, если один получен из другого путём опускания множителя один.

Итак, сегодня мы получили представление о новом понятии – одночлен.

Давайте зададимся вопросом, где мы можем встретить одночлены?

Посмотрите на номера домов. Что это, как не одночлены?

Или цифры, из которых можно составить любые числа, что это, как не одночлены?

Но внимательно всмотритесь в последний одночлен. Возможно, он вам где-нибудь встречался?

Итак, понятие «одночлен» широко используется не только в математике, но и в других науках.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1) Может ли периметр треугольника, с разными сторонами: а, b, c, быть выражен в виде одночлена?

Решение: Для решения задания, нужно вспомнить формулу периметра. Периметр находится как сумма всех сторон многоугольника. По условию у нас есть три разных стороны: а, b, c. Следовательно, периметр треугольника – это выражение: а + b + c. А при записи одночлена использовать знак «+» нельзя. Следовательно, ответ – нет.

2) На заводе есть 3 цеха. В первом работают х человек, во втором в 2 раза больше, чем в первом, а в третьем в 1,5 раза больше чем во втором. Сколько человек работает в третьем цехе?Выберите правильное выражение (одночлен), которое характеризует ответ на поставленный вопрос.

Решение. Опишем условие задачи в виде следующей схемы:

По схеме найдём сначала количество рабочих во 2 цехе, это будет одночлен 2x.

Теперь остаётся найти количество рабочих в 3 цехе, это будет:

Источник

Одночлен — что это за понятие в алгебре, и какими бывают одночлены?

Изучение алгебры идет от простого к сложному — но если пропустить одну из начальных тем, то разобраться в последующих будет очень трудно. Базовым алгебраическим понятием считаются одночлены и состоящие из них числовые выражения и уравнения.

Что такое одночлены, какими они бывают, и каким правилам подчиняются?

Одночлены — простые буквенно-числовые произведения

Согласно любому учебнику, одночленами называют:

Усвоить суть термина легко на примере. Например, можно взять следующие выражения:

Во всех приведенных выражениях числа и буквенные переменные со степенями умножены друг на друга. Соответственно, вне зависимости от длины и сложности выражений все они являются одночленами.

Стандартный одночлен — что это такое?

При решении некоторых буквенно-числовых выражений одночлены по условиям задачи требуется привести к стандартному виду. Фактически это означает, что выражение нужно упростить — записать в такой форме, чтобы читать и решать его было максимально удобно.

Для стандартных одночленов действуют такие правила:

Если числовых коэффициентов и однотипных буквенных переменных в выражении несколько, то сначала их требуется перемножить между собой.

При работе с одночленами важно не забывать, что иногда числового коэффициента перед переменными может и не быть. Однако в таких случаях он подразумевается. Например, одночлен x 2 подразумевает наличие коэффициента, равного единице, но для удобства единица пропускается в буквенно-числовой записи.

Источник

Одночлены

Поддержка JavaScript отключена

Одночлены

Автор: Субботин Б.П.

Понятие одночлена

Определение одночлена: одночлен — это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.

в этом выражении имеется только умножение.

Ещё пример одночлена:

в этом буквенном, а значит алгебраическом, выражении используется только умножение.

Является ли одночленом буквенное выражение, состоящее из одной буквы? Да, является. Пример:

вот это «k» является одночленом. Но где же тут умножение? Здесь «k» умножается на единицу.

Отдельное число — тоже одночлен. Пример: число 5 — это одночлен. Число ноль — это нулевой одночлен.

Итак, в одночленах применяется только умножение, числа и буквы, составляющие одночлен, называют множителями одночлена.

Стандартный вид одночлена

Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.

Пример одночлена в стандартном виде:

здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.

Ещё пример одночлена в стандартном виде:

каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.

Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.

Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 — это одночлен стандартного вида.

Приведение одночленов к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.

Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.

Степень одночлена

Что такое степень одночлена? Степень одночлена — это сумма степеней всех букв, входящих в этот одночлен.

Пример. Какова степень одночлена 5h? Степень одночлена 5h равна одному, ведь в этот одночлен входит всего одна буква и её степень равна одному.

Ещё пример. Какова степень одночлена 5? Степень одночлена 5 равна нулю. Итак, степень одночлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

Последний пример. Какова степень нулевого одночлена, т.е. нуля? Степень нулевого одночлена не определена.

Подобные одночлены

Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.

Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.

Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.

Далее рассмотрим действия с одночленами.

Сложение одночленов

Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.

Ещё примеры сложения одночленов:

Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.

Вычитание одночленов

Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a — 2a = 3a.

Ещё примеры вычитания одночленов:

Ещё раз. Вычитать можно только подобные одночлены, вычитание сводится к вычитанию их коэффициентов.

Умножение одночленов

Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:

т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.

Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом — «а» в степени 2, а во втором — «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:

Это же относится и к сомножителю «b».

Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго — одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.

Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.

Возведение одночлена в степень

Как одночлен возвести в степень? Пример возведения одночлена в степень:

т.е. во вторую степень возводим каждый множитель одночлена.

Источник