Что такое нулевые и ненулевые начальные условия
№56 Начальные условия переходного процесса.
Начальными условиями называются мгновенные значения отдельных токов и напряжений, а также их первых, вторых и т.д. производных в начале переходного процесса, т.е. в момент коммутации при t=0. Начальные условия делятся на 2 вида: независимые и зависимые.
К независимым начальным условиям относятся токи в катушках iL(0) и напряжения на конденсаторах uC(0). Независимые начальные условия определяются законами коммутации, они не могут измениться скачкообразно и не зависят от вида коммутации. Их значения определяются из расчета схемы цепи в установившемся докоммутационном режиме на момент коммутации t=0.
Пример. Определить независимые начальные условия iL(0), uC(0) в схеме рис. 56.1 при заданных значениях параметров элементов: R1=50 Ом, L=100 мГн, R2=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t)=E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinωt, f=50 Гц.
а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E расчет схемы производится как для цепи постоянного тока: катушка L закорачивается, ветвь с конденсатором С размыкается, учитываются только резистивные элементы R.
б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt расчет схемы производится как для цепи переменного тока в комплексной форме для комплексных амплитуд функций.
Независимые начальные условия
К зависимым начальным условиям относятся значения всех остальных токов и напряжений, а так же значения производных от всех переменных в момент коммутации при t=0. Зависимые начальные условия могут изменяться скачкообразно, их значения зависят от вида и места коммутации.
Зависимые начальные условия определяются на момент коммутации t=0 из системы дифференциальных уравнений (уравнений Кирхгофа), составленных для схемы в состоянии после коммутации, путем подстановки в них найденных ранее независимых начальных условий.
Для рассматриваемой схемы рис. 56.1 система дифференциальных уравнений имеет вид:
а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E=const зависимые начальные условия будут равны:
Для определения начальных условий для вторых производных исходные дифференциальные уравнения дифференцируют почленно по переменной t и подставляют в них найденные на предыдущем этапе значения зависимых начальных условий, и т.д.
б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt зависимые начальные условия определяются точно также, как и для цепи с источником постоянной ЭДС.
Начальные условия используются при расчете переходных процессов любым методом.
Законы коммутации и начальные условия (стр. 1 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 |
1. Законы коммутации и начальные условия.
В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время. Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника электропитания.
Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени
, (1.1)
В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического смысла.
На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.
1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0
2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации
Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t = 0+ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при t = 0- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.
Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.
Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.
2.Классический метод анализа переходных процессов
Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:
Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:
,(1.4)
Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:
Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:
(1.6)
является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:
, (1.8)
Решение (1.8) записано для случая различных корней pk. Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.
Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т. е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.
Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации
Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.
В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.
1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.
2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.
3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.
4. Определить решение полученного дифференциального уравнения
(1.10)
3. Переходный процесс в r, L – цепи при включении на источник постоянного напряжения
3. a)ri+Ldi/dt=E b)z(jw)=r+jwL
Lp+r=0 jw
p
0=pL+r
p=-r/L
4.Отключение r—l цепи от источника пост напряж
3. z(jw)=r1+r2 +jwL z(jw)=z(p) r1+r2+ph=0
4. 4. iL(t)=iLуст + Aept iL(0)=AE/r1 iL(t)=E/r1*e-(r1+r2)/2
5.Включение r—L цепи на синусоидальном токе
2. iLуст(t)=e(t)=Emsin(wt+
)
iLmaxуст(t)=Imaxsin(wt+
—)
iLуст(0)=Imaxуст*sin(—)
iL(t)=Imaxsin(wt+—)+Aept
0=Imaxустsin(—)
A=-Imaxустsin(—)
iL(t)=Imaxуст*sin(wt+—)-Imsin(—)e-rt/L
7.Характеристическое уравнение. Корни характеристического уравнения. Постоянные времени. Время переходного процесса.
Характеристическое уравнение имеет вид:
ri+L
=E
p=-
Для определения вида свободной составляющей необходимо составить и решить характеристическое уравнение: z(p)=0.Для записи характеристического уравнения необходимо нарисовать схему, в которой все источники ЭДС и тока следует заменить на их же внутреннее сопротивление, а сопротивление индуктивности и емкости принять соответственно равным Pl и 
,далее необходимо разорвать любую ветвь данной схемы, записать ее исходное сопротивление относительно точек разрыва, прировнять его нулю, решить и определить корни p, если корни получились действительными отрицательными, то своб. составляющая искомой функции:
,где m-количество корней уравнения;
-корни;
-постоянные интегрируемые.
Если корни характер. уравнения получились комплексно сопряженными, то своб. сост. будет иметь вид:
где 
-частота свободных колебаний;
-начальная фаза свободных колебаний.
8.Время переходного процесса. Определение практически tпп. Расчет времени переходного процесса.
Время переходного процесса зависит от коэфициента затухания 
.Величина, обратная ,называется постоянной времени 
и представляет собой время, в течении которого значение свободной составляющей переходного процесса уменьшится в e=2,72 раза. Величина зависит от схемы и параметров. Так для цепи с последовательным соединением r и L = 
,а при последовательном соединениии
R и C =Rc.
95% окончания переходного процесс 3.
Кривые свободных составляющих переходного процесса проще всего построить, задавая времени t значения 0, ,2…..Если вещественных корней несколько, то результирующая кривая получается путем суммирования ординат отдельных слагаемых (рис.1.)
9.10,Переходный процесс в r, С – цепи при включении на источник постоянного напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для UC(t); iC(t); графики. (Классический метод).
Уравнение состояния rC-цепи после коммутации следующее:
Его решение:
Емкость С после замыкания ключа при t
зарядится до установившегося значения 
.Свободная составляющая 
Поскольку начальные условия нулевые, согласно закону коммутации 
при t=0,или 0=A 
,откуда A=-E.
Решение уравнения (2) примет вид:
+E=E(1-)
где 
=rC
Ток в цепи i(t)=C
Графики изменения напряжения 
и тока i(t) приведены на рисунке 1 и 2. Из рисунков видно, что напряжение на конденсаторе возростает по экспоненциальному закону от 0 до E, сила тока же в момент коммутации скачком достигает значения E/r, а затем убывает до нуля.
11.12.Переходный процесс в r, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для UC(t); iC(t); графики. (Классический метод).
Уравнение состояния rC-цепи в переходном режиме следующее
rC
.
Решение этого уравнения:
где =rC
Так цепь линейна, то при синусоидальном воздействиии в установившемся режиме напряжение на емкости
также будет изменяться по синусоидальному закону с частотой входного воздействия, Поэтому для определения 
= воспользуемся методом комплексных амплитуд:
; 
где 
=
;
Учитывая, что j=
,получаем:
Постоянную интегрирования А свободной составляющей
найдем из начальных условий в цепи с учетом закона коммутации:
.При t=0 последнее выражение имеет вид
0=A+
Откуда A=-
Cложив составляющие 
и 
,получим окончательное выражение для напряжения на емкости в переходном режиме :
=+=
— (1)
Анализ выражения (1) показывает, что переходный процесс в rC-цепи при синусоидальном воздействии зависит от начальной фазы ЭДС источника в момент коммутации и от постоянной времени rC-цепи.
Если 
,то =0 и в цепи сразу после коммутации наступит установившийся режим, т.е.
==
.
При 
напряжение =-
, т. е. напряжение на емкости сразу после коммутации может достигать почти удвоенного значения положительного знака, а затем постепенно приближаться к = .
Разность фаз 
приведет уравнение (1) к виду:
=
.
Отличие данного режима от предыдущего состоит в том, что напряжение на емкости сразу после коммутации может достичь почти удвоенного значения отрицательного знака.
Для расмотренной Rc-цепи с источником синусоидального тока в установившемся режиме начальная фаза входного напряжения никакой роли не играет, но в переходном процессе ее влияние существенно.
13.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Периодический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).
Корни действительные, отрицательные, разные.
<
t=0 il(0)*r+L 
+Uc(0)=E A1=-A2=
(
)
il(t)= (
)
il(t)= (
)
14.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Критический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).
p1=p2=-δ=
il(t)=iуст+(B1+B2*t)* 
il(t)= ()
Если корни получились действительные, отрицательные, равные, значит процесс критический.
15.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Колебательный процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).
Корни отрицательные действительные, частью комплексносопряженные.
il(t)=iуст+(M*cos ωсв t+N*sin ωсв t)*
il(t)= 
*
=
*
16. Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Апериодический процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).
2.
φ=arctg
17.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Колебательный процесс. Математическое описание i(t), графики. (Классический метод).
2.
φ=arctg
При Туст прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение алгебраическ. Уравнений=>обратное пр-ние Лапласа=>искомые изображения=>графики i(t) u(t)
Прямое преобразование Лапласа.
Пусть некоторая ф. f(t)=0 t 0 |f(t)| =e f(t)=f(p)
20.Прямое преобразование Лапласа. Примеры получения изображений для элементарных функций
Прямое преобразование Лапласа.
Пусть некоторая ф f(t)=0 t 0 |f(t)| =e f(t)=f(p)
Примеры получения изображений для элементарных ф-ий.
f(p)= 
1
dt=\p|0=1\p; I(t)=1\p;